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【课题】抛物线的几何性质(5)

时间:2010-05-23


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【课

题】抛物线的几何性质(5)

【教学目标】
1、抛物线的综合应用;

【教学重点】 【教学难点】 【教学过程】
一、 复习引入

二、

讲解新课

(一)非标准的抛物线 【例1】 求与 y 轴相切,且与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 相外切的动圆圆心的轨迹方程。 解: x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ? ?x ? 2?2 ? y 2 ? 1 设动圆圆心为 P? x , y ? ,半径为 r
?x ? r ? ? 2 2 ? ?x ? 2? ? y ? r ? 1 ?

?x ? 2?2 ? y 2 ? x ? 1 ? ?x ? 2?2 ? y 2 ? ?x ? 1?2
?
? y 2 ? 6x ? 3

即为所求

【例2】 (非标准型)已知直线 l:y=kx 和抛物线 C: (y+1)2=3(x-1).
1 (1)k=- 时,求点 M(3,0)关于直线 l 的对称点 N 的坐标,并判断点 N 是否在抛物 3

线 C 上. (2)当k变化(k≠0)且直线 l 与抛物线 C 有公共点时,点 P(a,0)关于直线 l 的对称点为 Q(x0,y0) ,请写出 x0 关于k的函数关系式 x0=f(k) ,并求出点 Q 在直线 x=1 上时 a 的 取值范围. 解:(1)设点.(x,y) ,由对称性得
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1 x?3 ?1 ?2 y ? ? 3 ( 2 ) ? ? ? y ?3 ?x ?3 ? 12 ? ?x ? 5 ? 解得 ? ?y ? ? 9 ? 5 ?

即点 N 的坐标为 ? ?

12 9 ? ,? ? 5? ? 5

N? ?

12 9 ? , ? ? 不满足抛物线 C 的方程, 5? ? 5

点 N 不在 C 上 (2)由 y=kx 与(y+1)2=3(x-1)消去 y 得

k2x2+(2k-3)x+4=0
∴l 与 C 有公共点且k≠0,∴ ? ? (2k ? 3)2 ? 16k 2 ≥0
2 1 解得 ? ≤k≤ 且k≠0 3 2

∵点 Q( x0 , y0 ) 、 P(a, 0) 关于 y=kx 对称, ∴
y0 x ?a y 1 ?k? 0 且 0 ? ? ,解得 2 2 x0 ? a k
a(1 ? k 2 ) 3 1 , ? ≤k≤ ,k≠0 2 1? k 2 2 a(1 ? k 2 ) a ?1 ? 1 ,或 k 2 ? 1? k2 a ?1

x0 ?

当点 Q 在直线 x=1 上时,
2 1 ? ≤k≤ ,k≠0,∴ 3 2

9 0<k≤ , 4

∴0<

a ?1 9 ≤ a ?1 4 13 或 a>1 5

解得 a≤-

(二)与抛物线有关的最值问题 【例3】 求函数 y= x4 ? 3x2 ? 6 x ? 13 — x4 ? x2 ? 1 的最大值. 解:将函数变形为 y= ( x ? 3) 2 ? ( x 2 ? 2) 2 — x 2 ? ( x 2 ? 1) 2 , 由几何意义知,y 可以看成在抛物线 f(x)=x2 上的点 P(x,x2)到两定点 A(3,2)和 B(0,1) 的距离之差, ∵|PA|—|PB|≤|AB|,
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教育城:http://www.12edu.cn/gaokao/ ∴当 P、A、B 三点共线,且 P 在 B 的左方时取等号, 此时 P 点为 AB 与抛物线的交点, 即 P 为(
1 ? 37 19 ? 37 , )时,ymax=|AB|= 10 . 18 6

【例4】 已知圆 C 过定点 A(0,p)(p>0),圆心 C 在抛物线 x2=2py 上运动,若 MN 为圆 C 在 x 轴上截得的弦,设|AM|=m,|AN|=n,∠MAN=θ.(1)当点 C 运动时,|MN|是否 变化?写出并证明你的结论?(2)求 方程.
2 解:(1)设圆心 C(x0,y0),则 x20=2py0,圆 C 的半径|CA|= x 0 ? ( y 0 ? p ) 2 ,其方程为

n m + 的最大值,并求取得最大值时 θ 的值和此时圆 C 的 m n

(x—x0)2+(y—y0)2=x20+(y0—p)2,令 y=0,并将 x20=2py0 ,代入,得 x2—2x0x+x20—p2=0,解得 xm=x0—p,xN=x0+p,∴|MN|=|xN—xM|=2p(定值) (2)∵m=|AM|= ( x 0 ? p ) ? p ,n=|AN|= ( x 0 ? p ) ? p ,
2 2 2 2

∴m2+n2=4p2+2x20,m· 4 p ? x 0 , n=
4 4



2 n m m 2 ? n 2 4 p 2 ? 2 x0 4 p( p ? y 0 ) + = = = = 4 2 mn m n 4 p 4 ? x0 2 p p 2 ? y0

2( p ? y 0 ) p ?
2 2 y0

=2 1 ?

