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福建省厦门市09-10学年高一下学期质量检测(数学)


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厦门市 2009~2010 学年(下)高一质量检测 数学参考答案
一、选择题 CBBDA DCBCD 二、填空题 11. ( ?1, 2) 12.
3 2

r />13.1

14. 2 5

三、解答题 15. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ) 该几何体的直观图如图:

┅┅┅┅┅┅┅┅┅5 分

(Ⅱ)该几何体是四棱锥, 其底面的面积 S ? 6 ? 8 ? 48 , ┅┅┅┅┅┅┅┅┅7 分 高h ? 6, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8 分

1 1 则体积 V ? Sh ? ? 48 ? 6 ? 96 (体积单位)┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分 3 3
16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | ?3 ? x ? ?2? , ∴ ?3 和 ?2 是方程 x 2 ? ax ? b ? 0 ,
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?(?3) ? (?2) ? ?a ?a ? 5 则? 得? ,∴ a ? b ? 11 .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6 分 ?(?3)(?2) ? b ?b ? 6

(Ⅱ)函数 g ( x) ?

f ( x) x

?

x 2 ? 5x ? 6 6 ? x ? ? 5 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8 分 x x
?5?2 6,

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分

当且仅当 x ? 6 时取“=”号.注意到 6 ?[1,3] , ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11 分 所以函数 y ? g ( x) 的最小值是 5 ? 2 6 ,对应 x 的值是 6 .┅┅┅┅┅┅12 分

17. (本小题满分 12 分)

3 4 解: (Ⅰ) ?ABC 中,∵ cos A ? ,∴ sin A ? , 5 5
∴ sin 2

A 1 ? cos A ? cos( B ? C ) ? ? cos A 2 2

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4 分

?

1 ? cos A 4 ? . 2 5

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6 分

-7-

(Ⅱ) S ?

1 | AB || AC | sin A ,又 S ? 4 , | AB |? 2 2
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9 分

1 4 ∴ ? 2 | AC | ? ? 4 ,得 | AC |? 5 , 2 5

3 ∴ | BC |2 ?| AC |2 ? | AB |2 ?2 | AC || AB | cos A ? 25 ? 4 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? 17 5
∴ | BC |? 17 . ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分

B 卷(共 50 分)
甲 卷 四、填空题 18.625 19.

1 3

20. 3?

21.21

五、解答题 22. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)经过 1 小时后,甲船到达 M 点,乙船到达 N 点,
| AM |? 10 ? 2 ? 8 , | AN |? 2 , ?MAN ? 600 ,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2 分

∴ | MN |2 ?| AM |2 ? | AN |2 ?2 | AM || AN | cos600 ? 64 ? 4 ? 2 ? 8 ? 2 ? ∴ | MN |? 2 13 .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4 分 (Ⅱ)设经过 t( 0 ? t ? 5 )小时小船甲处于小船乙的正东方向. 则甲船与 A 距离为 | AE |? 10 ? 2t 海里,乙船与 A 距离为
| AF |? 2t 海里, ?EAF ? 600 , ?EFA ? 450 , ┅┅┅5 分
F

1 ? 52 , 2


B岛 E

则由正弦定理得 即

| AE | | AF | , ? sin 450 sin 750
A岛

2t 10 ? 2t , ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7 分 ? 0 sin 45 sin 750 10 10sin 450 ? ? 5 .┅┅┅┅┅┅┅┅9 分 t? 0 0 2sin 75 ? 2sin 45 3? 3 10 答:经过 小时小船甲处于小船乙的正东方 3? 3
向.┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分 23. (本题满分 12 分) (Ⅰ)证明:∵ PD ? 底面 ABCD ,∴ PD ? BC , ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2 分 ∵底面 ABCD 为正方形,∴ BC ? CD , ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3 分

P

E

D M A 第 23 题 O B G

C

-8-

∵ PD ? CD=D , ∴ BC ? 平面 PCD .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5 分 (Ⅱ)解:连结 AC ,取 AC 中点 O ,连结 EO . ∵ PA // 平面MEG ,平面 PAC ? 平面 MEG ? EO , ∴ PA // EO , ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8 分 在 ?PAC 中,E 为 PC 的中点,所以点 O 为 AC 的中点, 在正方形 ABCD 中, O 是 AC 中点,则 O 是 MG 中点, ?OCG ? ?OAM , | AM |?| CG | , ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分 而 | CB |?| AD | , 所以
| AM | | AD | | CG | | CB | ? 1 3 ? 1 3

, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分

?

| CG | | CB |



24. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ an ?1 ? 2an ? 1 ( n ? N * ) , bn ? an ? 1, ∴ bn ?1 ? 1 ? 2(bn ? 1) ? 1 , 即 bn ?1 ? 2bn ,即
bn ?1 ? 2 ( n ? N* ) , bn

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2 分

∴数列 {bn } 是以 b1 ? a1 ? 1 ? 2 为首项、以 2 为公比的等比数列 ┅┅┅┅┅┅4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 2n ,所以 an ? 2n ? 1 , ∴ cn ? n ? 2n ? n , ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5 分

∴ Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? (1? 21 ? 1) ? (2 ? 22 ? 2) ? ? ? (n ? 2n ? n)
? (1? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n ) ? (1 ? 2 ? ? ? n)

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7 分

记 G ? 1 ? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n

┅┅┅┅┅┅┅┅┅①

则 2G ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n ?1 ┅┅┅┅┅┅② ∴① ? ②得 ?G ? 21 ? 22 ? ? ? 2n ? n ? 2n ?1 ,

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 2 ? (n ? 1)2n ?1 ? 2 ┅┅┅┅┅┅┅11 分 1? 2 n(n ? 1) 所以 Tn ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? . ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分 2 乙 卷
∴G ? ? 四、填空题 18.5400 五、解答题 19.

