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高考概率统计超强超全整合

时间:2017-08-21


概率与统计题型
考点 1 考查等可能事件概率计算 在一次实验中可能出现的结果有 n 个, 而且所有结果出现的可能性都相等。 如果事件 A 包含的结果有 m 个,那么 P(A)=

m 。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计 n

算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际 问题的能力。 例 1

从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛. (I) 求所选 3 人都是男生的概率; (II)求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率; (III)求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率.

变式 1:甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有 2 个红球,2 个白球;乙 袋装有 2 个红球,n 个白球.两甲,乙两袋中各任取 2 个球. (Ⅰ)若 n=3,求取到的 4 个球全是红球的概率; (Ⅱ)若取到的 4 个球中至少有 2 个红球的概率为

3 ,求 n. 4

例 2.在一个圆锥体的培养房内培养了 40 只蜜蜂,准备进行某种实验,过圆锥高的中 点有一 个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区, 其中小锥体叫第一 实验区,圆台体叫第二实验区,且两个实验区是互通的。假设蜜蜂落入培养房内任何位置 是等可能的,且蜜蜂落入 哪个位置相互之间是不受影响的。 (1)求蜜蜂落入第二实验区的概率;
[来源:Zxxk.Com]

(2)若其中有 10 只蜜蜂被染上了红色,求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率; (3)记 X 为落入第一实验区的蜜蜂数,求随机变量 X 的数学期望 EX 。

1

变式 2 方程 x 2 ? x ? n ? 0 (n ? (0,1)) 有实根的概率为( ) 1 1 1 3 A. B. C. D. 2 3 4 4 考点 2 考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算 不可能同时发生的两个事件 A、B 叫做互斥事件,它们至少有一个发生的事件为 A+B, 用概率的加法公式 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 计算。 事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,则 A、B 叫做相互独立事 件,它们同时发生的事件为 A ? B 。用概率的法公式 P? A ? B? ? P? A? ? P?B? 计算。高考常 结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。 例 3.设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内,甲、乙 都需要照顾的概率为 0.05,甲、丙都需要照顾的概率为 0.1,乙、丙都需要照顾的概率为 0.125, (Ⅰ)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少; (Ⅱ)计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.

变式 1.某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每 名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的 有 60%,参加过计算机培训的有 75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各 人的选择相互之间没有影响. (1)任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (2)任选 3 名下岗人员,记 ? 为 3 人中参加过培训的人数,求 ? 的分布列和期望.

2

考点 3

考查对立事件概率计算
? ?

必有一个发生的两个互斥事件 A、B 叫做互为对立事件。即 B ? A 或 A ? B 。用概 率的减法公式 P? A? ? 1 ? P? A ? 计算其概率。 高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。 例 4.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 与

?_? ? ?

1 2

2 . 5

(Ⅰ)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的概率; (Ⅱ)甲、乙两人在罚球线各投球二次,求这四次投球中至少一次命中的概率.

变式 1.某工厂在试验阶段大量生产一种零件。这种零件有 A 、B 两项技术指标需要检 测,设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为 一项技术指标达标的概率为
5 ,至少 12

11 .按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品. 12

(Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品的概率是多少? (Ⅱ) 任意依次抽出 5 个零件进行检测, 求其中至多 3 个零件是合格品的概率是多少? (Ⅲ)任意依次抽取该种零件 4 个,设 ? 表示其中合格品的个数,求 E? 与 D? .

3

考点 4 考查独立重复试验概率计算 若在 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果,则此试验 叫做 n 次独立重复试验。若在 1 次试验中事件 A 发生的概率为 P,则在 n 次独立惩处试验
k 中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 Pn ?k ? ? Cn P k ?1 ? P? n ?k



高考结合实际应用问题考查 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率的计算方法 和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。 例 5.某会议室用 5 盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同.假定每盏灯能否正常 照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 p1,寿命为 2 年以上的 概率为 p2.从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的灯泡,平时不换. (Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率; (Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的 概率; (Ⅲ)当 p1=0.8,p2=0.3 时,求在第二次灯泡更换工作,至少需要更换 4 只灯泡的概率 (结果保留两个有效数字).

