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不等式证明


1
满分: 班级:_________ 姓名:_________ 考号:_________ 一、单选题(共 3 小题) 1.用反证法证明命题“三角形的三个内角中至多有一个是钝角”时, 假设正确的是( )
A.假设三角形的内角三个内角中没有一个是钝角 B.假设三角形的内角三个内角中至少有一个是钝角 C.假设三角形的内角三个内角中至多有两个是钝角 D.假设三角形的内

角三个内角中至少有两个是钝角 考点:不等式证明 答案:D 试题解析:

2.要证明
A.综合法 C.归纳法

可选择的方法有以下几种,其中最合理的是 ( ) B.分析法 D.类比法

考点:不等式证明 答案:B 试题解析:

3.若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的最值范围为( )
A. C. B. D.

考点:不等式证明 答案:B

试题解析:本题考查均值不等式等知识。 由均值不等式, ,故 ,选 B。 ,当且仅当 时不等式取 ,解得

第 II 卷(非选择题) 本试卷第二部分共有 77 道试题。 二、解答题(共 65 小题)
4.设关于 x 的不等式|x 一 2|<a(a (1)对于任意的 x (2)若 a 十 b=1,求 )的解集为 A,且 . 恒成立,且 a N,求 a 的值;

R,|x 一 1|+|x 一 3|

的最小值,并指出取得最小值时 a 的值.

考点:不等式证明 答案:见解析 试题解析:(1)因为 所以 解得: 又|x 一 1|+|x 一 3| 所以 所以 a=1. (2)因为 a 十 b=1, ,解得: ,又 , a N | ,

所以

当且仅当



时等号成立。

因为 所以 的最小值为 ,且取得最小值时 a 的值为 的解集为 . 。

5.已知关于 的不等式 (1)求实数 , 的值; (2)求

的最大值.

考点:不等式证明 答案:见解析 试题解析:(1)由 所以 (2) 得:

当且仅当 故

,即 t=1 时等号成立。

6.已知函数 f(x)=|x-2| (1)求证:f(m)+f(n) ≥|m-n| (2)若不等式 f(2x)+f(-x) ≥a 恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点:不等式证明 答案:见解析 试题解析:(1)证明:f(m)+f(n) (2)解:设 当 当 当 时, 时, 时, ,此时 ,此时 ,此时 ; ; ;

故实数 a 的取值范围是: 7.已知函数 f(x)=|x-2|

(1)求证:f(m)+f(n) ≥|m-n| (2)若不等式 f(2x)+f(-x) ≥a 恒成立,求实数 a 的取值范围.

考点:不等式证明 答案:见解析 试题解析:(1)证明:f(m)+f(n) (2)解:设 当 当 当 时, 时, 时, ,此时 ,此时 ,此时 ; ; ;

故实数 a 的取值范围是: 8.已知 f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}. (1)求 a 的值; (2)若 考点:不等式证明 答案:见解析 试题解析:(1)由|ax+1| 得: , ≤k 恒成立,求 k 的取值范围.

又不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}, 所以 a>0, 得:a=2.

(2)设



所以 9. 已知函数 (1)解不等式 (2)若对任意 ; ,都存在 ,使得 成立,求实数 的取值范围. .

考点:不等式证明 答案:(1) 试题解析:(1)由 ,得不等式的解为 (2)因为任意 所以 又 ,所以 ,解得 或 或 , ; 有解,求 的取值范围. , ,都有 ,使得 , , 成立, (2) 或 得

所以实数 的取值范围为 10.已知函数 (Ⅰ)解不等式: (Ⅱ)方程

考点:不等式证明 答案:见解析

试题解析:(Ⅰ)



令 令1 令 所以不等式的解集为 (Ⅱ)由图像可知:要使方程 有解 。 。

11.设不等式 (Ⅰ)证明: (Ⅱ)比较 与 ;

的解集为



.

的大小.

考点:不等式证明 答案:见解析

试题解析:(Ⅰ)记

,由

解得: 所以,

,即

(Ⅱ)由(Ⅰ)得: 因为 ,故 即 ,





12.设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0 的解集为 M,a,b∈M. (1)证明: ;

(2)比较|1-4ab|与 2|a-b|的大小,并说明理由.

考点:不等式证明 答案:见解析 试题解析:

(1)证明:记 f(x)=|x-1|-|x+2|=

由-2<-2x-1<0,解得-

<x<

,则 M=



所以 (2)由(1)得 a <
2 2


2

|a|+

|b|<

× +

× =

-

,b <
2 2 2 2 2 2 2

因为|1-4ab| -4|a-b| =(1-8ab+16a b )-4(a -2ab+b )=(4a -1)(4b -1)>0, 所以|1-4ab| >4|a-b| , 故|1-4ab|>2|a-b|2 2

13.已知函数 (1)若 (2)若 (3)设函数 求函数 且对任意 的单调区间; , 恒成立,求实数 的取值范围; ,求证:

考点:导数的综合运用不等式证明 答案:见解析 试题解析: (1)当 所以 由 所以 (2)因为 因为 所以当 所以 所以 所以 (3) 因为对于任意的 , ,解得 在 得 ,所以 ;由 ;单调递减区间 时 恒成立, 得 ,所以 ; 时,

单调递增区间

为偶函数,所以只需当 , 时,由 得 递减,在 ;由 递增





所以

所以 即 所以

14.设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0 的解集为 M,a,b∈M. (1)证明: ;

(2)比较|1-4ab|与 2|a-b|的大小,并说明理由.

考点:不等式证明 答案:见解析 试题解析:

(1)证明:记 f(x)=|x-1|-|x+2|=

由-2<-2x-1<0,解得- 所以 (2)由(1)得 a <
2 2

<x<

,则 M=

.

