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2.2.1椭圆及其标准方程 (2)

时间:2014-12-25


复习检测:
( 1)两点间的距离公式: | AB |? (x 2 ? x1 ) 2 ? (y2 ? y1 ) 2 (2)圆的定义: 到定点的距离等于定长 的点的轨迹的集合 (3)圆的标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,圆心为(a, b),半径为r (4)圆的一般方程: D E 1 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0,圆

心(? ,? ) , 半径为 D 2 ? E 2 ? 4F 2 2 2
2 2

太阳系

问题一:椭圆的画法
问题1:取一条定长的细绳,把它的两端都固定 在图板的同一点处,套上铅笔,拉紧绳子,移 动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个 什么图形?笔尖(动点)满足什么几何条件?

数学实验
? (1)取一条细绳,绳长2a ? (2)把它的两端固定在板 上的两个定点F1、F2, ? (3)用铅笔尖(M)把细 绳拉紧,在板上慢慢移 动看看画出的 图形
1.在椭圆形成的过程中,细绳的两端的位置是固定的还是运动 的? 2.在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明了什么? 3.在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离大小有怎样的关 系?

椭圆的定义
平面内与两个定点 F1、F2的距离的和等于 平面内 常数( 大于|F1F2 | )的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
F1

注意:
?[1]平面内----这是大前提 ?[2]动点 M 与两个定点F1和F2的距离的和是常数

?[3]常数要大于焦距

| MF1 | ? | MF2 |? 常 数

问题2:当点M到F1、F2的距离之和不大|F1F2| 时,点M的轨迹是什么?
( 1 )当| MF 椭圆 1 | ? | MF 2 |?| F 1F 2 | 时,动点的轨迹为
M
F1

F2

(2)当| MF 1 | ? | MF 2 |?| F 1F 2 | 时,动点的轨迹为线段F1F2 M
F1
F2

(3)当| MF 1 | ? | MF 2 |?| F 1F 2 | 时,动点的轨迹为不存在

例1:用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭 圆.
(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6 的点的轨迹. 是 (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4 的点的轨迹. 不是 (3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为 3的点的轨迹. 是

问题二:椭圆方程的推导
问题1:根据椭圆的形状,如何建立直角坐标系?
y y y y M M F1 y F2

O O
x

OF2

xx x

O
F1

x

O

方案一

方案二

建立平面直角坐标系通常遵循的原则:对称、“简洁”

问题2:如何求椭圆的方程呢?
解:取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y y 轴,建立平面直角坐标系(如图).
设点

设M(x, y)是椭圆上任意一 点,椭圆的焦距2c(c>0),M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ,则F1、F2的 坐标分别是(?c,0)、(c,0) .

建系

M

0 F1

F2

x

由椭圆的定义得:

| MF 1 | ? | MF 2 |? 2a
列式

根据两点间距离公式
| MF1 |? ( x ? c) 2 ? y 2 , | MF2 |? ( x ? c) 2 ? y 2

得方程 ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a

含有两个根号的式子,怎样化简呢?

化简

移项 平方

( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a ? ( x ? c ) 2 ? y 2
( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 a 2 ? cx ? a ( x ? c) 2 ? y 2

整理得

两边再平方,得

a 4 ? 2a 2cx ? c 2 x 2 ? a 2 x2 ? 2a 2cx ? a 2c 2 ? a 2 y 2
整理得

(a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 ( a 2 ? c 2 )

两边除以 a 2 ( a 2 ? c 2 ) 得

x y ? 2 ? 1. 2 2 a a ?c

2

2

问题3: 观察椭圆,你能从图中
的线段吗?

找出
6

a , c , a 2 ? c 2 代表
b2 ? a 2 ? c2

a—长半轴长 b—短半轴长

y

?a ? b ? 0?

4

M

M M

c—半焦距
-10 -5

a
F1

2

b
B

cO
-2

F2

5

x

长轴长:2a 焦 距:2c

短轴长:2b

-4

-6

椭圆的标准方程


a ? c ? b , 其中 b ? 0
2 2 2

y

M F1 O F2 x

代入上式,得

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

该方程叫做椭圆的标准方程。
焦点是F1(-c,0)、F2(c,0)
这里, c 2 ? a 2 ? b 2

问题4:如果焦点在y轴上,椭圆的标准方程 会是什么?
y F2 x O F1 M

当焦点在y轴上时,
y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

焦点是F1(0,-c)、F2(0,c)

x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪一个轴上.

例2:下列方程哪些表示椭圆?若表示椭圆焦点在 那个轴上?
x2 y2 (1) ? ?1 16 16 x2 y2 (2) ? ?1 25 16

(3)9 x2 ? 25 y 2 ? 225 ? 0

(4) ? 3x ? 2 y ? ?1
2 2

x2 y2 (5) 2 ? 2 ?1 (m不为0) m m ?1

变式:p36页练习第1,2题(P42页)

目标检测:
x2 y2 (1)已知椭圆的方程为: ? ? 1,则 4 5 5 ,b=_______ a=_____ 1 , 2 ,c=_______
焦点坐标为: (0,-1)、(0,1) ,焦距

y F2 x O F1 M

2 等于_____;
若曲线上一点M到左焦点F1的距离为3,则

2 5 ?3 , 点M到另一个焦点F2的距离等于_________ 2 5?2 则?F1MF2的周长为___________ |MF1|+|MF2|=2a

x2 y2 ? 1 ,则 (2)已知椭圆的方程为: ? 25 16 a=_____ ,c=_______ 5 ,b=_______ 4 3 ,焦点坐标 (3,0)、(-3,0) 焦距等于______; 为:____________ 若CD为过 6 左焦点F1的弦,则?F2CD的周长为________ 20
C

|CF1|+|CF2|=2a
D

F1

F2

y x x y ? ?1 ? ?1 或 (3)a=5,c=4的椭圆标准方程是 25 9 25 9
2 2

2

2

课堂小结:
1、椭圆的定义:我们把平面内与两个定点 F1 , F2的距离之 和等于常数(大于 | F1 F2 | ) 的点的轨迹叫做椭圆。 即

| MF1 | ? | MF2 |? 2a(a > c)

