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高考数学压轴题放缩法技巧全解


放缩技巧全解
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战 性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命 题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特 征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 n 例 1.(1)求 ?

2 的值; 2 k ?1 4k ? 1 解析:(1)因为

(2)求证:

?k
k ?1

n

1
2

?

5. 3

2 2 1 1 ,所以 n 2 1 2n ? ? ? ? 1? ? ? 2 4n 2 ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 2 n ? 1 2 n ?1 4 k ? 1 k ?1
1 ? n2 1 n2 ? 1 4 ?
n 1 1 1 1 ? 2 5 1 ? ,所以 ? 1 ? 1 ? 2? ? 1 ? ? ? ??? ? ? 1? ? 2 ? 2? ? ? k 3 5 2 n ? 1 2 n ? 1 3 3 ? ? k ?1 4n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

(2)因为

4

2

技巧积累:(1)

1 4 4 1 ? ? 1 ? ? ? 2? ? ? n 2 4n 2 4n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
r ?1 r ? Cn ?

(2)

1 2 1 1 ? ? ? 1 2 ( n ? 1 ) n ( n ? 1 ) n ( n ? 1 ) n ( n ? 1) Cn C ?1 n

(3) T

1 n! 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? (r ? 2) n r r!(n ? r )! n r r! r (r ? 1) r ? 1 r

(4) (1 ? 1 ) n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
n 2 ?1 3 ? 2

1 5 ? n(n ? 1) 2

(5)

1 1 1 ? ? 2 n (2 n ? 1) 2 n ? 1 2 n

(6)

1 ? n?2 ? n n?2
? 2n ? 1 2n ? 3 ? 2 1 1 ? (2n ? 1) ? 2 n?1 (2n ? 3) ? 2 n

(7) 2( n ? 1 ? n ) ? 1 ? 2( n ? n ? 1)
n

2 1 ? 1 (8) ? ? ? ?? n ?

(9)

1 1 1? 1 1 1 ?1 1 ? ? ?? ? ? , ? ? ? ? k (n ? 1 ? k ) ? n ? 1 ? k k ? n ? 1 n(n ? 1 ? k ) k ? 1 ? n n ? 1 ? k ?
n 1 1 ? ? (n ? 1) ! n ! (n ? 1) !

(10)

(11)

1 n

? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ?

2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1

?

2 1 1 n? ? n? 2 2

(11) (12)

2n 2n 2n 2n ?1 1 1 ? n ? n ? n ? ? (n ? 2) 2 n n (2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 2) (2 ? 1)(2n ?1 ? 1) 2n ?1 ? 1 2n ? 1
n

1 n
3

?

1 n?n
2

?

? ? 1 1 1 1 ?? ?? ? ? n(n ? 1)(n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) ? ? n ?1 ? n ?1

1 ? n ?1 ? n ?1 ? 1 ?? ? ? ?? n ?1 ? 2 n ? n ?1

1 1 ? n ?1 n ?1
2n 1 2n ? n ? 3 2 ?1 3

(13) (14)

2n ?1 ? 2 ? 2n ? (3 ? 1) ? 2n ? 3 ? 3(2n ? 1) ? 2n ? 2n ? 1 ?

k?2 1 1 ? ? k!?(k ? 1)! ? (k ? 2)! (k ? 1) ! (k ? 2) !

(15)

1 ? n ? n ? 1(n ? 2) n(n ? 1)
i? j ?1

(15)

i2 ? 1 ? j2 ? 1 i2 ? j2 ? i? j (i ? j )( i 2 ? 1 ?

j 2 ? 1)

?

i2 ? 1 ?

j2 ?1

例 2.(1)求证:1 ? 1 ? 1 ? ? ? 2 2
3 5

1 7 1 ? ? (n ? 2) 2 6 2(2n ? 1) (2n ? 1)

(2)求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 2
4 16 36 4n 2

4n

(3)求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 1 ? 1
2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

(4) 求证: 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ( 2n ? 1 ? 1)
2 3 n

解析:(1)因为

1 1 1? 1 1 ? ,所以 ? ? ? ? ? (2n ? 1) 2 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

? (2i ? 1)
i ?1

n

1

2

1 1 1 1 1 1 ? 1? ( ? ) ? 1? ( ? ) 2 3 2n ? 1 2 3 2n ? 1

(2) 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (1 ? 1 ? ? ? 1 ) ? 1 (1 ? 1 ? 1 ) 2 2 2
4 16 36 4n 4 2 n 4 n

(3)先运用分式放缩法证明出 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

1 2n ? 1

,再结合

1 n?2

? n?2 ? n

进行裂项,最后就可以得

到答案 (4)首先 再证
1 n ? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ? 2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? n? 2 1 1 ? n? 2 2

1 n

? 2( n ? 1 ? n ) ?

2 n ?1 ? n

,所以容易经过裂项得到 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1
2 3

n

而由均值不等式知道这是显然成立的,

所以1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ( 2n ? 1 ? 1)
2 3 n

例 3.求证: 解析:

6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n 3
1 ? n2 1 1 n2 ? 4 ? 1 ? ? 1 ? 2? ? ? 4n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 4

一方面: 因为

,所以

?k
k ?1

n

1
2

1 1 ? 2 5 ?1 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3 5

另一方面: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 2
4 9 n 2?3 3? 4

1 1 n ? 1? ? n(n ? 1) n ?1 n ?1

当 n ? 3 时, 当 n ? 2 时, 所以综上有

6n 1 1 1 n 6n ,当 n ? 1 时 , ? 1? ? ??? 2 ? ( n ? 1 )( 2 n ? 1 ) 4 9 n n ? 1 (n ? 1)(2n ? 1)

,

6n 1 1 1 ? 1? ? ??? 2 , (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n

6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n 3

例 4.(2008 年全国一卷)设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1. an?1 ? f (an ) . 设 b ? (a1, 1) ,整数 k ≥ a1 ? b .证明: ak ?1 ? b .
a1 ln b

解析:

由数学归纳法可以证明 ?an ? 是递增数列,

故 若存在正整数 m ? k , 使 am ? b , 则 ak ?1 ? ak ? b , 若 am ? b(m ? k ) ,则由 0 ? a1 ? am ? b ? 1知 am ln am ? a1 ln am ? a1 ln b ? 0 , a 因为
k ?1

? ak ? ak ln ak ? a1 ? ? am ln am ,
m ?1

k

?a
m ?1

k

m

ln am ? k (a1 ln b) ,于是 ak ?1 ? a1 ? k | a1 ln b |? a1 ? (b ? a1 ) ? b

例 5.已知 n, m ? N? , x ? ?1, Sm ? 1m ? 2m ? 3m ? ? ? nm ,求证: nm?1 ? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m?1 ? 1. 解析:首先可以证明: (1 ? x)n ? 1 ? nx
n m ?1 ? n m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? (n ? 2) m ?1 ? ? ? 1m ?1 ? 0 ? ?[k m ?1 ? (k ? 1) m ?1 ] 所以要证
k ?1 n

nm?1 ? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m?1 ? 1只要证:

?[ k
k ?1

n

m ?1

? (k ? 1) m ?1 ] ? (m ? 1)? k m ? (n ? 1) m ?1 ? 1 ? (n ? 1) m ?1 ? n m ?1 ? n m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? ? ? 2m ?1 ?1m ?1 ? ?[(k ? 1) m ?1 ? k m ?1 ]
k ?1 k ?1

n

n

故只要证 即等价于 k
m ?1

?[ k
k ?1

n

m ?1

? (k ? 1) m ?1 ] ? (m ? 1)? k m ? ?[(k ? 1) m ?1 ? k m ?1 ] ,
k ?1 k ?1

n

n

? (k ? 1)
k

m ?1

? (m ? 1)k ? (k ? 1)
m

m ?1

?k

m

, 而正是成立的,所以原命题成立.

即等价于1 ? m ? 1 ? (1 ? 1 ) m ?1 ,1 ? m ? 1 ? (1 ? 1 ) m ?1
k k k

例 6.已知 an ? 4n ? 2n , T ? n

2n a1 ? a2 ? ? ? an

,求证: T ? T ? T ? ? ? T ? 3 . 1 2 3 n
2

n n 解析: T ? 41 ? 42 ? 43 ? ? ? 4n ? (21 ? 22 ? ? ? 2n ) ? 4(1 ? 4 ) ? 2(1 ? 2 ) ? 4 (4n ? 1) ? 2(1 ? 2n ) n

1? 4

1? 2

3

所以
Tn ?

2n 2n 2n 3 ? 2n 3 2n ? n ?1 ? n ?1 ? n ?1 ? ? n ?1 n 2 4 n 4 4 4 2 4 ? 3 ? 2 ? 2 2 2 ? ( 2 ) ? 3 ? 2n ? 1 n (4 ? 1) ? 2(1 ? 2 ) ? ? 2 ? 2n ?1 ? ? 2n ?1 3 3 3 3 3

?

3 2n 3? 1 1 ? ? ? ? ? ? n 2 (2 ? 2 ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ?1 ? 1 ?