,b <
2 2 2 2 2 2 2

2

因为|1-4ab| -4|a-b| =(1-8ab+16a b )-4(a -2ab+b )=(4a -1)(4b -1)>0, 所以|1-4ab| >4|a-b| , 故|1-4ab|>2|a-b|
2 2

15.若 (Ⅰ)求

,且满足 的最大值;

.

(Ⅱ)证明:

考点:绝对值不等式不等式证明 答案:(Ⅰ) 试题解析: (Ⅰ)因为 当且仅当 (Ⅱ)证明:因为 可得 = = ,所以 时等号成立,所以 ,且 ( ) ,故 的最大值为 . . ;(Ⅱ)见解析

,所以根据柯西不等式,

=



所以

16.设 (Ⅰ)若 (Ⅱ)

均为正数,且 ,则 是

.证明: ; 的充要条件.

考点:不等式证明 答案:(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析

试题解析: (Ⅰ)由题意可得 , ,而 ,即 (Ⅱ) , .

17.已知 (Ⅰ)求证: (Ⅱ)求

, 的取值范围.

考点:不等式证明 答案:(Ⅰ)见解析(Ⅱ)[-2,2] 试题解析: (I)∵a +b ≥2ab,c +d ≥2cd ∴a +b +c +d ≥2(ab+cd),当且仅当 a=b=c=d=时取“=” 又∵a +b =1,c +d =1,∴2(ab+cd)≤2 ∴ab+cd≤1 (II)设=(a,b),=(1,), ∵|? |≤||? ||, ∴|a+b|≤2=2∴-2≤a+b≤2 ∴a+b 的取值范围为[-2,2]
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

18.选修 4-5:不等式选讲 设 (Ⅰ)若 (Ⅱ) 均为正数,且 ,则 是 ,证明: ; 的充要条件。

考点:不等式证明 答案:见解析 试题解析: (Ⅰ)由题意可得 , ,而 ,即 (Ⅱ) , .

19.(1)已知 数,求证:

都是正数,且

,求证:

;(2)已知

都是正

考点:不等式证明 答案:(1)见解析;(2)见解析

试题解析: (1)证明: 因为 又因为 于是 所以 (2)证明:因为 同理 ①②③相加得 从而 由 都是正数,得 . ,因此 .② 都是正数,所以 ,所以 ,即 ; ,所以 . ③ .① . . .

20.(1) 已知 正数,求证:

都是正数,且

,求证: .

;(2)已知

都是

考点:不等式证明 答案:(1)见解析;(2)见解析 试题解析: (1)证明: 因为 又因为 于是 所以 (2)证明:因为 同理 ①②③相加得 从而 由 都是正数,得 . ,因此 . .② 都是正数,所以 ,所以 ,即 ; ,所以 . ③ .① . . .

21.设 (1) (2)

,且 ; 与

.

不可能同时成立。

考点:不等式证明 答案:见解析 试题解析: 由 (1)由基本不等式及 ,即 (2)假设 则由 同理 故 及 ,从而 与 ; 与 得 ,这与 不可能成立 同时成立, , 矛盾, , , ,有 ,得 ,

22. (Ⅰ)已知 、 都是正实数,求证: (Ⅱ)若不等式 恒成立,求实数 的取值范围. 考点:不等式证明 答案:查看解析 试题解析:(Ⅰ)证明:由 . 又 、 都是正实数, 所以 所以 、 . ,即 对满足 ; 的一切正实数

(Ⅱ)根据柯西不等式有

. 又 或 ,即 或 恒成立, , . ; (2) 如果关于 的不等式 ,

所以 的取值范围是 23.(1) 已知 、 都是正实数,求证:

在 上恒成立,求实数 的取值范围. 考点:不等式证明 答案:详见解析 试题解析:(1)证明:由 又 、 都是正实数,所以 (2) 设 6, 24. 若 (Ⅰ) 求 (Ⅱ)是否存在 考点:不等式证明 答案:(Ⅰ) 试题解析:(Ⅰ) 由 故 ∴ (Ⅱ)由 所以不存在 ,使得 的最小值为 . ,得 成立. ,又由(Ⅰ)知 ,二者矛盾, (Ⅱ)不存在 ,得 ,且当 ,且当 时等号成立, 时等号成立, ,且 的最小值; ,使得 ?并说明理由。 。 在 ,由函数 、 的图像与 ,即 的图像可知: 恒成立,则 在 所以 时取最小值为

时取最大值为 ,若

25.

若 (I)求

且 的最小值; ,使得 ?并说明理由.

(II)是否存在 考点:不等式证明 答案:(1)

(2)不存在 ,得 ,且当 ,且当 时等号成立. 时等号成立.

试题解析:(I)由 故 所以 的最小值为

.

(II)由(I)知, 由于 26.设 ①比较 m、n 的大小; ②解关于 x 的不等式 . ,从而不存在 ,使得 , .

考点:不等式证明 答案:

试题解析: 27.已知 a≥b> 0, 求证: 2a3-b3≥2ab2-a2b. 考点:不等式证明 答案:见解析 试题解析:2a3-b3-(2ab2-a2b) =2a(a2-b2) +b(a2-b2) =(a2-b2) (2a+b) =(a-b) (a+b) (2a+b). 因为 a≥b> 0, 所以 a-b≥0, a+b> 0,2a+b> 0, 从而(a-b) (a+b) (2a+b) ≥0, 即 2a3-b3≥2ab2-a2b. 28.设 a, b, c 均为正数, 且 a+b+c=1. 证明: (Ⅰ) ab+bc+ca≤ ;

(Ⅱ) + + ≥1.