7 6

20. 29?

21.30

-9-

22. (本小题满分 12 分) 解:仅依据所测得的数据,不能计算出山顶建筑物 CD 的高度.┅┅┅┅┅┅2 分 因为依据所测得的三个数据( ?CAB ? 150 ,?CBD ? 300 ,| AB |? 100 ) ,只能确定 ?ABC 的 形状与大小,图形中其余的量还是不确定的. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4 分 ? 显然是变量, 例如山坡的坡度 (相对于水平面) ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6 分 则 ?CDB ? ? ? 900 , 在 ?ABC 中, ?BAC ? ?BCA ? 150 , 所以 | AB |?| BC |? 100 , 在 ?BCD 中 , 由 正 弦 定 理 得 | CD | | BC | ? ,┅┅┅┅┅┅┅┅8 分 0 sin 30 sin(? ? 90 0 ) ∴ | CD |?
50 与山坡的坡度 ? 有关, sin(? ? 900 )
15 A 第 22 题
0

C

30 B

0

D E

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分 所以依据所测得的数据,不能计算出山顶建筑物 CD 的高度. 说明:本题的其它角度的说理酬情给分. 23. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ PD ? 底面 ABCD ,∴ PD ? BC , ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1 分 ∵底面 ABCD 为正方形,∴ BC ? CD , ∵ PD ? CD=D , ∴ BC ? 平面 PCD . ∴ GC 是三棱锥 G ? CDE 的高.┅┅┅┅┅┅┅3 分 ∵点 G 在 BC 边上且
| CG | | CB | ? 1 3
P

,∴ | GC |? 1 ,┅4 分

E

∵ E 是 PC 的中点, ∴ S ?CDE ?

1 1 1 9 S?PDC ? ( ? ? 3 ? 3) ? , ┅┅5 分 2 2 2 4
1

D G

C

O 1 9 3 M S ?CDE ? | GC |? ? ? 1 ? . A B 3 3 4 4 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6 分 第 23 题 | AM | 1 ? . (Ⅱ)在 AD 边上是否存在点 M, | AD | 3 连结 AC ,取 AC 中点 O,连结 EO、GO,延长 GO 交 AD 于点 M ,则 PA // 平面MEG . 下面证明之. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8 分 在 ?PAC 中,E 为 PC 的中点,点 O 为 AC 的中点, ∴ EO // PA , 又∵ EO ? 平面 MEG , PA ? 平面 MEG ∴ PA // 平面MEG . ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分 在正方形 ABCD 中, O 是 AC 中点,则 O 是 MG 中点, ?OCG ? ?OAM , | AM |?| CG | ,

∴ VC ? DEG ? VG ?CDE ?

而 | CB |?| AD | ,

| CG | | CB |

?

1 3



- 10 -

所以

| AM | | AD |

?

| CG | | CB |

?

1 3



┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分

24. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ an ?1 ? 2an ? 1 ( n ? N * ) , ∴ an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1) , 即
an ?1 ? 1 ? 2 ( n ? N* ) , an ? 1

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2 分

∴数列 {an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项、以 2 为公比的等比数列.┅┅┅┅┅┅3 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 1 ? 2 ? 2n?1 ? 2 n ,∴ an ? 2n ? 1 , ∴ bn ?

2n an an ?1
1
1

?
?

2n (2 ? 1)(2
n n ?1

? 1)
1

?

1 2 ?1
n

?

1 2
n ?1

?1

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5 分

∴ Sn ? (

1 2 ?1 1 . 3
2

2 ?1 1 1 ? ? n ?1 ? 3 2 ?1

)?(

2 ?1
2

?

1 2 ?1
3

) ? ?? (

1 2 ?1
n

?

1 2
n ?1

?1

)

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7 分

(Ⅲ) an ? 2n ? 1 , ∵ 4c ?1 ? 4c ?1 ??? 4c ?1 ? (an ? 1)c ,
1 2 n n

∴ 22 c ? 2 ? 22 c ? 2 ? ? ? 22 c ? 2 ? 2nc
1 2 n

n

∴ (2c1 ? 2) ? (2c2 ? 2) ? ? ? (2cn ? 2) ? ncn 即 2(c1 ? c2 ? ? ? cn ) ? 2n ? ncn ┅┅┅┅┅┅┅┅┅① ∴ 2(c1 ? c2 ? ? ? cn ? cn ?1 ) ? 2(n ? 1) ? (n ? 1)cn ?1 ┅┅② ② ? ①得 2cn ?1 ? 2 ? (n ? 1)cn ?1 ? ncn ┅┅┅┅┅┅┅┅┅③ ∴ 2cn ? 2 ? 2 ? (n ? 2)cn ? 2 ? (n ? 1)cn ?1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅④ ④ ? ③得 2cn ? 2 ? 2cn ?1 ? (n ? 2)cn ? 2 ? 2(n ? 1)cn ?1 ? ncn , 则 ncn ? 2 ? ncn ? 2ncn ?1 ,即 cn ? 2 ? cn ? 2cn ?1 ( n ? N * ) , 所以,数列 {cn } 是等差数列. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分 ┅┅┅┅┅┅11 分 ┅┅┅┅┅10 分 ┅┅┅┅┅┅┅┅8 分

- 11 -


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