1 1 1 1 从而 T ? T ? T ? ? ? T ? 3 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? n 1 2 3 n 2? 3 3 7 2 ?1

1 ? 3 ?? 2n ?1 ? 1 ? 2

例 7.已知 x1 ? 1 , x ? ?n(n ? 2k ? 1, k ? Z ) ,求证: ? n
?n ? 1(n ? 2k , k ? Z )
1
4

4

1 1 1 ? ??? ? 2 ( n ? 1 ? 1)(n ? N *) 4 x x x2 ? x3 4 x4 ? x5 2 n 2 n ?1
? 1 2? n 2 n ? n ?1 ? 2 2 n ? 2( n ?1 ? n)

证明:
4

1 x 2 n x 2 n ?1

?

(2n ? 1)( 2n ? 1)

?

1
4

4n 2 ? 1 1

?

1
4

,

4n 2 2 ?

因为

2 n ? n ? n ? 1 ,所以
4

x 2 n x 2 n ?1

?

2 n

所以
4

1 1 1 ? ??? ? 2 ( n ? 1 ? 1)(n ? N *) 4 x x x2 ? x3 4 x4 ? x5 2 n 2 n ?1

二、函数放缩 例 8.求证: ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3 ? 3n ? 5n ? 6 (n ? N * ) . n
n

2

3

4

3
2

6

解析:先构造函数有 ln x ? x ? 1 ? ln x ? 1 ? 1 ,从而 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3n
x x

3

4

3n

1 1 1 ? 3n ? 1 ? ( ? ? ? ? n ) 2 3 3

cause
? ? 3 n ?1 5 ? 3 3? ? 9 9 ? 3 n ?1 ? 5n ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? n ? ? n ?1 ? 6 ? 6 9 ? ? 18 27 ? 3 ? ? 2?3 ? 6

1 1 1 ? 1 1? ? 1 1 1 1 1 1? 1 1? ? 1 ? ??? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? n ? n ??? n ? 2 3 3 2 ?1 3 ? ? 2 3? ? 4 5 6 7 8 9? ?2

所以 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3 ? 3n ? 1 ? 5n ? 3n ? 5n ? 6 n
n

2

3

4

3

6

6

? ? ? 2 例 9.求证:(1) ? ? 2, ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? 2n ? n ? 1 (n ? 2) ? ? ?

2

3
?

n

2(n ? 1)
n

解析:构造函数 f ( x) ? ln x ,得到 ln n
x

?

n

?

ln n 2 n2

2 ,再进行裂项 ln n ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 2

n

1 ,求和后可以得到答 n(n ? 1)

案 函数构造形式: ln x ? x ? 1 , ln n? ? n? ? 1(? ? 2)

例 10.求证: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln( n ? 1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1
2 3 n ?1 2

n
n n ?1

解析:提示: ln( n ? 1) ? ln n ? 1 ? n ? ? ? 2 ? ln n ? 1 ? ln n ? ? ? ln 2
n n ?1
1 x

1

函数构造形式:

ln x ? x, ln x ? 1 ?

y

当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数 f ( x) ? 1 ,
x

首先: S

ABCF

?

1 1 ,从而, 1 ? i ? ? ? ln x |n n ? i ? ln n ? ln(n ? i ) n x n ?i n ?i

?x

n

n

E F O A n-i n

D C B x

取 i ? 1 有, 1 ? ln n ? ln(n ? 1) ,
n

所以有

1 ? ln 2 2

, 1 ? ln 3 ? ln 2 ,…, 1 ? ln n ? ln(n ? 1) , 1 ? ln( n ? 1) ? ln n , 相 加 后 可 以 得 到 :
3
n

n ?1

1 1 1 ? ??? ? ln( n ? 1) 2 3 n ?1

另一方面 S 取 i ? 1 有,

ABDE

?

1 ,从而有 1 ?i ? n?i n ?i x

?

n

1 ? ln x |n n ? i ? ln n ? ln( n ? i ) x n ?i

?

n

1 ? ln n ? ln( n ? 1) , n ?1
1 1 1 ? ln( n ? 1) ? 1 ? ? ? ? n ?1 2 n

所以有 ln(n ? 1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ,所以综上有 1 ? 1 ? ? ?
2 n

2

3

例 11.求证: (1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? ? ? (1 ? 1 ) ? e 和 (1 ? 1 )(1 ?
2! 3! n!
9

.解析:构造函数后即可证明 1 1 ) ? ? ? (1 ? 2 n ) ? e 81 3 解析:
ln[n(n ? 1) ? 1] ? 2 ?

例 12.求证: (1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? ?? [1 ? n(n ? 1)] ? e 2n?3 答案 函数构造形式:
ln( x ? 1) ? 2 ?

,叠加之后就可以得到 3 n(n ? 1) ? 1

3 1 ? ln(1 ? x) 3 ( x ? 0) ? ? ( x ? 0) x ?1 x x ?1

(加强命题)

例 13.证明: ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ?
3 4 5

ln n n(n ? 1) ? (n ? N *, n ? 1) n ?1 4

解析:构造函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1( x ? 1) ,求导,可以得到:
f ' ( x) ? 1 2 ? x ,令 ?1 ? x ?1 x ?1

f ' ( x) ? 0 有1 ? x ? 2 ,令 f ' ( x) ? 0 有 x ? 2 ,

所以 f ( x) ? f (2) ? 0 ,所以 ln(x ? 1) ? x ? 2 ,令 x ? n2 ? 1 有, ln n2 ? n2 ? 1 所以 ln n
n ?1 ? n ?1 2

,所以 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ?
3 4 5

ln n n(n ? 1) ? (n ? N *, n ? 1) n ?1 4

例 14. 已知 a

1

? 1, an ?1 ? (1 ?

1 1 证明 a ? e2 . n )an ? n . n2 ? n 2

解析:

a n ?1 ? (1 ?

, 1 1 1 1 )a n ? n ? (1 ? ? )a n n(n ? 1) n(n ? 1) 2 n 2
ln a n ?1 ? ln(1 ? 1 1 ? ) ? ln a n n(n ? 1) 2 n

然后两边取自然对数,可以得到

然后运用 ln(1 ? x) ? x 和裂项可以得到答案)

放缩思路:
? ln a n ?

a n ?1 ? (1 ?

1 1 ? )a n ? n2 ? n 2n

ln a n ?1 ? ln(1 ?

1 1 ? ) ? ln a n ? n2 ? n 2n

1 1 ? n2 ? n 2n
n ?1 i ?1

。于是 ln a
2

n ?1

? ln a n ?

1 1 ? n2 ? n 2n



?
i ?1

n ?1

(ln ai ?1 ? ln ai ) ? ? (

1 1 1 ? ) ? ln a n ? ln a1 ? 1 ? ? n i ? i 2i

1 1 ? ( ) n ?1 1 1 2 ? 2 ? ? n ? 2. 1 n 2 1? 2

即 ln an ? ln a1 ? 2 ? an ? e 2 . 注:题目所给条件 ln(1 ? x) ? x ( x ? 0 )为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的 作用;当然,本题还可用结论 2 n ? n(n ? 1)(n ? 2) 来放缩:
a n ?1 ? (1 ? 1 1 )a n ? ? a n?1 ? 1 ? (1 ? 1 )(a n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)
n ?1 n ?1 , 1 1 1 1 ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 )? . ? ? [ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ? i(i ? 1) n n(n ? 1) n(n ? 1) i ?2 i ?2

ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ?

即 ln(an ?1) ? 1? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 . 例 16.(2008 年福州市质检)已知函数 f ( x) ? x ln x. 若 a ? 0, b ? 0, 证明: f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b). 解析:设函数 g ( x) ? f ( x) ? f (k ? x), (k ? 0)
f ( x) ? x ln x,? g ( x) ? x ln x ? (k ? x) ln(k ? x), ? 0 ? x ? k . g ?( x) ? ln x ? 1 ? ln(k ? x) ? 1 ? ln 令g ?( x) ? 0, 则有 x , k?x

x 2x ? k k ?1? ? 0 ? ? x ? k. k?x k?x 2

k k k ∴函数 g ( x )在[ , k ) 上单调递增, 在 (0, k ] 上单调递减.∴ g ( x) 的最小值为 g ( ) , 即总有 g ( x) ? g ( ). 2 2 2 2
而 g ( k ) ? f ( k ) ? f (k ? k ) ? k ln k ? k (ln k ? ln 2) ? f (k ) ? k ln 2,
2 2 2 2

? g ( x) ? f (k ) ? k ln 2, 即 f ( x) ? f (k ? x) ? f (k ) ? k ln 2. 令 x ? a, k ? x ? b, 则 k ? a ? b. ? f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2.