考点:不等式证明 答案:见解析 试题解析:(Ⅰ) 由 a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc, c2+a2≥2ca 得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c) 2=1, 即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以 3(ab+bc+ca) ≤1, 即 ab+bc+ca≤ . (Ⅱ) 因为 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c, 故 + + +(a+b+c) ≥2(a+b+c), 即 + + ≥a+b+c. 所以 + + ≥1. 29.若 均为正实数,并且 ,求证:

考点:不等式证明 答案:见详解 试题解析:



, . 又 .

30.已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1].

(1)求 m 的值; (2)若 a,b,c∈R+,且 + + =m,求证:a+2b+3c≥9.

考点:不等式证明 答案:(1)因为 f(x+2)=m-|x|, f(x+2)≥0 等价于|x|≤m, 由|x|≤m 有解,得 m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}. 又 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1],故 m=1. (2)证明:由(1)知 + + =1,又 a,b,c∈R+,由柯西不等式得 a+2b+3c=(a+2b+3c) ≥ 试题解析: 31.若 均为正实数,并且 ,求证: =9.

考点:柯西不等式不等式证明 答案:见详解. 试题解析: 根据柯西不等式和不等式的基本性质证 明.



, . 又 .

32.已知 f(x)=

,a≠b,求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|.

考点:不等式证明 答案:见解析 试题解析:|f(a)-f(b)|=| = = 33.(Ⅰ)设 (Ⅱ) ≤ < ,证明 =|a-b|. ; |

,证明



考点:不等式证明 答案:答案见解析

试题解析:(I)由于 明:

,所以要证明: ,只要证明: ,只要证明: ,只要证明:

,只要证

,由于

,上式显然成立,所以原命题成立。 (II)设 ,由换底公式得 ,故要证: ,只要证明: ,其中 的不等式成立。 ,由(I)知所要证明

34.已知 i,m、n 是正整数,且 1<i≤m<n. (1)证明: niA <miA (2)证明: (1+m)n>(1+n)m

考点:不等式证明 答案:证明过程略 试题解析:(1)对于 1<i≤m,且 A =m·…·(m-i+1),

, 由于 m<n,对于整数 k=1,2,…,i-1,有 所以 (2)由二项式定理有: (1+m) =1+C m+C m +…+C m , (1+n) =1+C n+C n +…+C n , 由(1)知 m A >n A
i i i i i i m 2 m n 2 n



(1<i≤m ,而 C =

∴m C n>n C m(1<m<n ∴m C =n C =1,mC =nC =m· n,m C >n C ,…,
m m m m C >n C ,m +1C 0 0 2 2

>0,…,m C >0,
n 2 2 m

n

∴1+C m+C m +…+C m >1+C n+C mn +…+C n , 即(1+m) >(1+n) 成立。 35.设 x1、x2、y1、y2 是实数,且满足 x12+x22≤1, 证明不等式(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1). 考点:不等式证明 答案:证明略 试题解析:分析:要证原不等式成立,也就是证(x1y1+x2y2-1) -(x12+x22-1)(y12+y22 -1)≥0. (1)当 x12+x22=1 时,原不等式成立.……………3 分 (2)当 x12+x22<1 时,联想根的判别式,可构造函数 f(x)=(x12+x22-1)x-2(x1y1+x2y2 -1)x+(y12+y22-1)…………………7 分 其根的判别式 Δ=4(x1y1+x2y2-1) -4(x12+x22-1)(y12+y22-1).………9 分
2 2 n m

2

由题意 x12+x22<1,函数 f(x)的图象开口向下. 又∵f(1)=x12+x22-2x1y1-2x2y2+y12+y22=(x1-y1) +(x2-y2) ≥0,………11 分 因此抛物线与 x 轴必有公共点. ∴Δ≥0. ∴4(x1y1+x2y2-1) -4(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0,…………13 分 即(x1y1+x2y2-1) ≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).……………14 分 36.若 a>0,b>0,a3+b3=2,求证:a+b≤2,ab≤1。 考点:不等式证明 答案:证明略 试题解析:证法一:因 a>0,b>0,a +b =2,所以 (a+b) -2 =a +b +3a b+3ab -8=3a b+3ab -6 =3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a +b )]=-3(a+b)(a-b) ≤0。 即(a+b) ≤2 ,又 a+b>0,所以 a+b≤2,因为 2 所以 ab≤1 证法二:设 a、b 为方程 x -mx+n=0 的两根,则 因为 a>0,b>0,所以 m>0,n>0,且 Δ=m -4n≥0
3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2

≤a+b≤2,

, ①

因为 2=a +b =(a+b)(a -ab+b )=(a+b)[(a+b) -3ab]=m(m -3n) 所以 n= 将②代入①得 m -4( 即
3 2

② )≥0,

≥0,所以-m +8≥0,即 m≤2,所以 a+b≤2,
2 2

由 2≥m 得 4≥m ,又 m ≥4n,所以 4≥4n, 即 n≤1,所以 ab≤1 证法三:因 a>0,b>0,a +b =2,所以 2=a +b =(a+b)(a +b -ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b) 于是有 6≥3ab(a+b), 从而 8≥3ab(a+b)+2=3a b+3ab +a +b =(a+b) ,所以 a+b≤2,(下略) 证法四:因为 ≥0,
2 2 3 3 3 3 3 2 2 3 3