2 py0
2 p 2 ? y0

≤2 2 ,

当且仅当 y0=p 时等号成立,x0=± 2 p, 此时△ MCN 为等腰直角三角形,且∠MCN=90° , ∴∠MAN=

1 ∠MCN=45° , 2

故当 θ=45°时,圆的方程为(x— 2 p)2+(y—p)2=2p2 或(x+ 2 p)2+(y—p)2=2p2 (三)对称问题 【例5】 若抛物线 y=x2 上存在关于直线 y=m(x—3)对称的两点,求 m 须满足的关系式。 解:设抛物线上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=m(x—3)对称。AB 的中点为 M(x0,y0)。 显然 m≠0,

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教育城:http://www.12edu.cn/gaokao/ 则 k AB ?
y1 ? y 2 1 ? x1 ? x 2 ? ? x1 ? x 2 m

………①
1 ? 2 x1 x 2

y ? y 2 ( x 2 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 m 2 1 1 ? ? ∴ x0 ? ( x1 ? x 2 ) ? ? , y0 ? 1 2 2 2 2 2m

将(x0,y0)代入

方程 y=m(x—3)得: x1 x 2 ?

1 2m
2

?

1 ? 3m 2

…………②

由①,②知 x1、x2 是方程 t 2 ? (2m+1)(6m2-2m+1)<0 【例6】 已知抛物线 y2=2(x+ 下两个条件:

1 1 1 t ? ( 2 ? ? 3m) ? 0 的两根。由△>0 得 m 2 2m

1 )的焦点为 F,准线为 l,是否存在双曲线 C,同时满足以 2

(1)双曲线 C 的一个焦点为 F,相应于 F 的准线为 l; (2)双曲线 C 上 A、B 两点关于直线 x-y=0 对称,且|AB|=2 2 。若存在,求出该双曲 线 C 的方程;若不存在,说明理由。 解:假设满足题意的双曲线 C 存在,并设其离心率为 e,AB 的中点坐标为(x0,x0),点 A 的 坐标为(x1,y1),则点 B 的坐标为(2x0 -x1, 2x0 -y1)。 ∵直线 AB 的斜率 kAB=-1, 且|AB|=2 2
? ( 2 x 0 ? y1 ) ? y1 ? (2 x ? x ) ? x ? ?1 ? 0 1 1 ? ? 2 2 ? ?(2 x 0 ? x1 ) ? x1 ? ? ?(2 x 0 ? y1 ) ? y1 ? ? 2 2 ?

由此解得 ?

? x1 ? x 0 ? 1 ? x1 ? x 0 ? 1 ,? ? y1 ? x 0 ? 1 ? y1 ? x 0 ? 1

不失一般性,取 A(x0-1, x0+1),B(x0+1, x0-1),由于 F(0,0)和 l:x=-1 是对应的焦点 和准线。∵
( x0 ? 1) 2 ? ( x0 ? 1) 2 | x0 | ? ( x0 ? 1) 2 ? ( x0 ? 1) 2 | x0 ? 2 | ? e, 解得 a ? ?1, e ? 2

故满足题意的双曲线 C 存在,其方程为

x2 ? y2 | x ?1|

? 2, 即3x 2 ? 8 x ? y 2 ? 4 ? 0

另解:由题意得:F 点坐标为(0,0)准线 l 的方程为 x=-1。 设双曲线离心率为 e,则由
x2 ? y2 | x ? 1| ?e

可得双曲线方程为:(e2-1)x2+2e2x-y2+e2=0
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教育城:http://www.12edu.cn/gaokao/ 设直线 AB 方程为:y=-x+m 则由①②得(e2-2)x2+2(e2+m)x-m2+ e2=0 设 AB 中点为(x0,y0),则有 x0 ? ∵ x0 ? y0, ∴解得 m=-2 则③为(e2-2)x2+2(e2-2) x-4+ e2=0……③ 又由|AB|=2 2 可得 e=2 代入①即得 3x 2 ? 8x ? y 2 ? 4 ? 0为所求 【例7】 矩形 ABCD 的顶点 A、B 在直线 y=2x+m 上,C、D 在抛物线 y2=4x 上,该矩形 的外接圆方程为 x2+y2-x-4y-t=0. (1)求矩形 ABCD 对角线交点 M 的坐标; (2)求此矩形的边长,并确定 m,t 的值. 解:(1)∵M 是矩形外接圆的圆心,外接圆的方程为 ( x ? 1 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? t ? 17
2 4