? f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b).
f ( x) 在 x ? 0 上恒成

例 15.(2008 年厦门市质检) 已知函数 f ( x) 是在 (0,??) 上处处可导的函数,若 x ? f ' ( x) ? 立. (I)求证:函数 g ( x) ?
f ( x) 在(0,?? ) 上是增函数; x

(II)当 x1 ? 0, x2 ? 0时, 证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ;

(III)已知不等式 ln(1 ? x) ? x在x ? ?1且x ? 0 时恒成立, 求证:
1 1 1 1 n ln 2 2 ? 2 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? (n ? N * ). 2(n ? 1)(n ? 2) 22 3 4 (n ? 1) 2

解析:(I) g ' ( x) ? (II)因为

,所以函数 上是增函数 f ' ( x) x ? f ( x) f ( x) ?0 g ( x) ? 在(0,?? ) x2 x
g ( x) ? f ( x) 在(0,?? ) x

上是增函数,所以

f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ) x1 ? ? f ( x1 ) ? ? f ( x1 ? x2 ) x1 x1 ? x2 x1 ? x2
f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) x2 ? ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ? x2 ) x2 x1 ? x2 x1 ? x2

两式相加后可以得到 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) (3)
f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x1 ? ? f ( x1 ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x1 x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn

f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x2 …… ? ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x2 x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn

f ( xn ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) xn ? ? f ( xn ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) xn x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn

相加后可以得到:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn )

所以 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? x3 ln x3 ? ? ? xn ln xn ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ln(x1 ? x2 ? ? ? xn ) 令
xn ? 1 (1 ? n) 2

,有

? 1 1 1 1 ? 1 1 1 1 ? ? 1 1 1 ? 2 2 2 2? ?? ? 2 2 ln 2 ? 3 2 ln 3 ? 4 2 ln 4 ? ? ? (n ? 1) 2 ln( n ? 1) ? ??? ? 2 ? 3 2 ? 4 2 ? ? ? (n ? 1) 2 ? ? ? ln? ? 2 ? 3 2 ? ? ? (n ? 1) 2 ? ? ? ? ?2 ? ?2 ?

? 1 1 1 ?? ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? (n ? 1) 2 ?

1 ?? 1 1 ? n ? ? 1 1 1 ??? ?? ?? ? ??? ? ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1)n ? ? ? n ? 1 ?? 2 n ? 2 ? ? ? ln? 2(n ? 1)(n ? 2) ? ? ?

所以

1 1 1 1 n ln 2 2 ? 2 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? (n ? N * ). 2(n ? 1)(n ? 2) 22 3 4 (n ? 1) 2
? ln(n ? 1) 2 ln 4 1 ? ? 1 ? ? ln 4? ? ? (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)(n ? 2) ? n ?1 n ? 2 ?

(方法二) ln(n ? 1) 2
(n ? 1)
2

所以

1 1 1 1 1 ? n ln 4 ?1 ln 2 2 ? 2 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? ln 4? ? ?? 22 3 4 (n ? 1) 2 ? 2 n ? 2 ? 2(n ? 2)

又 ln 4 ? 1 ? 三、分式放缩

1 ,所以 1 1 1 1 n ln 2 2 ? 2 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? (n ? N * ). n ?1 2(n ? 1)(n ? 2) 22 3 4 (n ? 1) 2

姐妹不等式: b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 和 b ? b ? m (a ? b ? 0, m ? 0)
a a?m a a?m

记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之. 例 19. 姐妹不等式: (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ?
3 5
1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 4 6 2n 1 2n ? 1
1 2n ? 1

1 ) ? 2n ? 1 和 2n ? 1

也可以表示成为

和 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ?? 2n ? 2n ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1? 3 ? 5 ??? (2n ? 1)
a

解析: 利用假分数的一个性质 b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 可得
a?m

2 4 6 2n ? ? ? ? 3 ? 5 ? 7 ? 2n ? 1 ? 1 3 5 2n ? 1 2 4 6 2n
1 3 5 2n ? 1

1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? (2n ? 1) 2 4 6 2n

? ( 2 ? 4 ? 6 ? 2n ) 2 ? 2n ? 1 即 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 )? (1 ?

3

5

1 ) ? 2n ? 1. 2n ? 1

1 1 1 例 20.证明: (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3n ? 1. 4 7 3n ? 2

解析: 运用两次次分式放缩:
2 5 8 3n ? 1 3 6 9 3n ? ? ?? ? ? . ? ??? ? 1 4 7 3n ? 2 2 5 8 3n ? 1
2 5 8 3n ? 1 4 7 10 3n ? 1 ? ? ??? ? . ? ??? ? 1 4 7 3n ? 2 3 6 9 3n

(加 1) (加 2)

相乘,可以得到:
3n ? 1 ? 4 7 10 3n ? 1 1 4 7 3n ? 2 ?2 5 8 ? ? ? ? ?? ? (3n ? 1) ? ? ? ? ?? ? ? . ? ? ?? ? 3n ? 2 ? 2 5 8 3n ? 1 2 5 8 3n ? 1 ?1 4 7
2

所以有 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ? 1 ) ? 3 3n ? 1.
4 7 3n ? 2

四、分类放缩 例 21.求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
2 3 1 n ? 2n ? 1 2

解析: 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
2 3

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ( ? ) ? ( 3 ? 3 ? 3 ? 3 ) ??? 2 4 4 2 ?1 2 2 2 2
n

(

1 1 1 1 n 1 n ? ? ? ? n ) ? n ? ? (1 ? n ) ? 2 2 2n 2n 2 2 2
n

例 22.(2004 年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系 xoy 中, y 轴正半轴上的点列 ?A ?与曲 线 y ? 2 x ( x ≥0)上的点列 ?Bn ?满足 OA n 为 bn , n ? N ? . (1)证明 an > an?1 >4, n ? N ? ; (2)证明有 n0 ? N ? ,使得对 ?n ? n0 都有 b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn?1 < n ? 2008 .
b1 b2 bn?1 bn
? OB n ? 1 ,直线 n

An Bn 在 x 轴上的截距为 an .点 Bn 的横坐标

解析:(1) 依题设有: A
bn 2 ? 2bn ?

n

? 1? ,由 OB ? 1 得: n ? 0, ? , Bn bn , 2bn , ? bn ? 0 ? n ? n?

?

?

,又直线 An Bn 在 1 1 ,?bn ? 2 ? 1 ? 1, n ? N * n2 n
1? ? 1? 2bn ? ? ? ? 0 ? ? ? bn ? 0 ? n? ? n?

x 轴上的截距为 an 满足
2n2bn ? 1 ? n2bn 2 ? 0, bn ? 2 ? 1 n2bn

? an ? 0? ? ?
?

an ?

bn 1 ? n 2bn

? an ?

bn 1 ? n 2bn bn 1 2 ? ? 2 ? ? bn ? 2 ? 2bn ? 4 ? an ? 12 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 12 ? 1 1 ? 2n2bn n bn n bn n n 1 ? n 2bn
1 ,有 an ? an?1 ? 4, n ? N * ?0 n ?1

?

?

显然,对于 1 ?
n

(2)证明:设
1 ?1 ? n2

cn ? 1 ?

,则 bn ?1 ,n? N* bn
?1 ? 1 1 ? ? n2 ? 2 ? ? ? n ? n ? 1?2 ? ? ? 1 ?1 ?1 n2 1 1 ?1 ? ?1 2 n2 ? n ? 1?

1

cn ?

? n ? 1?

2

1 ? 1 ?1 n2

?

2n ? 1

? n ? 1?

2

? ? 1 ?1 ?1 ? 2n ? 1 ? 1 1 2n ? 1 n2 ? ? ?? ? 2 2 ? 2 ? n ? 1? 1 1 n ? 1? ? 2 ? 2 2 ?1 2 2 ?1 ? ? n n ? ?
2

? 2n ? 1?? n ? 2 ? ? 2 ? n ? 1?
设 Sn ? c1 ? c2 ?
1 1 Sn ? ? ? 3 4
? 2?

? n ? 0,? cn ?

1 ,n? N* n?2

? cn , n ? N * ,则当 n ? 2k ? 2 ? 1? k ? N * ? 时,

?

1 1 ?1 1? ? 1 ? ? ? ? ??? ? 2k ? 1 2k ? 3 4 ? ? 2 2 ? 1
? 2k ?1 ? 1 k ?1 。 ? 2k 2

?

1? ? 1 ? ??? 23 ? ? 2k ?1 ? 1

?

1 ? ? 2k ?

1 1 ? 22 ? 3 ? 22 2

所以,取 n0 ? 24009 ? 2 ,对 ?n ? n0 都有:

? b2 ? ?1 ? b 1 ?

? ? b3 ? ??? ?1 ? ? ? b2

? bn ?1 ? ? 4017 ? 1 ? ? 2008 ? ??? ? ?1 ? b ? ? ? S n ? S n0 ? 2 n ? ? ?