所以对任意非负实数 a、b,有 因为 a>0,b>0,a +b =2,所以 1= ∴ ≤1,即 a+b≤2,(以下略)
3 3

≥ ≥ ,

证法五:假设 a+b>2,则 a +b =(a+b)(a -ab+b )=(a+b)[(a+b) -3ab]>(a+b)ab>2ab,所以 ab<1, 又 a +b =(a+b)[a -ab+b ]=(a+b)[(a+b) -3ab]>2(2 -3ab) 因为 a +b =2,所以 2>2(4-3ab),因此 ab>1,前后矛盾, 故 a+b≤2(以下略)。 37.已知 x,y,z∈R,且 x+y+z=1,x2+y2+z2= 证明:x,y,z∈[0, 考点:不等式证明 答案:证明略 试题解析:证法一: 由 x+y+z=1,x +y +z = 二次方程得: 2y -2(1-x)y+2x -2x+ ∴4(1-x) -4× 2(2x -2x+ 同理可得 y,z∈[0, 证法二: 设 x= 于是 = = =(
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2





,得 x +y +(1-x-y) =

2

2

2

,整理成关于 y 的一元

=0,∵y∈R,故 Δ≥0 )≥0,得 0≤x≤ ,∴x∈[0, ]

] +y′,z=
2

+x′,y=
2

+z′,则 x′+y′+z′=0,

+x′) +(
2

+y′) +( (x′+y′+z′)

+z′)

2

+x′ +y′ +z′ + +x′ +y′ +z′ ≥
2 2 2 2

+x′ + ,

2

=

+

x′

2

故 x′ ≤

,x′∈[-

],x∈[0,

],同理 y,z∈[0,



证法三: 设 x、y、z 三数中若有负数,不妨设 x<0,则 x >0, =x +y +z ≥x + x、y、z 三数中若有最大者大于 则 = =x +y +z ≥x + x(x- )+ > 矛盾 ] 的首项 的通项公式; 的前 项和为 ,求证: . ,前 项和 满足 .
2 2 2 2 2 2 2 2

2

> ,不妨设 x> =
2

,矛盾



=x +

2

x -x+

故 x、y、z∈[0, 38.已知正项数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)若数列

考点:不等式证明 答案:(Ⅰ) .(Ⅱ)证明:见解析。

试题解析:本试题主要是考查了数列的 通项公式和数列求和的综合运用。 (1)因为 即 (2)证明 到不等式的证明。 (Ⅰ)解:因为 即 ,所以数列 ,所以 , ,所以 ,所以 ,所以数列 ,因为 , 是首项为 ,公差为 的等差数列,从而得到公式。 ,所以 ,利用放缩法得

是首项为 ,公差为 的等差数列,得 ,





也适合. 所以 ,因为 ,所以

.…………………………………………7 分 ;

(Ⅱ)证明:

. 所以 ……………………………………………………………14 分

39.选修 4—5;不等式选讲 已知 a 和 b 是任意非零实数. (1)求 (2)若不等式 考点:不等式证明 答案:(I)最小值等于 4. (II) ,可 的最小值. 恒成立,求实数 x 的取值范围.

试题解析:(I)根据绝对值不等式的性质可知 得 的最小值等于 4.

(II)先把不等式转化为 论,进一步转化为 (I) 当且仅当 的最小值等于 4. (II) 故 由(I)可知 不大于 恒成立, 的最小值 的最小值等于 4. 的解. 时取等号,

恒成立问题,然后根据第(I)的结 .解此不等式即可. 对于任意非零实数 a 和 b 恒成立,

实数 x 的取值范围即为不等式 解不等式得 40.选修 4—5;不等式选讲. 设不等式 (I)试比较 (II)设 的解集是 与 表示数集 , . 的大小; 的最大数.

,求证:



考点:不等式证明

答案:(I) (II)见解析





试题解析:(1)先解出 M={x|0<x<1}. (I) 即 (2) 比较两个数的大小,最基本的方法就是作差比较. .问题得证. ,可知 ,

所以根据不等式的性质,同向正向不等式具有可乘性,从而可证出

.

41.选修 4-5:不等式选讲 已知 为正数,求证: .

考点:不等式证明 答案:见解析 试题解析:因为 a,b 是正数,要证明 等等的方法来证明。 证明一: ,所以 ,利用分析法证明即可。或者均值不等式

--------5 分 当且仅当 即 b=2a 时取等号。---------7 分

证法二:由柯西不等式

即 当且仅当

--------5 分 即 b=2a 时取等号。---------7 分

42.由下列不等式: , 等式?并加以证明. 考点:不等式证明 答案:解:根据给出的几个不等式可以猜想第 个不等式,即一般不等式为: 你能得到一个怎样的一般不

.………………………………………………3 分 用数学归纳法证明如下 (1)当 (2)假设当 时, ,猜想成立;………………………………………… 5 分

时,猜想成立,即 ,………………6 分

则当 ,即当

时, 时,猜想也正确,所以对任意的 ,不等式成立.…………9 分

试题解析:本事主要是考查了运用归纳猜想的思想求解不等式的结论,并给与证明,这里要 用数学归纳法加以证明,主要在证明过程中要用到假设。 43.用适当方法证明:如果 考点:不等式证明 答案:证明:(用综合法) 那么 。

. ∵ ∴ ∴ . 8分

试题解析:本试题主要是考察了不等式的证明。利用综合法从条件分析,作差法得到通分合 并来分析差与零的关系得到结论。 44.已知 为正实数, 为自然数,抛物线 为该抛物线在点 处的切线在 轴上的截距。 ; 成立的 的最小值; 与 的大小,并说明理由。 与 轴正半轴相交于点 ,设

(Ⅰ)用 和 表示 (Ⅱ)求对所有 都有 (Ⅲ)当 考点:不等式证明 答案:(1) (2)a 的最小值是 (3) ;

时,比较

; ,证明见解析.