考点 5 考查随机变量概率分布与期望计算 解决此类问题时,首先应明确随机变量可能取哪些值,然后按照相互独立事件同时发 生概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列,最后根据分布列和期望、 方差公式去获解。以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决 实际问题的能力。 例 6.某地最近出台一项机动车驾照考试规定;每位考试者一年之内最多有 4 次参加考试 的机会,一旦某次考试通过,使可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第 4 次为止。如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为 0.6,0.7,0.8, 0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数 ? 的分布列和 ? 的期望,并求李明在一年内领到驾 照的概率.

4

变式 1 某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确得 100 分, 回答不正确得 100 分.假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8,且各题回答正确与否相互 之间没有影响. ①求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望. ②求这名同学总得分不为负分(即 ? ? 0) )的概率.

考点 6 考查随机变量概率分布列与其他知识点结合 1 考查随机变量概率分布列与函数结合 例 7.某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4,0.5, 0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设ξ 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有 游览的景点数之差的绝对值. (Ⅰ)求ξ 的分布及数学期望; (Ⅱ)记“函数 f(x)=x2-3ξ x+1 在区间[2,+∞ ) 上单调递增”为事件 A,求事件 A 的 概率.

变式 1.一个口袋中装有 n 个红球( n ? 5 且 n ? N )和 5 个白球,一次摸奖从中摸两个球, 两个球颜色不同则为中奖. (Ⅰ)试用 n 表示一次摸奖中奖的概率 p ; (Ⅱ)若 n ? 5 ,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率; (Ⅲ)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为 P .当 n 取多少时,P 最 大? 2、考查随机变量概率分布列与数列结合 例 8 甲乙两人做射击游戏,甲乙两人射击击中与否是相互独立事件,规则如下:若 射击一次击中,原射击者继续射击,若射击一次不中,就由对方接替射击。已知甲乙两人 射击一次击中的概率均为

7 ,且第一次由甲开始射击。 8

(1)求前 4 次射击中,甲恰好射击 3 次的概率。 (2)若第 n 次由甲射击的概率为 an ,求数列 ?an ? 的通项公式
5

变式 2:连续做某种实验,结果或成功或失败,已知当第 k 次成功,则第 k+1 次也成功地

1 3 ;当第 k 次失败,则第 k+1 次成功的概率为 。若首次试验成功和失败的 2 4 1 概率都是 ,求第 n 次试验成功的概率。 2
概率为

3、考查随机变量概率分布列与不等式结合 例9 某工厂生产甲、 乙两种产品, 每种产品都是经过 第一和第二工序加工而成, 两道工序的加工结果 相互独立,每道工序的加工结果均有 A、B 两个 等级.对每种产品,两道工序的加工结果都为 A 级时,产品为一等品,其余均为二等品. (Ⅰ)已知甲、乙两种产品每一道工序的加 工结果为 A 级的概率如表一所示,分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概率 P 甲、P 乙; (Ⅱ)已知一件产品的利润如表二所示,用 ξ 、η 分别表示一件甲、乙产品的利润,在(I) 的条件下,求ξ 、η 的分布列及 Eξ 、Eη ; (Ⅲ)已知生产一件产品需用的工人数和资 金额如表三所示.该工厂有工人 40 名,可用资金 60 万元.设 x、 分别表示生产甲、 y 乙产品的数量, 在 (II) 的条件下, y 为何值时,z ? xE? ? yE? x、 最大?最大值是多少? (解答时须给出图示)

6

变式 3: 现有甲、 乙两个项目, 对甲项目每投资十万元, 一年后利润是 1. 万元、 18 2 1.

1 1 1 、 、 ;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在 6 2 3 每次调整中价格下降的概率都是 p(0 ? p ? 1) ,设乙项目产品价格在一年内进行 2 次独立的 调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为 ? ,对乙项目每投资十万元, ? 取 0、 2 时, 1、
万元、1.17 万元的概率分别为 一年后相应利润是 1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元.随机变量 ?1 、 ?2 分别表示对甲、 乙两项目各投资十万元一年后的利润. (I) 求 ?1 、 ?2 的概率分布和数学期望 E?1 、 E? 2 ; (II) 当 E?1 ? E?2 时,求 p 的取值范围.

变式 4:某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a, b, c ,且三门课程考试是否及 格相互之间没有影响. (Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率; (Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小. (说明理由)

4、考查随机变量概率分布列与几何结合 例 10. 以平行六面体 的任意三个顶点为顶点作三角形, 从中随机取出 2 个三角形,则这 2 个三角形不共面的概率 P 为()

A.