故有 b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn?1 < n ? 2008 成立。
b1 b2 bn?1 bn

例 23.(2007 年泉州市高三质检) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b ? 1, c ? R) ,若 f ( x) 的定义域为[-1,0], 值域也为[-1, 0].若数列 {bn } 满足 b
n

?

f ( n) 记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , 问是否存在正常数 (n ? N * ) , n3

A,

使得对于任意正整数 n 都有 Tn ? A ?并证明你的结论。 解析:首先求出 f ( x) ? x2 ? 2x ,∵ b
n

?

f ( n) n 2 ? 2n 1 ? ? n3 n3 n

∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ,∵ 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 , 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 1 ,…
2 3 n
3 4 4 2 5

6

7

8

8

2

1 2
k ?1

k 1 1 1 1 k ? ? ? k ? 2 k ?1 ? k ? ,故当 n ? 2 时, Tn ? ? 1 , ?1 2 ? 2 2 2 2 2

?

k ?1

因此,对任何常数 A,设 m 是不小于 A 的最小正整数, 则当 n ? 2 2 m ? 2 时,必有 T ? 2m ? 2 ? 1 ? m ? A . n
2

故不存在常数 A 使 Tn ? A 对所有 n ? 2 的正整数恒成立. 例 24.(2008 年中学教学参考)设不等式组 ? y ? 0,
? x ? 0, ? ? y ? ? nx ? 3n ? 设 D 内整数坐标点的个数为 an .设 S n ? 1 ? 1 ? ? ? 1 , a n?1 a n? 2 a2n
n

表示的平面区域为 D ,
n

当 n ? 2 时,求

证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 7n ? 11 .
a1 a2 a3 a 2n 36

解析:容易得到 an ? 3n ,所以,要证 1
a1

?

1 1 1 7n ? 11 只要证 S n 2 ? ??? ? a 2 a3 a 2n 36

?1?

1 1 1 7n ? 11 ,因为 ? ??? n ? 2 3 2 12

S2 n ? 1 ?

1 3 7 7n ? 11 ,所以原命 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ? ? ( n ?1 ? ? ? ? n ? 1 ? ? T21 ? T2 2 ? ? ? T2 n ?1 ? ? (n ? 1) ? 2 2 12 12 2 3 4 5 6 7 8 2 ? 1 2n ?1 ? 2 2

题得证 五、迭代放缩 例 25. 已知 x ? xn ? 4 , x ? 1 ,求证:当 n ? 2 时, n ?1 1 ?| x
n

xn ? 1

i ?1

i

? 2 | ? 2 ? 21? n

解析:通过迭代的方法得到 x n ? 2 ? 1 ,然后相加就可以得到结论 n ?1
2

例 26. 设 S

n

?

sin 1! sin 2! sin n! ? 2 ? ? ? n ,求证:对任意的正整数 21 2 2
| S n ? k ? S n |?| sin( n ? 1)! sin( n ? 2)! sin( n ? k ) ? ??? | 2 n ?1 2 n?2 2 n?k

k,若 k≥n 恒有:|Sn+k-Sn|<

1 n

解析:
?|

sin( n ? 1)! sin( n ? 2)! s i nn (? k) 1 1 1 |?| | ??? | |? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? n ? k 2 n ?1 2 n?2 2 n?k 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? k ) ? n ? (1 ? k ) ? n 2n 2 22 2 2 2 2

?

又 2n

0 1 n ? (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ?n

所以 | S

n?k

? S n |?

1 1 ? 2n n

六、借助数列递推关系 例 27.求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 2n ? 2 ? 1

解析: 设 a
a n ?1 ?

n

?

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 则 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

2n ? 1 a n ? 2(n ? 1)a n?1 ? 2nan ? a n ,从而 2(n ? 1)

an ? 2(n ? 1)an?1 ? 2nan ,相加后就可以得到
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 2(n ? 1)a n ?1 ? 2a1 ? 2(n ? 1) ? 1 2n ? 3 ? 1 ? (2n ? 2) ? 1 2n ? 2 ?1

所以 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5
2 2?4

2?4?6

???

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 2 ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

例 28. 求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5
2 2?4

2?4?6

???

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 1 ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

解析: 设 a
a n ?1 ?

n

?

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 则 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

2n ? 1 ,从而 a n ? [2(n ? 1) ? 1]a n?1 ? (2n ? 1)a n ? a n ?1 2(n ? 1)

an ?1 ? [2(n ? 1) ? 1]an?1 ? (2n ? 1)an ,相加后就可以得到
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? (2n ? 1)a n?1 ? 3a1 ? (2n ? 1) ? 1 2n ? 1 ? 3 ? 2n ? 1 ? 1 2

例 29. 若 a1 ? 1, an?1 ? an ? n ? 1,求证: 1 ?
a1

1 1 ??? ? 2( n ? 1 ? 1) a2 an

解析:

an? 2 ? an?1 ? n ? 2 ? an ? an?1 ? 1 ?

1 ? an?2 ? an an?1

所以就有 1
a1

?

1 1 1 ??? ? ? an?1 ? an ? a2 ? a1 ? 2 an?1an ? a2 ? 2 n ? 1 ? 2 a2 an a1

七、分类讨论 例 30.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1)n , n ? 1. 证明: 对任意的整数 m ? 4 , 有1
a4 ? 1 1 7 ??? ? a5 am 8

解析:容易得到 a

n

?

2 n?2 , 2 ? (?1) n ?1 . 3

?

?

由于通项中含有 (?1) ,很难直接放缩,考虑分项讨论:
n

当 n ? 3 且 n 为奇数时
?

1 1 3 1 1 3 2 n?2 ? 2 n?1 ? ? ( ? )? ? an an?1 2 2 n?2 ? 1 2 n?1 ? 1 2 2 2n?3 ? 2 n?1 ? 2 n?2 ? 1

3 2 n ?2 ? 2 n ?1 3 1 1 (减项放缩) ,于是 ? ? ? ( n ?2 ? n ?1 ) 2 2 2 2 2 n ?3 2

① 当 m ? 4 且 m 为偶数时 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 )
a4 a5 a 6 a 4 a5 am 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 7 ? ? ( 3 ? 4 ? ? ? m ? 2 ) ? ? ? ? (1 ? m ? 4 ) ? ? ? . 2 2 2 2 2 4 2 8 8 2 2 2 a m?1 am

②当 m ? 4 且 m 为 奇 数 时

1 1 1 ? ??? ? 1 ? 1 ??? 1 ? 1 a 4 a5 am a 4 a5 a m a m?1

( 添 项 放 缩 ) 由 ①知

② 得证。 1 1 1 1 7 由① ? ??? ? ? . a 4 a5 a m a m?1 8 八、线性规划型放缩 例 31. 设函数 f ( x) ? 2 x ? 1 .若对一切 x ? R , ?3 ? af ( x) ? b ? 3 ,求 a ? b 的最大值。
x2 ? 2

解析:由

1 ?( x ? 2)2 ( x ? 1) 2 ( f ( x) ? )( f (1) ? 1) ? 2 2( x 2 ? 2)2

知 ( f ( x) ? 1 )( f (1) ? 1) ? 0
2



?

1 ? f ( x )? 1 2

由此再由 f ( x) 的单调性可以知道 f ( x) 的最小值为 ? 1 ,最大值为 1
2
1 因此对一切 x ? R ,?3 ? af ( x) ? b ? 3 的充要条件是,? 即 a ,b 满足约束条件 ?a ? b ? ?3 , ??3 ? ? a ? b ? 3 2 ? ? ??3 ? a ? b ? 3
?a ? b ? 3 ? ? 1 ?? a ? b ? ?3 ? 2 ? 1 ?? a ? b ? 3 ? 2

由线性规划得, a ? b 的最大值为 5. 九、均值不等式放缩 例 32.设 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1). 求证 n(n ? 1) ?S
2
n

?

(n ? 1) 2 . 2

解析: 此数列的通项为 ak ?
? k ? k (k ? 1) ?

k (k ? 1) , k ? 1,2,?, n.

k ? k ?1 1, n n 1 , ?k? ? ? k ? S n ? ? (k ? ) 2 2 2 k ?1 k ?1

即 n(n ? 1) ? S
2

n

?

n(n ? 1) n (n ? 1) 2 ? ? . 2 2 2
ab ? a?b 2

注:① 应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式
k (k ? 1) ? k ? 1则得 S ? (k ? 1) ? (n ? 1)(n ? 3) ? (n ? 1) ? n 2 2 k ?1
n 2

,若放成

,就放过“度”了!

② 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
a ? ? ? an n ? n a1 ? a n ? 1 ? 1 1 n ??? a1 an
2 a12 ? ? ? a n n

其中, n ? 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。 例 33. 已 知 函 数 f ( x) ?
f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ?

1 ,若 1 ? a ? 2 bx

f (1) ?

4 5

,且

f ( x)

在 [0 , 1] 上 的 最 小 值 为 1 , 求 证 :
2

1 1 ? . 2 n ?1 2

解析:
? (1 ?

f ( x) ?