试题解析:(1)由已知得,交点 A 的坐标为

,对

则抛物线在点 A 处的切线方程为

由(1)知 f(n)=

,则

即知, 当 ,

对于所有的 n 成立,特别地,取 n=2 时,得到 a≥

>2n +1 当 n=0,1,2 时,显然

3

故当 a=

时,

对所有自然数都成立

所以满足条件的 a 的最小值是



(3)由(1)知

,则



下面证明:

首先证明:当 0<x<1 时,

设函数

当 故 g(x)在区间(0,1)上的最小值 g(x)min=g

所以,当 0<x<1 时,g(x)≥0,即得

由 0<a<1 知 0<a <1(

k

),因此

,从而

[点评]本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力. 主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、分析问题 与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等 数学思维方法。 45.若 a,b,c 均为实数,且 , , ,

试用反证法证明:a,b,c 中至少有一个大于 0. 考点:不等式证明 答案:见解析. 试题解析:利用反证法证明时,先否定结论,然后利用否定后的结论,结合已知的公理或者 定理产生矛盾,说明假设不成立,原命题成立。设 a、b、c 都不大于 0,a≤0,b≤0,c≤0, ∴a+b+c≤0,而 a+b+c=(x -2y+ ∴a+b+c>0,这与 a+b+c≤0 矛盾。 (反证法)证明:设 a、b、c 都不大于 0,a≤0,b≤0,c≤0,∴a+b+c≤0, 而 a+b+c=(x -2y+
2 2 2 2

)+(y -2z+

2

)+(z -2x+

2



)+(y -2z+
2

2

)+(z -2x+
2

2


2 2

=(x -2x)+(y -2y)+(z -2z)+π=(x-1) +(y-1) +(z-1) +π-3, ∴a+b+c>0,这与 a+b+c≤0 矛盾,故 a、b、c 中至少有一个大于 0. 46.用比较法证明: 考点:不等式证明

答案: 试题解析:本试题主要是考查了不等式的证明的运用。利用作差比较法是证明不等式的常用 最重要的方法之一,再结合平方差公式得到结论。 47.(1) 证明:当 (2) 要使上述不等式 时,不等式 成立; 成立,能否将条件“ ”适当放宽?若能,请放宽

条件并简述理由;若不能,也请说明理由; (3)请你根据⑴、⑵的证明,试写出一个类似的更为一般的结论,且给予证明. 考点:不等式证明 答案:(1)证明:见解析; (2)∵ 对任何 且 ,式子 且 与 . 且 , , , 同号,恒成立,

∴ 上述不等式的条件可放宽为

根据(1)(2)的证明,可推广为:若 则有 证明:见解析。 .

试题解析:(1)证明易采用作差比较,然后对差值分解因式,再判断每个因式的符号,从而确 定差值符号. (2)根据(1)先观察成立时应具体什么条件,然后再采用作差比较法进行证明. (1)证明:左式-右式= ∵ ∴ ∴ 不等式 且 , , 成立. ,式子 且 与 . 且 , , , 同号,恒成立, ,

(2)∵ 对任何

∴ 上述不等式的条件可放宽为

根据(1)(2)的证明,可推广为:若 则有 证明:左式-右式 .

. 若 若 ,则由 ,则由 若 且 成立. 且 也对. 满足 ,求证 ,数列 是等比数列;(2) 求数列 的前 项和为 ,求证: 的通项公式; , , , , , 不等式成立; 不等式成立.

∴ 综上得: 则有

注:(3)中结论为:若 则有 48.数列 (1)设 (3)设 考点:不等式证明 答案:(1)见解析;(2) 试题解析:第一问中,由

(3) 得 ,即

所以得到证明。 第二问中,又 即 ,

第三问Ⅲ)

解得。

解:(Ⅰ)由



,即

, …………4分

是以2为公比的等比数列 (Ⅱ) 又 即 ,

故 (Ⅲ)

…………8 分

=



…………12 分

49.设 a,b 均为正数,且 a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2. 考点:不等式证明 答案: 试题解析:证明:法一:(分析法) 要证 a +b >a b+ab 成立, 只需证(a+b)(a -ab+b )>ab(a+b)成立. 又因为 a+b>0,只需证 a -ab+b >ab 成立. 又需证 a -2ab+b >0 成立,即需证(a-b) >0 成立. 而依题设 a≠b,则(a-b) >0 显然成立,由此命题得证. 法二:(综合法) a≠b?a-b≠0?(a-b) >0?a -2ab+b >0 ?a -ab+b >ab.(*) 而 a,b 均为正数,∴a+b>0, 由(*)式即得(a+b)(a -ab+b )>ab(a+b), ∴a +b >a b+ab . 50.设 ,求证: .
3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2

考点:不等式证明 答案:见解析。 试题解析:本试题主要是考察了不等式的证明,可以运用分析法证明,也可以利用综合法来 证明。或者同时运用这两种方法来证明。 分析法是寻找结论成立的充分条件,是执果索因,而综合法是从条件推导得到结论,是由因 到果,两者是不同的证明题型的运用。 证明:(法一)要证原不等式成立,只须证: 即只须证: 由柯西不等式易知上式显然成立,所以原不等式成立。 (法二)由对称性,不妨设: 所以:(顺序和) (顺序和) 将以上两式相加即得: 51.已知 求证: 考点:不等式证明 答案:见解析。 试题解析:本试题主要是考查了运用不等式的思想,证明和求解参数 x,y,z 的取值范围问题。 根据已知中 然后利用韦达定理的思想来求解范围。 证明:显然 是方程 由 得 ,同理可得 且 的两个实根, , , 为大于 1 的自然数, ,然后消去一个未知数, ,且 . ,则 , (乱序和) (乱序和)

52.分 10 分)已知 求证:

考点:不等式证明 答案: 试题解析: 53.已知 并确定 均为正数,证明: 为何值时,等号成立。 ,

考点:不等式证明 答案:见解析。 试题解析:本试题主要是考查了运用不等式的思想来证明不等式问题的运用。 首先可以考虑运用分析法和综合法两种办法来完成,分别对于已知的关系式分析结构特点, 然后结合均值不等式的思想也可以,也能通过重要不等式来证明。 (证法一) ∵ …………………………① , ∴ ……………………②

……………………③ ∴原不等式成立。 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立,当且仅当 立。 即当 a=b=c= 时原式等号成立。 时,③式等号成

(证法二)∵a,b,c 都是正数,由基本不等式得



………………………………①





…………………………………………③ ∴原不等式成立 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立,当且仅当 a=b=c, ③式等号成立。 即当 a=b=c= 时原式等号成立。 时,

54.已知正数 a, b, c 满足 a+b 2c. 求证: 考点:不等式证明 答案:见解析。 试题解析:分析法 55.已知 0<a<1,0<b<1,0<c<1。求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 中至少有一个不大于 。 考点:不等式证明 答案:见解析 试题解析:解法一:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 都大于 则(1-a)b· (1-b)c· (1-c)a> ∵0<a<1, ∴a>0,1-a>0。 ∴0<a(1-a)≤[ 同理 0<b(1-b)≤ ]= ,0<c(1-c)≤ ,
2





(1-b)c· (1-c)a≤ 三式相乘得:0<(1-a)b· ①与②矛盾,故假设不成立



∴(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 中至少有一个不大于 解法二:假设:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 都大于 ∵0<a<1,0<b<1, ∴(1-a)+b≥ > =1 ,

同理(1-b)+c>1,(1-c)+a>1 三式相加得:(1-a)+b+(1-b)+c+(1-c)+a>3 即 3>3,不等式不成立,故假设不成立。 56.试用分析法证明不等式 考点:不等式证明 答案:证明见解析 试题解析:用分析法证明是从要证的结论出发一直寻找使结论成立的充分条件,直到找到题 目所给条件或已知的定理,公理,公式为止. 本小题应该先对要证的式子进行变形 平方去掉根号进行证明即可 证明:要证原不等式,只需证. ∵ 两边均大于零. …………4 分 ……………6 分 ,即证 ,而 显然成立 …10 分 …………2 分 ,由于式子两边都为正数,再

因此只需证 只需证 只需证 原不等式成立. 57.选修 4-5:不等式选讲 已知实数 满足 ,且

,求证:

考点:不等式证明 答案:见解析。 试题解析:本试题主要是考查了不等式的证明,利用均值不等式和消元的思想,表示参数, 然后结合 a,b 是方程 x -(1-c)x+c -c=0 的两个不等实根,得到判别式大于零,得到 c 的 范围。 因为 a+b=1-c,ab=
2 2 2 2

=c -c,

2

………………………3 分

所以 a,b 是方程 x -(1-c)x+c -c=0 的两个不等实根, 则△ =(1-c) -4(c -c)>0,得- <c<1, 而(c-a)(c-b)=c -(a+b)c+ab>0, 即 c -(1-c)c+c -c>0,得 c<0,或 c> 又因为 58.已知 ,所以
2 2 2 2 2

………………………5 分



…………………………8 分 . …………10 分 .

.所以- <c<0,即 1<a+b<

为实数,证明:

考点:不等式证明 答案:证明见解析。 试题解析:比较两个数大小的基本方法是作差比较,本小题也易于采用作差比较法. 证明:∵ ∴ ∴ 左边-右边= 为实数, .

. ∴ 法二:根据柯西不等式, 有 ∴ 法三:∵ ∴ 左边 为实数, 得证. . 得证.

右边. ∴ 59.(本小题满分 14 分,每小题 7 分) (Ⅰ)设函数 (Ⅱ)用放缩法证明不等式: 考点:不等式证明 答案:(1) . (2)证明:见解析。 ,如果 , ,求 的取值范围. 得证.

试题解析:(1)本小题属于绝对值不等式,要根据零点分段法,去掉绝对值,然后再解不等式. (2)本小题证明利用不等式的放缩法.关键是 然后叠加即可. 解:(1)若 , ,不满足题设条件;…………………1 分 .







的最小值为

;………………3 分







的最小值为

. ………………5 分

所以对于 故 的取值范围 (2)证明:



的充要条件是 .

, ……………… 7 分 ………………9 分

………………12 分 ………………14 分 60.设 ,求证:

考点:不等式证明 答案: 试题解析:

61.已知 值.

,试证:

;并求函数



)的最小

考点:不等式证明 答案:见解析 试题解析:本试题主要是考查了不等式证明的运用利用作差法或者柯西不等式法,重要不等 式的思想都可以解决。体现了不同角度解决同一问题的灵活性。 证法 1:(作差法) ……………6 分 又 …………………………8 分 证法 2:(柯西不等式) 由柯西不等式: 当且仅当 a=b 时等号成立,

证法 3:(重要不等式)

当且仅当 a=b 时等号成立. …………………………8 分 由上式可知: 62.设 是互不相等的正数, ……12 分

求证:(Ⅰ) (Ⅱ) 考点:不等式证明 答案:见解析。 试题解析:本试题主要是考查了重要不等式和均值不等式的运用证明不等式的问题。 (1)直接运用综合法思想得到不等式的证明 (2)因为 ,然后 两

边开方得到结论,相加。 (I)∵ ∴ ∵ 同理: ∴ (II) 即 同理可得 三式相加,得 …………..12 分 63.选修 4-5:不等式选讲已知 均为正数,证明: ,并确定 考点:不等式证明 答案:证明见解析,当且仅当 a=b=c= 试题解析:(证法一) 时,等号成立 为何值时,等号成立。 ,两边开平方得 ,






……………6 分

因为 a,b,c 均为正数,由平均值不等式得



所以



……6 分

故 又 所以原不等式成立. ③

.