B.

C.

D.

7

考点 7 考查随机变量概率分布列性质应用 设离散型随机变量的分布列为

?
P

x1

x2

? ?

xi Pi

? ?

P1

P2

它有下面性质:① Pi ? 0(i ? 1,2,?) ② p1 ? p2 ? ? ? pi ? ? ? 1, 即总概率为 1; ③期望 E? ? x1 P ? ? ? xi Pi ? ?; 方差 D? ? ( x1 ? E? ) 2 P1 ?? ? ( xi ? E? ) 2 P ? ? 1 i 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考查. 例 11.某一随机变量 ? 的概率分布如下表,且 E? ? 1.5 ,则 m? n 的值为(

2



A.-0.2;

B.0.2;

C.0.1;

D.-0.1

?
P

0 0.1

1

2

3

m

n 0.1

a 变式 1 随机变量ξ 的概率分布规律为 P(ξ =n)= (n=1,2,3,4),其中 a 是常数, n(n+1) 1 5 则 P( <ξ < )的值为 2 2 2 A. 3 3 B. 4 4 C. 5 5 D. 6

8

变式 2 下表为某班英语及数学成绩的分布.学生共有 50 人,成绩分 1~5 五个档次.例如 表中所示英语成绩为 4 分、数学成绩为 2 分的学生为 5 人.将全班学生的姓名卡片混 在一起,任取一枚,该卡片同学的英语成绩为 x ,数学成绩为 y 。设 x , y 为随机变量 (注:没有相同姓名的学生) (I) x ? 1 的概率为多少? x ? 3且y ? 3 的概率为多少? (II) a ? b 等于多少?当 y 的期望为 错 误! 未 找 到 引 用 源。 5 错误! 未 找 到 引 用源。 5 1 4 3 2 1 2 1 数学

133 时,试确定 a , b 的值 . 50

4

3

2

1

3 0 1

1 7 0

0 5 9

1 1 3 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 3

错 6 0 误 ! 英 未 考点 8 样本抽样识别与计算正态分布 语 找 简单随机抽样,系统抽样,分层抽样得共同特点是不放回抽样,且各个体被抽取得概率相 到 等,均为(N 为总体个体数,n 为样本容量).系统抽样,分层抽样的实质分别是等距抽样与按比 引 例抽样,只需按照定义,适用范围和抽样步骤进行,就可得到符合条件的样本.高考常结合应 用 用问题,考查构照抽样模型,识别图形,搜集数据,处理材料等研究性学习的能力. 源 例 12 某初级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现要利用 。 抽样方法抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方 1 1,2,?, 案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为 0 0 1 1 270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号 1,2,?,270,并将整个编号依次分为 10 段.如果抽得号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270; 关于上述样本的下列结论中,正确的是( ) A.②、③都不能为系统抽样 B.②、④都不能为分层抽样 C.①、④都可能为系统抽样 D.①、③都可能为分层抽样

9

变式 1 一工厂生产了某种产品 16800 件,它们来自甲.乙.丙 3 条生产线,为检查这 批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样,已知甲.乙.丙三条生产线抽取的个 体数组成一个等差数列,则乙生产线生产了______件产品. 例题 13.在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 N (70,100) 。已知成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 12 名。 (Ⅰ)试问此次参赛学生总数约为多少人? (Ⅱ)若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生,试问设奖的分数线约为多 少分? 可共查阅的(部分)标准正态分布表 ?( x0 ) ? P( x ? x0 )
x0 1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1 0 0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821 1 0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826 2 0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830 3 0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834 4 0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838 5 0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842 6 0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846 7 0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850 8 0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854 9 0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857

考点 9 考查直方图。 例 14.为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查 频率 了该校 100 名高三学生的视力情况, 得到频率分 组距 布直方图,如右,由于不慎将部分数据丢失,但 知道前 4 组的频数成等比数列, 6 组的频数成 后 等差数列,设最大频率为 a,视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b,则 a, b 的值分别为( ) 0.3 0.1 A.0,27,78 B.0,27,83 4.3 C.2.7,78 D.2.7,83

视力
4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2

变式 1 参加一次社会公益活动(以下简称活动) .该校文学社共有 100 名学生,他们参加 活动的次数统计如右图所示.则该文学社学生参加活动的人均次数为 中任意选两名学生,他们参加活动次数不同的概率是 . ;从文学社

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