4x 1 1 1 ?1? ?1? ( x ? 0) ? f (1) ? ? ? f (n) ? (1 ? ) 2? 2 1? 4x 1? 4x 2 ? 2x

1 1 1 1 1 1 1 ) ? ? ? (1 ? ) ? n ? (1 ? ? ? ? n ?1 ) ? n ? n ?1 ? . 2 n 4 2 2 2? 2 2? 2 2 2

例 34.已知 a , b 为正数,且 1 ? 1 ? 1 ,试证:对每一个 n ? N ? , (a ? b) n ? a n ? b n ? 22n ? 2 n?1 .
a b

解析:
n

由 1 ? 1 ? 1得 ab a b
0 n n 1 n n?1

? a ? b ,又 (a ? b)( 1 ? 1 ) ? 2 ? a ? b ? 4 ,故 ab ? a ? b ? 4 ,而
a b b a
r n n?r r n n n

(a ? b) ? C a ? C a b ? ? ? C a b ? ? ? C b , 1 n?1 r n ?r r n?1 i n?i ,倒 令 f (n) ? (a ? b) n ? a n ? b n ,则 f ( n) = Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn abn?1 ,因为 Cn ? Cn 1 r n?1 序相加得 2 f (n) = Cn (a n?1b ? abn?1 ) ? ? ? Cn (a n?r b r ? a r b n?r ) ? ? ? Cn (abn?1 ? a n?1b) ,

而 a n?1b ? abn?1 ? ? ? a n?r b r ? a r b n?r ? ? ? abn?1 ? a n?1b ? 2 a n b n ? 2 ? 4 2 ? 2 n?1 ,

n

1 r n?1 则 2 f (n) = (Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn )(a r b n?r ? a n?r b r ) ? (2n ? 2)(a r b n?r ? a n?r b r )

? (2 n ? 2) ? 2

n ?1

,所以

f (n) ? (2 n ? 2) ? 2

n

,即对每一个 n ? N ? , (a ? b) n ? a n ? b n ? 2 2n ? 2 n?1 .
n?1 2

1 2 3 n 例 35.求证 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? n?2

(n ? 1, n ? N )
n ?1 2

解析: 不等式左
1 2 3 n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 n ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ? n ? n 1? 2 ? 22 ??? 2n?1 = n ? 2



原结论成立. 例 36.已知 f ( x) ? e x ? e ? x ,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? f (n) ? (e n?1 ? 1) 2 解析: f ( x ) ? f ( x
1 2

n

) ? (e x1 ?

1 1 e x1 e x2 1 ) ? (e x2 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? x1 x2 ? e x1 ? x2 ? 1 e x1 e e e e ?e
n

经过倒序相乘,就可以得到 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? f (n) ? (e n?1 ? 1) 2 例 37.已知 f ( x) ? x ? 1 ,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n) ? 2n (n ? 1)n
x

解析: (k ? 1 )(2n ? 1 ? k ?
k

1 k 2n ? 1 ? k 1 ) ? k (2n ? 1 ? k ) ? ? ? ? 2(2n ? 1 ? k ) ? 2 2n ? 1 ? k 2n ? 1 ? k k k (2n ? 1 ? k )

其中: k ? 1,2,3,?,2n ,因为 k ? 2n ? k (1 ? k ) ? 2n ? (k ? 1)(2n ? k ) ? 0 ? k (2n ? 1 ? k ) ? 2n 所以 (k ? 1 )( 2n ? 1 ? k ?
k 1 ) ? 2n ? 2 2n ? 1 ? k

从而 [ f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n)]2 ? (2n ? 2)2n ,所以 f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n) ? 2n (n ? 1)n . 例 38.若 k ? 7 ,求证: Sn ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
n n ?1 n?2 1 3 ? . nk ? 1 2

解析: 2Sn ? ( 1 ?
n

1 1 1 1 1 1 1 )?( ? )?( ? ) ??? ( ? ) nk ? 1 n ? 1 nk ? 2 n ? 2 nk ? 3 nk ? 1 n

因为当 x ? 0, y ? 0 时 , x ? y ? 2 xy , 1 ? 1 ? 2 , 所以 ( x ? y)( 1 ? 1 ) ? 4 , 所以 1 ? 1 ?
x y xy
x y x y

4 , 当且仅 x? y

当 x ? y 时取到等号. 所以 2S 所以
n

?

4 4 4 4 4n(k ? 1) ? ? ??? ? n ? nk ? 1 n ? 1 ? nk ? 2 n ? 2 ? nk ? 3 n ? nk ? 1 n ? nk ? 1

Sn ?

2(k ? 1) 2(k ? 1) 4 3 ? ? 2? ? 1 k ?1 k ?1 2 1? k ? n

所以 S

n

?

1 1 1 1 3 ? ? ??? ? n n ?1 n ? 2 nk ? 1 2

例 39.已知 f ( x) ? a( x ? x1)(x ? x2 ) ,求证:

f (0) ? f (1) ?

a2 16

.
2

解析: f (0) ? f (1) ? a 2[ x (1 ? x )][x (1 ? x )] ? a .
1 1 2 2

16

例 40.已知函数 f(x)=x2-(-1)k· 2lnx(k∈N*).k 是奇数, n∈N*时, - n 求证: [f’(x)] -2n 1· f’(xn)≥2n(2n-2). 解析: 由已知得 f ?( x) ? 2 x ? 2 ( x ? 0) ,
x

(1)当 n=1 时,左式= (2 x ? 2 ) ? (2 x ? 2 ) ? 0 右式=0.∴不等式成立.
x x

(2) n ? 2 , 左式= [ f ?( x)] n ? 2 n ?1 ? f ?( x n ) ? (2 x ? 2 ) n ? 2 n ?1 ? (2 x n ? 2 ) n
x x
1 n?2 2 n?4 n?2 ? 2 n (C n x ? Cn x ? ? ? Cn

1 1 n ?1 ? Cn ). x n?4 x n?2
x

令 S ? C1 x n?2 ? C 2 x n?4 ? ? C n?2 1 ? C n?1 1 n n n n n?4 n?2
x

由倒序相加法得:
1 2S ? C n ( x n?2 ?

1 1 1 2 n ?1 ) ? Cn ( x n?4 ? n?4 ) ? ? ? C n ( n?2 ? x n?2 ) x n?2 x x

1 2 n?1 ? 2(Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? 2(2n ? 2) ,

所以 S ? (2n ? 2). 所以 [ f ?( x)]n ? 2n?1 ? f ?( x n ) ? 2n (2n ? 2)成立. 综上,当 k 是奇数, n ? N 时,命题成立 例 41. (2007 年东北三校)已知函数 f ( x) ? a x ? x(a ? 1) (1)求函数 f ( x) 的最小值,并求最小值小于 0 时的 a 取值范围;
1 ' 2 ' n?1 ' (2)令 S (n) ? Cn f (1) ? Cn f (2) ? ? ? Cn f (n ? 1) 求证: S (n) ? (2 n ? 2) ? f ' ( n )

?

2

(1)由f ' ( x) ? a x ln a ? 1, f ' ( x) ? 0,即:a x ln a ? 1,? a x ? 同理:f ' ( x) ? 0, 有x ? ? loga ln a,

1 , 又a ? 1? x ? ? loga ln a ln a

所以f ' ( x)在(??,? loga ln a)上递减,在(? loga ln a,??)上递增; 所以f ( x) min ? f (? loga ln a) ? 若f ( x) min ? 0, 即 1 ? ln ln a ln a

1 ? ln ln a 1 ? 0, 则 ln ln a ? ?1,? ln a ? ln a e
1

? a的取值范围是 1 ? a ? ee
1 2 n ?1 ( 2) S ( n ) ? C n (a ln a ? 1) ? C n (a 2 ln a ? 1) ? ? ? C n (a n ?1 ln a ? 1) 1 2 2 n ?1 n ?1 1 2 n ?1 ? (C n a ? Cn a ? ? ? Cn a ) ln a ? (C n ? Cn ? ? ? Cn )

1 1 2 n ?1 ? [C n (a ? a n ?1 ) ? C n (a 2 ? a n ?2 ) ? ? ? C n (a n ?1 ? a )]ln a ? (2 n ? 2) 2
n

? a 2 (2 n ? 2) ln a ? (2 n ? 2) n ? (2 n ? 2)(a 2 ln a ? 1) ? (2 n ? 2) f ' ( ), 2 所以不等式成立。
★例 42. (2008 年江西高考试题 ) 已知函数
1 ? f ? x? ? 2.
f ? x? ? 1 1 ax , x ? ? 0, ? ?? . 对任意正数 ? ? ax ? 8 1? x 1? a
n

a , 证明:

解析:对任意给定的 a ? 0 , x ? 0 ,由
f ( x) ?

1 1 ? ? 1? x 1? a

1 1? 8 ax

,

若令 b ? 8 ,则 abx ? 8 ①,而
ax

f ? x? ?