……8 分

当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立。当且仅当 立。 即当且仅当 a=b=c= (证法二) 时,原式等号成立。 ……10 分

时,③式等号成

因为 a,b,c 均为正数,由基本不等式得

所以 同理

① ② ……6 分



③ 所以原不等式成立. ……8 分 时,

当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立,当且仅当 a=b=c, ③式等号成立。 即当且仅当 a=b=c= 时,原式等号成立。 ……10 分

【考点定位】本题考查放缩法在证明不等式中的应用,本题在在用缩法时多次用到基本不等 式,请读者体会本题证明过程中不考虑等号是否成立的原理,并与利用基本不等式求最值再 据最值成立的条件求参数题型比较.深入分析等号成立的条件什么时候必须考虑,什么时候 可以不考虑. 64.求证:(1) (2) + >2 + . ;

考点:不等式证明 答案: 试题解析:(1) ∵ 将此三式相加得:2 ∴ . , , , ;

(2)要证原不等式成立,只需证( 即证 65.已知 考点:不等式证明 答案:

+

) >(2

+

) ,

.∵上式显然成立, ∴原不等式成立. ,判断 与 的大小,并证明你的结论.

试题解析:本试题主要是考查了比较大小的运用利用作差法可知得到

,提取公因式,然后分析符号与 0 的关系得到证明。 证明: ……2 分

……6 分 又 ∴ 故 即 66.已知函数 (1)若对任意的实数 ,都有 (2)当 (3)若 考点:不等式证明 答案:解:(1)对任意的 对任意的 , ,都有 时, ,而 .……10 分 ……11 分 ……12 分 . ,求 的取值范围; ; 的充要条件是 的最大值为 M,求证: , .……8 分

,求证:对于任意的

∴ (2)证明:∵ 。 (3)证明:由

. ∴ ,即

得,





上是减函数,在

上是

增函数。∴当 .

时,



时取得最小值

,在

时取得最大值

故对任意的



试题解析: 67.已知数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)若数列 数列; (Ⅲ)证明: 考点:不等式证明 答案:(1) ;(2)见解析;(3)见解析. 满足 的通项公式; 满足 ,证明: 是等差

试题解析:(1)利用递推关系式找出相邻项的关系,从而利用数列的概念求出数列通项公 式;(2)先化简所给式子,然后利用式子构造递推式子,作差化简得到等差数列中项的式子即 可证明;(3)利用放缩法证明不等式,证明时要注意适当放缩。 解:(1) 故数列 (2) , 是首项为 2,公比为 2 的等比数列。 , ,

① ② ②—①得 ④ ④—③得 所以数列 (3) 是等差数列 ,即 ,即 ③

设 则



68.当

时,求证:

考点:不等式证明 答案:证明:

试题解析:

三、证明题(共 5 小题)
69.(1)已知 数,求证: 都是正数,且 ,求证: . ;(2)已知 都是正

考点:不等式证明 答案:(1)见解析;(2)见解析 试题解析: (1)证明: 因为 又因为 于是 都是正数,所以 ,所以 ,即 . . .

所以 (2)证明:因为 同理 ①②③相加得 从而 由 都是正数,得

; ,所以 .② . ③ .①

. ,因此

70.(1)已知 数,求证:

都是正数,且

,求证:

;(2)已知

都是正

考点:不等式证明 答案:(1)见解析;(2)见解析 试题解析: (1)证明: 因为 又因为 于是 所以 (2)证明:因为 同理 ①②③相加得 从而 由 都是正数,得 . ,因此 . .② 都是正数,所以 ,所以 ,即 ; ,所以 . ③ .① . . .

71.已知 (Ⅰ) (Ⅱ)

且 ; .

.证明:

考点:不等式证明 答案:见解析 试题解析: 解:(Ⅰ)

. , , , .

72. 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: (Ⅰ)ab+bc+ac (Ⅱ) ;

考点:不等式证明直接证明与间接证明 答案:见解析 试题解析:(Ⅰ)由 , , 得:

,由题设得 ,所以 ,即 .

,即

(Ⅱ)因为 所以 所以 .



, ,即

, ,

73.已知 a,b,c 均为正数,证明: 何值时,等号成立。

,并确定 a,b,c 为

考点:不等式证明 答案:见解析。

试题解析:证法一: 因为 a,b,c 均为正数,由平均值不等式得 ① , 所以 故 又 所以原不等式成立 当且仅当 a=b=c 时,①和②等号成立,当且仅当 即当且仅当 证法二: 因为 a,b,c 均为正数,由基本不等式得 , 所以 同理 故 ① ② ,③ 时,原式等号成立。 时,③式等号成立, ③ ② ,

所以原不等式成立 当且仅当 a=b=c 时,①和②等号成立,当且仅当 a=b=c, ③等号成立, 即当且仅当 ,原式等号成立。 时,

四、计算题(共 1 小题)
74.已知 a,b∈ 若 证明 ,且 a ,试求 m 的取值范围; .

