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【步步高】2013-2014学年高中数学 第三章 3.1.2两条直线平行与垂直的判定课件 新人教A版必修2


3.1.2
[学习要求]

两条直线平行与垂直的判定

1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件; 2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直; 3.能应用两条直线平行或垂直进行实际应用. [学法指导] 通过把研究两条直线的平行或垂直问题,转化为研究两条 直线的斜率的关系问题,培养运用已有知识解决新问题的 能力,以及数形

结合的能力.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.两条直线平行与斜率的关系 (1)对于两条不重合的直线 l1、l2,其斜率分别为 k1、k2, 有 l1∥l2? k1=k2 . (2)如果直线 l1、l2 的斜率都不存在,并且 l1 与 l2 不重合, 那么它们都与 x 轴 垂直,故 l1 ∥ l2. 2.两条直线垂直与斜率的关系 (1)如果直线 l1、l2 的斜率都存在,并且分别为 k1、k2,那 么 l1⊥l2? k1k2=-1 . (2)如果两条直线 l1、l2 中的一条斜率不存在,另一个斜率 是零,那么 l1 与 l2 的位置关系是 垂直 .

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[问题情境] 为了表示直线的倾斜程度,我们引入了直线的倾斜角与斜 率的概念,并推导出了斜率的坐标计算公式,即把几何问 题转化为代数问题.那么,我们能否通过两条直线的斜率 来判断两条直线的平行或垂直呢?本节我们就来研究这个 问题.

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探究点一 问题 1 两条直线平行的判定

如图, 设对于两条不重合的直线 l1 与 l2,

其倾斜角分别为 α1 与 α2,斜率分别为 k1、k2, 若 l1∥l2,α1 与 α2 之间有什么关系?k1 与 k2 之 间有什么关系?
答 α1 与 α2 之间的关系为 α1=α2;对于 k1 与 k2 之间的关系, 当 α1=α2 时,k1=k2,因为 α1=α2,所以 tan α1=tan α2,即 k1=k2.当 α1=α2=90° 时,k1、k2 不存在.

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问题 2 对于两条不重合的直线 l1 与 l2,若 k1=k2,是否一定有 l1∥l2?为什么? 答 一定有 l1∥l2.因为 k1=k2?tan α1=tan α2?α1=α2?l1∥l2.

小结

对于两条不重合的直线 l1、l2,其斜率分别为 k1、k2,有

l1∥l2?k1=k2.若直线 l1 和 l2 可能重合时, 我们得到 k1=k2?l1∥l2 或 l1 与 l2 重合.

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例1 已知 A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直

线 BA 与 PQ 的位置关系,并证明你的结论. 3-0 1 解 直线 BA 的斜率 k1= = , 2-?-4? 2

1 1 直线 BA 的方程为 y= (x+4)= x+2. 2 2 2-1 1 直线 PQ 的斜率 k2= = , -1-?-3? 2 1 1 5 直线 PQ 的方程为 y-1=2(x+3),即 y=2x+2.

1 5 因为 k1=k2=2,且 2≠2,所以直线 BA∥PQ. 小结 判定两条直线的位置关系时,一定要考虑特殊情况,
如两直线重合、斜率不存在等.一般情况都成立,只有一种 特殊情况不成立,则该命题就是假命题.

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跟踪训练 1 试确定 m 的值,使过点 A(m+1,0),B(-5,m)的直线与 过点 C(-4,3),D(0,5)的直线平行.



m-0 m 由题意得:kAB= = , -5-?m+1? -6-m

5-3 1 kCD= =2. 0-?-4? 由于 AB∥CD,即 kAB=kCD, m 1 所以 = ,所以 m=-2. -6-m 2

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例2 已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0),B(2,-1),

C(4,2),D(2,3),试判断四边形 ABCD 的形状,并给出证明. 1 解 AB 边所在直线的斜率 kAB=-2, 1 CD 边所在直线的斜率 kCD=- , 2
3 BC 边所在直线的斜率 kBC=2,

3 DA 边所在直线的斜率 kDA=2. 因为 kAB=kCD,kBC=kDA,所以 AB∥CD,BC∥DA. 因此,四边形 ABCD 是平行四边形.

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小结

y2-y1 熟记斜率公式:k= ,该公式与两点的顺序无关,已 x2-x1

知两点坐标 (x1≠x2) 时,根据该公式可求出经过两点的直线的斜 率.当 x1=x2,y1≠y2 时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角 为 90° .

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7 跟踪训练 2 求证:顺次连接 A(2,-3),B(5,- ),C(2,3), 2 D(-4,4)四点所得的四边形是梯形. 7 - -?-3? 2 1 证明 ∵kAB= =- , 6 5-2 4-3 1 kCD= =- , 6 -4-2 ∴kAB=kCD,从而 AB∥CD. 7 3-?- ? -3-4 2 13 7 又∵kBC= =- ,kDA= =- , 6 6 2-5 2-?-4? ∴kBC≠kDA,
从而直线 BC 与 DA 不平行, ∴四边形 ABCD 是梯形.