1 1 1 ② ? ? 1? x 1? a 1? b

(一) 、先证 f ? x ? ? 1;因为

1 1 , 1 1 , 1 , 1 ? ? ? 1? x 1? x 1? b 1? b 1? a 1? a

又由 2 ? a ? b ? x ? 2 2a ? 2 bx ? 4 4 2abx ? 8 ,得 a ? b ? x ? 6 . 所以 f ? x ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 ? 2(a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b) 1? x 1? a 1? b 1? x 1? a 1? b
? 9 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) 1 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) ? abx ? ? 1. (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b) (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b)

(二) 、再证 f ? x? ? 2 ;由①、②式中关于 x, a, b 的对称性,不妨设 x ? a ? b .则 0 ? b ? 2 (ⅰ ) 、当 a ? b ? 7 ,则 a ? 5 ,所以 x ? a ? 5 ,因为
1 , ?1 1? b

1 1 2 ,此时 f ? x ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 . ? ? ?1 1? x 1? a 1? b 1? x 1? a 1? 5

(ⅱ ) 、当 a ? b ? 7 ③,由① 得 ,x ? 因为 同理得 今证明 只要证

8 ab



1 ab , ? ab ? 8 1? x

1 b b2 b 2 所以 ?1 ? ? ? [1 ? ] 1? b 1? b 4 ( 1 ? b2 ) 2? (1 b )
1 a ? 1? 2(1 ? a) 1? a

1 b ? 1? 2(1 ? b) 1? b



⑤ ,于是

1? a b ab ? ⑥ f ? x? ? 2 ? ? ? ?2 ? 2? 1 ? a 1 ? b ab ?8 ? ? ?

a b ab ⑦ , ? ?2 1? a 1? b ab ? 8

因为

a b ab , ? ?2 1? a 1? b (1 ? a)(1 ? b)

ab a b ,即 ,此为显然. ab ? 8 ? (1 ? a)(1 ? b) ,也即 a ? b ? 7 ,据③ ? ( 1? a ) ( ? 1 b ) a b? 8
f ( x) ? 2 .

因此⑦ 得证.故由⑥ 得

综上所述,对任何正数 a, x ,皆有1 ? f ? x ? ? 2 . 例 43.求证:1 ?
1 1 1 ? ??? ?2 n ?1 n ? 2 3n ? 1
1 1 1 1 ?1 1? 1 2 ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?1 n ?1 n ? 2 3n ? 1 2 ? 3 4 ? 2 4

解析:一方面: (法二)

1 1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1? 1 ?? ? 1 ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ?? n ?1 n ? 2 3n ? 1 2 ? ? 3n ? 1 n ? 1 ?? ?? n ? 1 3n ? 1 ? ? n ? 2 3n ?

?

? 1 ? 4n ? 2 4n ? 2 4n ? 2 ? ?? ? ??? ? 2 ? ( 3 n ? 1 )( n ? 1 ) 3 n ( n ? 2 ) ( n ? 1 )( 3 n ? 1 ) ? ?

? ? (2n ? 1) 2 1 1 1 ? ?? ? ?2n ? 1? ? ? ? ??? ?1 2 2 2 2 2 2 ? (2n ? 1) ? (n ? 1) (2n ? 1) ? n ? (2n ? 1) 2 ? (2n ? 1) ? n

另一方面: 十、二项放缩

1 1 1 2n ? 1 2n ? 2 ? ??? ? ? ?2 n ?1 n ? 2 3n ? 1 n ? 1 n ?1

0 1 n 0 1 , 2 n ? Cn 2 n ? (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? n ? 1,

0 1 2 2 n ? Cn ? Cn ? Cn ?

n2 ? n ? 2 2

2 n ? n(n ? 1)(n ? 2)

例 44. 已知 a

1

? 1, an ?1 ? (1 ?

2 1 1 )an ? n . 证明 an ? e n2 ? n 2

1 1 1 )a n ? ? a n ?1 ? 1 ? (1 ? )(a n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) 1 1 ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ? )? . n(n ? 1) n(n ? 1) a n ?1 ? (1 ?
? ? [ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ?
i ?2 i ?2 n ?1 n ?1

解析:

, 1 1 ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 i(i ? 1) n

即 ln(an ?1) ? 1? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 . 45.设 a
1 ? (1 ? ) n n

n

,求证:数列 {an } 单调递增且 a n ? 4. 整理上式得 a n?1 ? b n [(n ? 1)a ? nb]. ( ? ) 以 a ? 1 ? 1 , b ? 1 ? 1 代入( ? )式得 (1 ? 1 ) n?1 ? (1 ? 1 ) n .
n ?1 n

解析: 引入一个结论:若 b ? a ? 0 则 b n?1 ? a n?1 ? (n ? 1)b n (b ? a) (证略)

n ?1

n

即 {an } 单调递增。 以 a ? 1, b ? 1 ? 1 代入( ? )式得1 ? (1 ?
2n

1 n 1 1 ) ? ? (1 ? ) 2 n ? 4. 2n 2 2n
n

此式对一切正整数 n 都成立,即对一切偶数有 (1 ? 1 )
n

?4

,又因为数列 {an } 单调递增,

所以对一切正整数 n 有 (1 ? 1 ) n
n

? 4。

注:① 上述不等式可加强为 2 ? (1 ? 1 ) n ? 3. 简证如下:
n

1 1 1 2 n 1 利用二项展开式进行部分放缩: a n ? (1 ? 1 ) n ? 1 ? C n ? ? Cn ? 2 ? ? ? Cn . n n n n n
1 1 只取前两项有 a n ? 1 ? C n ? ? 2. 对通项作如下放缩:

n 1 1 n n ?1 n ? k ?1 1 1 1 C k ? ? ? ?? ? ? ? . k! n n n k! 1 ? 2? 2 2 k ?1 n n ?1 故有 an ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? (1 / 2) ? 3. 2 n ?1 2 2 2 1 ? 1/ 2 2
k n

②上述数列 {an } 的极限存在,为无理数 e ;同时是下述试题的背景:已知 i, m, n 是正整数,且
n m i i ; (2)证明 (1 ? m) ? (1 ? n) . (01 年全国卷理科第 20 题) 1 ? i ? m ? n. (1)证明 ni Am ? mi An

简析 对第(2)问:用 1 / n 代替 n 得数列 {b } : b
n

1 n

? (1 ? n) n
1 n

是递减数列;借鉴此结论可有如下简
n

捷证法:数列 {(1 ? n) } 递减,且 1 ? i ? m ? n, 故 (1 ? m)

1 n

1 m

? (1 ? n) , 即 (1 ? m)

? (1 ? n) m 。

当然,本题每小题的证明方法都有 10 多种,如使用上述例 5 所提供的假分数性质、贝努 力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见文[1]。 例 46.已知 a+b=1,a>0,b>0,求证: a n ? b n ? 21? n. 1 解析: 因为 a+b=1,a>0,b>0,可认为 a, , b 成等差数列,设 a ? 1 ? d , b ? 1 ? d , 2 2 2 从而
?1 ? ?1 ? a n ? b n ? ? ? d ? ? ? ? d ? ? 21?n ?2 ? ?2 ?
n n

例 47.设 n ? 1, n ? N ,求证 ( 2 ) n ?
3

8 . (n ? 1)(n ? 2)

3 2 2 1 n 1 1 n n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) ? 6 ,即 1 1 2 3 1 (n ? 1)( n ? 2) ,得证. (1 ? ) ? 1 ? C n ? ? C n ? 2 ? C n ? 3 ? ? ? 1 ? ? ? (1 ? ) n ? 2 2 2 8 8 2 2 2 8

解析: 观察 ( 2 ) n 的结构,注意到 ( 3 ) n ? (1 ? 1 ) n ,展开得

例 48.求证: ln 3 ? ln 2 ? ln(1 ? 1 ) ? ln 2 .
n 2n n

解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)

例 42.(2008 年北京海淀 5 月练习) 已知函数 y ? f ( x), x ? N* , y ? N* ,满足: ①对任意 a, b ? N* , a ? b ,都有 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a) ;

②对任意 n ? N* 都有 f [ f (n)] ? 3n . (I)试证明: f ( x) 为 N 上的单调增函数; (II)求 f (1) ? f (6) ? f (28) ; (III)令 an ? f (3n ), n ? N* ,试证明:.
n 1 1 ≤ ? ? 4n ? 2 a1 a2 ? 1 1 ? an 4
*

解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a) ,所以可以得到 (a ? b) f (a) ? (a ? b) f (b) ? 0 , 也就是 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 ,不妨设 a ? b ,所以,可以得到 f (a) ? f (b) ,也就是说 f ( x) 为 N
*

上的单调增函数. (2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一 发现就有思路了! 由(1)可知 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 ,令 b ? 1, a ? f (1) ,则可以得到 ( f ( x) ? 1)( f ( f (1)) ? f (1)) ? 0 ,又 f ( f (1)) ? 3 ,所以由不等式可以得到1 ? f (1) ? 3 ,又 f (1) ? N * ,所以可以得到 f (1) ? 2 ① 接下来要运用迭代的思想: 因为 f (1) ? 2 ,所以 f (2) ? f [ f (1)] ? 3 , f (3) ? f [ f (2)] ? 6 , f (6) ? f [ f (3)] ? 9 ② f (9) ? f [ f (6)] ? 18 , f (18) ? f [ f (9)] ? 27 , f (27) ? f [ f (18)] ? 54 , f (54) ? f [ f (27)] ? 81 在此比较有技巧的方法就是: 81 ? 54 ? 27 ? 54 ? 27 ,所以可以判断 f (28) ? 55 ③

当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能 地列出来,然后就可以得到结论. 所以,综合①②③有 f (1) ? f (6) ? f (28) = 55 ? 9 ? 2 ? 66 (3)在解决 {an} 的通项公式时也会遇到困难.
f [ f (3n )] ? 3n?1, f (3n?1) ? f { f [ f (3n )]} ? 3 f (3n ), ? an?1 ? 3an , 所 以 数 列 an ? f (3n ), n ? N* 的 方 程 为

an ? 2 ? 3n ,从而 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (1 ? 1 ) , a1 a2 an 4 3n
0 1 一方面 1 (1 ? 1 ) ? 1 ,另一方面 3n ? (1 ? 2)n ? Cn ? 20 ? Cn ? 21 ? 2n ? 1 n

4

3

4

所以 1 (1 ? 1 ) ? 1 (1 ? n
4 3 4
n 1 1 ≤ ? ? 4n ? 2 a1 a2 ?