考点:不等式证明 答案:见解析 试题解析: a b∈ ,a,

a,b∈

,根据题中所给各式特征,可构造边长为 1 的正方形,且在正方形内任取点

O,使 O 到 AD,AB 的距离为 a,b,则有





五、填空题(共 6 小题)
75.定义“正对数”: ln+x= ①若 a> 0, b> 0, 则 ln+(ab) =bln+a; ②若 a> 0, b> 0, 则 ln+(ab) =ln+a+ln+b; ③若 a> 0, b> 0, 则 ln+ ≥ln+a-ln+b; 现有四个命题:

④若 a> 0, b> 0, 则 ln+(a+b) ≤ln+a+ln+b+ln 2. 其中的真命题有 考点:不等式证明 答案:①③④ 试题解析:对于①: 当 0< ab< 1 时, 有 此时 ln+(ab) =bln+a=0; 当 ab=1 时, 有 当 ab> 1 时, 有 此时 ln+(ab) =bln+a=0; 此时 ln+(ab) =ln ab=bln a, . (写出所有真命题的编号)

而 bln+a=bln a=ln+(ab), 综上, ln+(ab) =bln+a, 故①正确; 对于②: 令 a=2, b= , 则 ln+(ab) =ln+ =0; 而 ln+a+ln+b=ln 2> 0, 故 ln+(ab) =ln+a+ln+b 不成立,

故②错误; 对于③: 当 0< < 1 时, 有 或 或 ≥ln+a-ln+b 成立; 或 ≥ln+a-ln+b 成立; ≥ln+a-ln+b 成立, 故③正确; 或

经验证, ln+ 当 > 1 时, 有 经验证, ln+ 当 =1 时, ln+

对于④, 分四种情况进行讨论: 当 a≥1, b≥1 时, 不妨令 a≥b, 有 2ab≥2a≥a+b, 此时 ln+(a+b) ≤ln+a+ln+b+ln 2 成立; 同理, 当 a≥1,0< b< 1 或 0< a< 1, b≥1 或 0< a< 1,0< b< 1 时, ln+(a+b) ≤ln+a+ln+b+ln 2 成立. 故④ 正确; 综上所述, ①③④均正确. 76.设 P1, P2, …, Pn 为平面 α 内的 n 个点. 在平面 α 内的所有点中, 若点 P 到点 P1, P2, …, Pn 的 距离之和最小, 则称点 P 为点 P1, P2, …, Pn 的一个“中位点”. 例如, 线段 AB 上的任意点都是端 点 A, B 的中位点. 现有下列命题: ①若三个点 A, B, C 共线, C 在线段 AB 上, 则 C 是 A, B, C 的中位点; ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点 A, B, C, D 共线, 则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是 考点:不等式证明 答案:①④ 试题解析:对①, 不妨设 P 为平面内任一点, ∴|PA|+|PB|≥|AB|=|AC|+|CB|. 故 C 是 A, B, C 的中 位点. 对②, 设 C 是 Rt△ ABC 的直角顶点, 斜边 AB 的中点为 D. 于是|DA|+|DB|+|DC|=3|DC|. 但 |CA|+|CB|≤ · 2=2 |DC|< 3|DC|, 故 D 不是 A, B, C 的中位点. 对③, 不妨设 A、B、C、 . (写出所有真命题的序号)

D 是顺次的四个点, P 是平面内任一点, 点 O 为 P 在直线 AB 上的射影, ∴|PA|+|PB|+|PC|+|PD|≥|OA|+|OB|+|OC|+|OD|≥2|BC|+|CD|+|AB|. 由 P 的任意性知, 只要 O 点落在 线段 BC 上即可, ③错. 对④, 设梯形 ABCD 的对角线 AC, BD 相交于 O 点, 由于|PA|+|PC|≥|AC|, |PB|+|PD|≥|BD|. ∴|PA|+|PC|+|PB|+|PD|≥|AC|+|BD|=|AO|+|OB|+|OC|+|OD|, 即 O 为该梯形四个顶点的唯一的中位 点. 77.A.(不等式选做题)若不等式 范围是________. B.(几何证明选做题)如图, 则 AE=________。 ,且 对任意 恒成立,则 a 的取值

C.(坐标系与参数方程选做题)指教坐标系 xoy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建 立坐标系,设点 A,B 分别在曲线 则|AB|的最小值为_________。 考点:相似三角形不等式证明参数和普通方程互化 答案:A.(B.2 C.1 ] ( 为参数)和曲线 上,

试题解析:A.因为 . B. 所以 即

对任意

恒成立,所以有

C.由

得圆心为

,由 p=1 得圆心为

,由平

几知识知当 A,B 为

连线与两圆的交点时|AB|的最小值,则|AB|的最小值为 。

78.A.(不等式选做题)若关于 x 的不等式 的取值范围是______。 B.(几何证明选做题)如图, AD=12,则 BE=_______.

存在实数解,则实数 a ,且 AB=6,AC=4,

C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xoy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系,设点 A,B 分别在曲线 上,则 的最小值为______. ( 为参数)和曲线

考点:不等式证明参数和普通方程互化 答案:A.( B. C.3 ] [ )

试题解析:A.因为 存在实数解,有 B. 又 ,即 ; 得

所以 或 .

所以

C.由

得圆心为

,由 p=1 的圆心为

,由平

几知识知当 A,B 为

连接于两圆的交点时

的最小值,则

的最小值为

79.已知 可以是一个三角形的三条边,则实数 m 的取值范围为 考点:不等式证明 答案: 试题解析:解:因为 , .

,对任意正数



始终

,对任意正数

始终可以是一个三角形的三条边,满足三边的不等关系,可知参数 m 的范围是

80.已知 a,b,c 是不全相等的正数,求证: 考点:不等式证明 答案:证明:∵ ∴ 同理 ≥2abc ≥2abc ≥2abc ≥2bc,a>0, ①…………5 分 ②

③…………9 分 ≥2bc, ≥2ca, ≥2ab 三式不能全取“=”号,

因为 a,b,c 不全相等,所以

从而①、②、③三式也不能全取“=”号 ∴ …………14 分

试题解析:可以采用分析法进行推证,然后采用综合法书写解题步骤. 因为 ≥2bc, ≥2ca, ≥2ab,然后根据同向正向不等式具有可乘性,同向不

等式具有可加性,还要注意取等的条件,问题易解.


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