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探究点二 两条直线垂直的判定 问题 1 如图, 设直线 l1 与 l2 的倾斜角分别为 α1 与 α2,斜率分别为 k1、k2,且 α1<α2,若 l1⊥l2, α1 与 α2 之间有什么关系?为什么? 答 α2=90° +α1,因为三角形任意一外角

等于不相邻两内角之和.

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1 问题 2 已知 tan(90° +α)=- ,据此,如何推出问题 1 tan α 中两直线的斜率 k1、k2 之间的关系? 答 因为 α2 = 90° + α1 ,所以 tan α2 = tan(90° + α1) ,由于 1 1 tan(90° +α)=-tan α,tan α2=-tan α , 1 即 tan α2tan α1=-1,所以 k1· k2=-1.

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问题 3 答 如果两直线的斜率存在且满足 k1· k2=-1,是否一定

有 l1⊥l2?为什么? 一定有 l1⊥l2.不防设 k2<0, 即 α2 为纯角, 因为 k1· k2=-1, 1 则有 tan α2tan α1=-1,所以 tan α2=-tan α =tan(90° +α1), 1 则 α2=90° +α1,所以 l1⊥l2.

问题 4 答

对任意两条直线, 如果 l1⊥l2, 一定有 k1· k2=-1 吗? 不一定,因为如果直线 l1 和 l2 分别平行于 x、y 轴,则 k2

为什么? 不存在,所以 k1· k2=-1 不成立.

小结

如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们

的斜率之积等于-1;反之,如果它们的斜率之积等于- 1, 那么它们互相垂直,即 k1k2=-1?l1⊥l2.

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例3


已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1), B(1,0),
设第四个顶点 D 的坐标为(x,y),因为 AD⊥CD,AD∥BC,

C(3,2),求第四个顶点 D 的坐标.
所以 kAD· kCD=-1,且 kAD=kBC.

y-2 ? ?y-1· =-1 ?x-0 x-3 所以? , y - 1 2 - 0 ? = ? x - 0 3-1 ? ? ? ?x=0 ?x=2 ? 解得 (舍去),? . ? ? ?y=1 ?y=3 所以第四个顶点 D 的坐标为(2,3).
小结 在应用斜率解决与两条直线的平行或垂直有关的问题时, 应考虑到斜率存在与不存在的情况,避免出现漏解.两条直线垂 直与斜率之间的关系:l1⊥l2?k1· k2=-1 或一条直线斜率为零, 另一条斜率不存在.

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跟踪训练 3

已知 A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6),试判断直线

AB 与 PQ 的位置关系.

2 3 解 直线 AB 的斜率 kAB= ,直线 PQ 的斜率 kPQ=- . 3 2

2 ? 3? 由 kAB· kPQ=3×?-2?=-1,所以直线 AB⊥PQ. ? ?

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1.已知点 A(1,2),B(m,1),直线 AB 与直线 y=0 垂直,则 m 的值为 A.2
解析 ∴m=1.

( B ) B. 1 C.0 D.-1

由题意知直线 AB 垂直 x 轴,斜率不存在,

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1 2.已知直线 l1 的斜率为 k1=2,直线 l2 的斜率为 k2=- , 2 则 l1 与 l2 A.平行 C.垂直 B.相交但不垂直 D.重合 1 解析 由于 k1×k2=2×(-2)=-1,所以 l1⊥l2. ( C )

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平行 . 3.直线 l1:x=1 与直线 l2:x=0 的位置关系是________
解析 直线 l1 与 l2 的斜率都不存在,且 1≠0, ∴l1∥l2.

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4.已知 A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点,试判断△ABC 的
1-?-1? 1 解 AB 边所在直线的斜率 kAB= =- ,BC 边所在直线 2 1-5 3-1 的斜率 kBC= =2. 2-1 由 kAB· kBC=-1,得 AB⊥BC,即∠ABC=90° .

形状.

所以△ABC 是直角三角形.

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1. 代数方法判定两直线平行或垂直的结论:若直线 l1、l2 存在斜率 k1、k2,则 l1∥l2?k1=k2(其中 l1,l2 不重合); 若 l1、 l2 可能重合, 则 k1=k2?l1∥l2 或 l1 与 l2 重合. l1⊥l2 ?k1· k2=-1. 2.判定两条直线是平行还是垂直要 “三看”:一看斜率是 否存在,若两直线的斜率都不存在,则两直线平行,若 一条直线的斜率为 0, 另一条直线的斜率不存在, 则两直 线垂直;斜率都存在时,二看斜率是否相等或斜率乘积 是否为-1;三看两直线是否重合,若不重合,则两直线 平行.


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