这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离 |F1F2|叫做焦距。 2、椭圆的图形与标准方程

焦点在x轴上
y M

焦点在y轴上







F1

O

F2

x


标 准 方 程 焦 点 坐 标
2 2 y x x y + 2 = 1 ? a > b > 0 ? 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b a b
2 2



F1 ? -c , 0 ?,F2 ? c , 0 ? F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

2 2 2 相 a、b、c 的关系 c ? a ?b 同 标准方程中,分母哪个大,焦 点 焦点位置的判断 点就在哪个轴上!

作业布置:
112班 P36页第3题 P42页第2题

107班

P49页第2题

复习:
1、椭圆的定义:我们把平面内与两个定点 F1 , F2的距离之 和等于常数(大于 | F1 F2 | ) 的点的轨迹叫做椭圆。 即

| MF1 | ? | MF2 |? 2a(a > c)

这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离 |F1F2|叫做焦距。 2、椭圆的图形与标准方程

焦点在x轴上
y M

焦点在y轴上







F1

O

F2

x


标 准 方 程 焦 点 坐 标
2 2 y x x y + 2 = 1 ? a > b > 0 ? 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b a b
2 2



F1 ? -c , 0 ?,F2 ? c , 0 ? F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

2 2 2 相 a、b、c 的关系 c ? a ?b 同 标准方程中,分母哪个大,焦 点 焦点位置的判断 点就在哪个轴上!

课前检测:

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1或 ? ? 1 1.a ? 6, c ? 1的椭圆的标准方程为36 35 36 35

x y 2.已知椭圆的方程是 2 ? ?( 1 a ? 5),它的两个焦 a 25 点分别为F1,F2,且 | F1 F2 |? 8, 弦AB过F1,则?ABF2的 周长为 4 41
3 2 2 ? ) 3.椭圆25x ? 16 y ? 1的焦点坐标为 (0, 20 x2 y2 4.椭圆 ? ? 1的焦点为2,则m的值为 5或3 m 4

2

2

例3:椭圆两焦点的坐标分别是(-2,0)、(2,0),
且椭圆经过点P
5 3 ( ,? ) 2 2

,求椭圆的标准方程。

解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以可设它的方程为:

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
?由椭圆的定义可知:

5 3 5 3 2a ? ( ? 2) 2 ? (? ) 2 ? ( ? 2) 2 ? (? ) 2 ? 2 10 2 2 2 2

所以a ? 10

又因 c=2,

故 b2=a2-c2=10-22=6

所以椭圆的标准方程为:

x2 y2 ? ?1 10 6

还有别的方法吗?

解法2:解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方 程为 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
由已知条件可知c=2 所以a2—b2=c2=4,所以b2=a2—4,代入椭圆标准方程得 x2 y2 ? 2 ?1 2 a a ?4 5 3 又因为椭圆经过点( ,- ) 2 2 5 2 3 2 ( ) (- ) 解得 a ? 10 ? 22 ? 2 2 ? 1 a a ?4 所以b2 ? a2 ? c2 ? 10 ? 4 ? 6,因此,所求椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 10 6

变式1:P49页第2题
1 1 1 例3 : 求经过两点P ( ,),P ( 1 2 0,- )的椭圆的标准方程. 3 3 2

变式2: 求中心在原点, 焦点在坐标轴上, 且经过
A( 3, ?2)和B(?2 3,1)两点的椭圆的标准方程.

轨 迹 问 题
例1.已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这个圆上
任意一点P向x轴作垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时, 线段PD中点M的轨迹是什么? 解: 设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为 ? x0 , y0 ? 则 x ? x0 , y ? y0 y 2

相关 点法

P( x0 , y0 )在圆x 2 ? y 2 ? 4上
2 0 2 0

P M

?x ? y ? 4
将x0 ? x , 得 即 y0 ? 2 y代入上述方程 x2 ? 4 y 2 ? 4 x2 ? y2 ? 1 4

o

D

2

x

所以,点M的轨迹是一个椭圆.

x2 变式:已知x轴上一定点A ?1, 0 ? , Q为椭圆 ? y 2 ? 1上任一点, 4 求AQ的中点M的轨迹方程.
[解]设中点M的坐标为 ? x, y ? , 点Q的坐标为 ? x 0 , y0 ? , 利用中点坐标公式, x0 ? 1 ? x ? , ? ? x0 ? 2 x ? 1, ? 2 得? ?? ? y0 ? 2 y. ? y ? y0 , ? ? 2
2 x0 x2 2 2 Q ? x 0 , y 0 ? 在椭圆 ? y ? 1上,? ? y 0 ? 1. 4 4 将x 0 ? 2x ? 1, y 0 ? 2y代入上式,

(2 x ? 1) 2 得 ? (2 y ) 2 ? 1. 4 1 2 y2 故所求AQ的中点M的轨迹方程是( x ? ) ? ? 1. 1 2 4

例2:如图,已知点A(-5,0),B(5,0).直线AM,
BM交于点M,且它们的斜率之积是- 4/9,求点M的轨迹方

程.
y
M

A

O

B

x


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