1 1 2n n ,所以,综上有 )? ? ? 2n ? 1 4 2n ? 1 4n ? 2
1 1. ? an 4

例 49. 已知函数 f?x?的定义域为[0,1],且满足下列条件: ① 对 于 任 意 x ? [0,1] , 总 有 f ? x ? ? 3 , 且 f ?1? ? 4 ; ② 若
f? x x ?? 1 ? 2
x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1,

则有

? f ?1x ? (

f )2 x? 3.

(Ⅰ )求 f?0?的值; (Ⅱ )求证:f?x?≤4; (Ⅲ )当 x ? ( 1 , 1 ](n ? 1,2,3, ???) 时,试证明: f ( x) ? 3x ? 3 . n n ?1
3 3

解析: (Ⅰ )解:令 x1 ? x2 ? 0 ,由① 对于任意 x ?[0,1],总有 f ? x ? ? 3 , ∴ f (0) ? 3 又由② 得 f (0) ? 2 f (0) ? 3, 即 f (0) ? 3; ( Ⅱ ) 解 : 任 取 ∴ f (0) ? 3.

x1 , x2 ?[0,1], 且 设

x1 ? x2 ,



f ( x2 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 3,

因为 x2 ? x1 ? 0 ,所以 f ( x

2

? x1 ) ? 3 ,即 f ( x2 ? x1 ) ? 3 ? 0,

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

∴ 当 x ?[0,1]时, f ( x) ? f (1) ? 4 . (Ⅲ )证明:先用数学归纳法证明: f ( 1 ) ? 1 ? 3(n ? N*) n ?1 n ?1
3 3

(1) 当 n=1 时, f ( 1 ) ? f (1) ? 4 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ,不等式成立; 0 0
3 3

(2) 假设当 n=k 时, f ( 由 f(

1 1 )? ? 3(k ? N*) 3k ?1 3k ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? f [ k ? ( k ? k )] ? f ( k ) ? f ( k ? k ) ? 3 ? f ( k ) ? f ( k ) ? f ( k ) ? 6 3 3 3 3k ?1 3 3 3 3 3 3
1 1 ) ? 6 ? k ?1 ? 9. 3k ?1 3

得3f ( 1 ) ? f (
3k

即当 n=k+1 时,不等式成立 由(1) 、 (2)可知,不等式 f (
1 1 )? ? 3 对一切正整数都成立. 3n?1 3n?1
1 1 ? 3 ? f ( n?1 ) , 3n?1 3

于是,当 x ? ( 1 , 1 ](n ? 1,2,3, ???) 时, 3x ? 3 ? 3 ? 1 ? 3 ? n n ?1 n
3 3
3

而 x ?[0,1], f ? x ? 单调递增 例 50. 已知: a1 ? a2 ? ? an ? 1, ai ? 0 解析:构造对偶式:令 A ? a12
B?

∴f ( 1 ) ? f ( 1 ) n n ?1
3 3
(i ? 1,2?n)

所以, f ( x) ? f ( 1 ) ? 3x ? 3. n ?1
3
a a ? ? a1 ? a2 a2 ? a3
2 1 2 2

求证:

?

a

2 n ?1

an?1 ? an

?

2 an 1 ? an ? a 1 2

2 2 2 an an a2 ?1 ? ??? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a1

2 2 2 a3 an a2 a12 ? ??? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a1



2 2 2 a 2 ? a3 a 2 ? an a 2 ? a12 a12 ? a2 ? 2 ? ? ? n?1 ? n a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a1 (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? ? ? (an?1 ? an ) ? (an ? a1 ) ? 0,? A ? B

A? B ?



又? ai
?A?

2

? a2 j

ai ? a j

?

1 (ai ? a j ) 2

( i, j ? 1,2?n)

2 2 2 a 2 ? a3 a 2 ? an a 2 ? a12 ? 1 ?(a ? a ) ? (a ? a ) ? ? ? (a ? a ) ? (a ? a )? ? 1 1 1 a 2 ? a2 ( A ? B) ? ( 1 )? 2 ? ? ? n?1 ? n 1 2 2 3 n ?1 n n 1 2 2 2 a1 ? a2 a 2 ? a3 an?1 ? an an ? a1 4

十一、积分放缩 利用定积分的保号性比大小 保号性是指,定义在 ? a, b? 上的可积函数 f ? x? ? ? ?? 0 ,则 例 51.求证: ? e ? e? . 解析: ? e ? e? ? ln ? ? ln e ,∵ln ? ? ln e ? ? ln x ? ? ? d ? ln x ? ? ? 1 ? ln x dx , 2 ? ? ? ?e ? ? ? ? e ? e x ? e x ? x ? e
?

? f ? x ? dx ? ? ?? 0 .
b a

x ? ? e,? ? 时, 1 ? ln x ? 0 ,
x
2

?

?

e

1 ? ln x , dx ? 0 x2

∴ln ? ? ln e , ? e ? e? .
?
e

利用定积分估计和式的上下界 定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积,现在用它来估计小矩形的面积和. 例 52. 求证:1 ? 1 ? 1 ?
2 3 ? 1 ?2 n
1 x

?

n ? 1 ? 1 , ? n ? 1, n ? N ? .

?

解析: 考虑函数 f ? x ? ?

在区间 ?i, i ? 1? ?i ? 1, 2,3, , n? 上的定积分.

如图,显然 1 ? 1 ?1 ? i ?1 1 dx -① ?i
i i x
n n 对 i 求和, ? 1 ? ? i ?1 1 dx ? n ?1 1 dx ?1 ?i i ?1

i

i ?1

x

x

? ?2 ?? ?2 x ?1

n ?1

?

n ? 1 ?1 .
? 1 7 ? . 2n 10

?

例 53. 已知 n ? N , n ? 4 .求证: 1 ? 1 ? 1 ?
n ?1 n ? 2 n?3

解析:考虑函数 f ? x ? ? 1 在区间 ? i ?1
1? x

i? , ? ? n n? ?

?i ? 1, 2,3,

, n? 上的定积分.

∵1
n?i

1 1 ? ? n 1? i n

? ?in ?1
n

i

1 dx -② 1? x

∴n

1 n 1 1 ? ?? ? i ?1 n ? i i i ?1 n
1? n

? ? ?in ?1
i ?1 n

n

i

1 1 1 1 dx ? ?0 dx ? ? ln ?1 ? x ? ? ? ? 0 1? x 1? x

? ln 2 ?

7 . 10

例 54. (2003 年全国高考江苏卷)设 a ? 0 ,如图,已知直线 l : y ? ax及曲线 C : y ? x 2 , C 上的点 Q1 的 横坐标为 a1 ( 0 ? a1 ? a ).从 C 上的点 Qn ? n ? 1? 作直线平行于 x 轴,交直线 l 于点 Pn?1 ,再从点 Pn ?1 作直 线平行于 y 轴,交曲线 C 于点 Qn?1 . Qn ? n ? 1, 2,
, n ? 的横坐标构成数列 ?an ? .

(Ⅰ )试求 an ?1 与 an 的关系,并求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ )当 a ? 1, a ? 1 时,证明 1 ? (a
n

2

k ?1

k

? ak ?1 )ak ? 2 ?

1 ; 32

n 1 (Ⅲ )当 a ? 1 时,证明 ? (ak ? ak ?1 )ak ? 2 ? . k ?1

3

解析: an ? a (

a1 2 ) (过程略). a
n?1
1

2 ,∵ 证明(II) :由 a ? 1 知 an?1 ? an a

?

1 ,∴ 1 1 . a2 ? , a3 ? 2 4 16

∵ 当 k ? 1 时, ak ? 2 ? a3 ? 1 ,
16
n ∴? (a k ?1

k

? ak ?1 )ak ? 2 ?

1 n 1 1 . ? (ak ? ak ?1 ) ? (a1 ? an ?1 ) ? 16 k ?1 16 32
2. ? ak

证明(Ⅲ ) :由 a ? 1 知 a

k ?1

∴(ak ? ak ?1 )ak ?2 ? (ak ? ak ?1 )ak2?1 恰表示阴影部分面积,

显然 ∴ ? (a
n k ?1

2 (ak ? ak ?1 )ak ?1 ? ?

ak

ak ?1

x2 dx



k

n a1 n 1 3 1. 2 a 2 ? ak ?1 )ak ? 2 ? ? (ak ? ak ?1 )ak x 2 dx ? ?0 x dx ? a1 ? ?1 ? ? ? a 3 3 k ?1 k ?1
k k ?1

奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如: ① 1 ?? i ?1 1 dx ? 2 ? ?i
i x
i ?1 ? i

?;

② 1

i ? i? ? i ?1 ? ; 1 n dx ? ln ?1 ? ? ? ln ?1 ? ? 1 n ? i ? ?i ? n n ? 1 ? x ? ? ? n

③sin ?i ? sin ?i ?1 ?
1 ? sin ?i ?1
2

?

sin?i

1 1 ? x2

sin?i?1

dx ? ?i ? ?i ?1 ;

④(a

k

2 ? ak ?1 )ak ?1 ? ?

ak

ak ?1

x 2 dx ?