② ③

x1 ? x 2 e 2 ? m ? e 2 ? m e2 ? m ,y0=-x0+m= ? 2 2 ? e2 2 ? e2

∴M 点坐标为 ( ,2) (2)∵CD∥AB,∴可设 CD 的直线方程为 y=2x+n. 与抛物线方程联立,消 x,得 y2-2y+2n=0…(*) 设弦 CD 的中点为 N,则 y N ? 由 MN⊥CD 得 y M ? y N ? ? 1 .
xM ? x N 2
yC ? y D y n 1 n ? 1, x N ? N ? ? ? . 2 2 2 2 2

1 2

即 1 ? ? 1 ,解得 n=4.
n 2 2

由方程(*) | y C ? y D |? 4 ? 8n ? 6 , ,
| CD |? ( y C ? y D ) 2 ? ( xC ? x D ) 2 ? 3 5

5 点 N 坐标为 ( ,1) ,N 关于 M 的对称点 2

是 N ? 坐标为 (?

3 ,3), N ? 在直线 AB 上,代入方程可得 m=6 2
圆半径 r 满足
5

点 M 到 CD 的距离为 | MN |? | 1 ? 2 ? 4 | ? 5 ,?| AD |? 2 | MN |? 2 5.

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r 2 ?| MN | 2 ? | NC | 2 ? 65 ,?t ? 12. 4

即此矩形的边长分别为 3 5 ,2 5 ,m=6,t=12. 【例8】 已知抛物线 y2=4ax(0<a<1)的焦点为 F, A(a+4,0)为圆心, 以 |AF|为半径在 x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点 M 和 N,设 P 为线段 MN 的中点,(1)求|MF|+| NF|的值;(2)是否存在这样的 a 值,使|MF|、|PF|、|NF|成等差数列?如存在,求 出 a 的值,若不存在,说明理由. 解:(1)由已知得 F(a,0),半圆为[x—(a+4)]2+y2=16(y≥0),设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则|MF|+|NF|=x1+x2+2a=2(4—a)+2a=8 (2)若|MF|、|PF|、|NF|成等成数列, 则有 2|PF|=|MF|+|NF|, 另一方面,设 M、P、N 在抛物线的准线上的射影为 M′、P′、N′, 则在直角梯形 M′MNN′中,P′P 是中位线, 又有 2|P′P|=|M′M|+|N′N|=|MF|+|FN|, 因而|PF|=|P′P|, ∴P 点应在抛物线上, 但 P 点是线段 MN 的中点,即 P 并不在抛物线上, 故不存在使|MF|、|PF|、|NF|成等差数列的 a 值.

【例9】 如图,设 F 是抛物线的焦点,M 是抛物线上任意一点,MT 是抛物线在 M 的 切线,MN 是法线,ME 是平行于抛物线的轴的直线.求证:法线 MN 必平分∠FME, 即φ 1=φ 2.

解:取坐标系如图,这时抛物线方程为 y2=2px.(p>0),
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教育城:http://www.12edu.cn/gaokao/ 因为 ME 平行 x 轴(抛物线的轴), ∴φ 1=φ 2,只要证明φ 1=φ 3, 也就是△FMN 的两边 FM 和 FN 相等. 设点 M 的坐标为(x0,y0),则法线 MN 的方程是 y—y0=— 令 y=0,便得到法线与 x 轴的交点 N 的坐标(x0+p,0), 所以|FN|=|x0+p—
p p |=x0+ , 2 2 p , 2
y0 (x—x0), p

又由抛物线的定义可知,|MF|=x0+

∴|FN|=|FM|,由此得到φ 1=φ 2=φ 3, 若 M 与顶点 O 重合,则法线为 x 轴,结论仍然成立. 【例10】 公园要建造一个圆形的喷水池, 在水池中央垂直于水面安装一个柱子 OA,

O 恰在圆形水面中心,OA=1.25 米.安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水,水流在各个方向 上沿形状相同的抛物线路经落下,且在过 OA 的任一平面上抛物线路径如图所示,为使水流 形状较为漂亮,设计成水流在到 OA 距离 1 米处达到距水面最大高度 2.25 米.如果不计其它 因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外?

分析

根据图形的对称性,设出并求出一边的抛物线的方程,便可求出水池的半径.

以 OA 所在直线为 y 轴,过 O 点作 oy 轴的垂直线 ox 轴,建立直角坐标系如图 依题意 A(0,1.25),设右侧抛物线顶点为则 B(1,2.25),抛物线与 x 轴正向交点为 C, OC 即圆型水池的半径. 设抛物线 ABC 的方程为 (x—1)2=—2p(y—2.25) 将 A(0,1.25)代入求得 p=

1 2

∴抛物线方程为(x—1)2=—(y—2.25)
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教育城:http://www.12edu.cn/gaokao/ 令 y=0,(x—1)2=1.52,x=2.5(米) 即水池的半径至少要 2.5 米,才能使喷出的水流不致落到池外.

三、

课堂练习

四、

小结

五、

课后练习

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