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立体几何折叠问题


第八章

立体几何初步

第六节

空间图形的垂直关系

变式探究 3.(2012· 青岛市模拟)已知一四棱锥P-ABCD的三视图如 下,E是侧棱PC上的动点. (1)求四棱锥P-ABCD的体积. (2)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结 论. (3)求四棱锥P-ABCD的侧面积.

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解析:(1)由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,侧棱 PC⊥底面 ABCD,且 PC =2. 1 2 ∴VP-ABCD= S?ABCD· PC= . 3 3 (2)不论点E在何位置,都有BD⊥AE. 证明如下:连接AC. ∵ABCD是正方形, ∴BD⊥AC. ∵PC⊥底面ABCD,且BD?平面ABCD, ∴BD⊥PC. 又∵AC∩PC=C, ∴BD⊥平面PAC. ∵不论点E在何位置,都有AE?平面PAC, ∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE.

(3)由(1)知PC⊥CD,PC⊥BC,CD=CB,
∴Rt△PCD≌Rt△PCB. ∵AB⊥BC,AB⊥PC,BC∩PC=C,

∴AB⊥平面PCB.
∵PB?平面PBC, ∴AB⊥PB.

同理AD⊥PD.
1 S=2S△PCD+S△PAB+S△PAD=2× CD· 2 1 1 PC+ AB· PB+ AD· PD=2+ 5. 2 2

∴四棱锥P-ABCD的侧面积

变式探究 2.(2012· 山西大学附中月考)如图(1),△ABC是等腰直 角三角形,AC=BC=4,E,F分别为AC,AB的中点,将 △AEF沿EF折起,使A1在平面BCEF上的射影O恰好为EC的 中点,得到图(2). (1)求证:EF⊥A1C;

(2)求三棱锥FA1BC的体积.

证 明 : (1) 在 △ABC 中 , EF 是 中 位 线 , ∴EF∥BC.∴EF⊥AC.在四棱锥 A′BCEF 中,EF⊥A1E, EF⊥EC,EC∩A1E=E, ∴EF⊥平面 A1EC. 又 A1C?平面 A1EC, ∴EF⊥A1C. 解析:(2)在直角梯形 EFBC 中, 1 EC=2,BC=4,∴S△FBC= BC· EC=4. 2 又 A1O 垂直平分 EC, ∴A1O= A1E2-EO2= 3. ∴三棱锥 FA1BC 的体积为 1 1 4 3 VFA1BC=VA1FBC= S△FBC· A1O= ×4× 3= . 3 3 3


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