1 3 ? ak ? ak3?1 ? . 3

十二、部分放缩(尾式放缩) 例 55.求证: 解析:
1 1 1 4 ? ??? ? 3 ?1 3? 2 ?1 3 ? 2 n ?1 ? 1 7

1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 ? ??? ? ? ??? ? ? ??? 11 1 4 47 48 4 n ?1 n ?1 2 n ?1 ? ? ? ? ? ? 3 ?1 3? 2 ?1 4 7 28 3? 2 ?1 3? 2 ?1 3? 2 3? 2 28 3 1? 1 2 84 84 7

例 56. 设 a

n

? 1?

1 1 1 ? a ? ? ? a , a ? 2. 求证: a n ? 2. n 2a 3
2

解析: a n ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 . a a 2 2 2 a
1 又 k 2 ? k ? k ? k (k ? 1), k ? 2 (只将其中一个 k 变成 k ? 1 , 进行部分放缩) , ? 2 ? k
3 n 2 3 n

1 1 1 ? ? , k (k ? 1) k ? 1 k

于是 a

n

? 1?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2 ? ? 2. n 2 2 3 n ?1 n 2 2 32 n

2 例 57.设数列 ?an ?满足 an?1 ? an ? nan ? 1?n ? N ? ? ,当 a1 ? 3 时

证明对所有 n ? 1, 有 (i)an ? n ? 2 ; (ii) 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1
1 ? a1 1 ? a2 1 ? an

2

解析: (i ) 用数学归纳法:当 n ? 1 时显然成立,假设当 n ? k 时成立即 ak ? k ? 2 ,则当 n ? k ? 1 时 ak ?1 ? ak (ak ? k ) ? 1 ? ak (k ? 2 ? k ) ? 1 ? (k ? 2) ? 2 ? 1 ? k ? 3 ,成立。
(ii ) 利 用 上 述 部 分 放 缩 的 结 论 ak ?1 ? 2ak ? 1 来 放 缩 通 项 , 可 得
ak ?1 ? 1 ? 2(ak ? 1) ? a k ? 1 ? ? ? 2 k ?1 (a1 ? 1) ? 2 k ?1 ? 4 ? 2 k ?1 ?

1 1 ? . a k ? 1 2 k ?1

?
i ?1

n

n 1 1 1 ? ? i ?1 ? ? 1 ? a i i ?1 2 4

1 1? ( ) n 2 ? 1. 1 2 1? 2

注 : 上 述 证 明 (i ) 用 到 部 分 放 缩 , 当 然 根 据 不 等 式 的 性 质 也 可 以 整 体 放 缩 : ak ?1 ? (k ? 2)(k ? 2 ? k ) ? 1 ? k ? 3 ;证明 (ii ) 就直接使用了部分放缩的结论 ak ?1 ? 2ak ? 1 y 十三、三角不等式的放缩 例 58.求证: | sin x |?| x | ( x ? R) . 解析:(i)当 x ? 0 时, | sin x |?| x | (ii)当 0 ? x ? ? 时,构造单位圆,如图所示:
2
O P A

T

B

x

因为三角形 AOB 的面积小于扇形 OAB 的面积

所以可以得到 sin x ? x ?| sin x |?| x | 当 x ? ? 时 | sin x |?| x |
2

所以当 x ? 0 时 sin x ? x 有 | sin x |?| x | (iii)当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,由(ii)可知: | sin x |?| x | 所以综上有 | sin x |?| x | ( x ? R) 十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强 对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明 f ( x) ? A ,只要证明 f ( x) ? A ? B( B ? 0) ,其中 B 通过寻找分析,归纳完成. 例 59.求证:对一切 n(n ? N *) ,都有 解析:
1 k k 1 k
3

?k
k ?1

n

1 k
?

? 3.
? ? 1 1 1 1 ?? ?? ? ? ? (k ? 1)k (k ? 1) ? (k ? 1)k k (k ? 1) ? k ? 1 ? k ? 1

?

?

1 k (k ? 1)
2

? ? 1 1 1 1 ? 1 1 ? k ?1 ? k ?1 ?? ?? ? ? ? ? ?? ? (k ? 1)k ? 2 k (k ? 1) ? k ? 1 ? k ? 1 k ? k ?1 k ?1 ? ?

?

1 ? 1 1 ? 2k 1 1 ? ? ? ? ?? 2 k ? k ?1 k ?1 ? k ?1 k ?1

从而

?k
k ?1

n

1 k

? 1?

1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 1? ? ? ?3 2 1 3 2 4 3 5 k ?1 k ?1 k k ?1

当然本题还可以使用其他方法,如:
1 1 ? ? k k k k ?1 ? 1 1 1 ?? ? k ? k ? k ?1 ? k2 ? k (k ? 1) ? 1 ? ? 1 1 1 k ? k ?1 ? 1 1 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2?? ? k ? k ?1 1 k ? 1 k? k k ? 1 k ? ? ? ?

所以

?k
k ?1

n

1 k

? 1? ?
k ?2

n

1 k k

? 1 ? 2(1 ?

1 ) ? 3. k

(ii)异侧加强(数学归纳法) (iii)双向加强 有些不等式 ,往往是某个一般性命题的特殊情况 ,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其 本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为: 欲证明 A ? f ( x) ? B ,只要证明: A ? C ? f ( x) ? B ? C(C ? 0, A ? B) . 例 60.已知数列 {an} 满足: a ? 1, a ? a ? 1 ,求证: 2n ?1 ? an ? 3n ? 2(n ? 2). 1 n ?1 n
an

解析:

? 1 ? ,从而 an 2 ? an?12 ? 2 ,所以有 2 2 an ? ? ? an ?1 ? a ? ? ? ak ?1 ? 2 n ?1 ? ?

2

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 2(n ?1) ?1 ? 2n ?1,所以 an ? 2n ?1
2 2 2 2 2 2 2 2

又a
2

2 n

? 1 ? ,所以 an 2 ? an?12 ? 3 ,所以有 2 ?? ? a n?1 ? a ? ? ? a k ?1 ? 3 n ?1 ? ?
2 2 2 2 2 2 2

2

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 3(n ?1) ? 1 ? 3n ? 2 所以 an ? 3n ? 2

所以综上有 2n ?1 ? an ? 3n ? 2(n ? 2). 引申:已知数列 {an} 满足: a ? 1, a ? a ? 1 ,求证: n 1 1 n ?1 n ?a a
n
k ?1

? 2n ? 1

.

k

解析:由上可知 an ? 从而

2n ?1 ,又

2n ? 1 ?

2n ? 1 ? 2n ? 3 2

,所以 1
an

?

1 2n ? 1

?

2 2 n ? 1 ? 2n ? 3

? 2n ? 1 ? 2n ? 3

?a
k ?1

n

1
k

? 1 ? 3 ? 1 ? 5 ? 3 ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 3 ? 2n ? 1(n ? 2)

n 又当 n ? 1 时, 1 ? 1 ,所以综上有 1 ? 2n ? 1 . ?

a1

k ?1

ak

同题引申: (2008 年浙江高考试题)已知数列 ?an ?, an ? 0 , a1 ? 0 , an?12 ? an?1 ? 1 ? an 2 (n ? N ? ) . 记 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , T (1) an ? an?1 ; (2) S n
n

?

.求证:当 n ? N ? 时. 1 1 1 ? ??? 1 ? a1 (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) ?(1 ? an ) ★(3) Tn ? 3 .

? n ? 2;

解析:(1) an?12 ? an 2 ? 1 ? an?1 ,猜想 an ? 1 ,下面用数学归纳法证明: (i)当 n ? 1 时, a1 ? 1,结论成立; (ii)假设当 n ? k (k ? 1) 时, ak ? 1 ,则 n ? k ? 1(k ? 1) 时, ak ?12 ? ak ?1 ? 1 ? ak 2 从而 ak ?12 ? ak ?1 ? 2 ? an?1 ? 1 ,所以 0 ? ak ?1 ? 1 所以综上有 0 ? an ? 1 ,故 an?12 ? an 2 ? 0 ? an?1 ? an (2) 因为 an?12 ? an 2 ? 1 ? an?1 则 a2 2 ? a12 ? 1 ? a2 , a32 ? a2 2 ? 1? a3 , … , an?12 ? an 2 ? 1 ? an?1 , 相加后 可以得到: an?12 ? a12 ? n ? (a2 ? a3 ? ?? an?1 ) ? Sn?1 ? n ? an?12 ,所以
Sn ? n ?1 ? an ? n ? 2 ,所以 S n ? n ? 2
2

(3)因为 an?12 ? an?1 ? 1? an 2 ? 2an ,从而 a

n ?1

?1 ?

2 a n ,有 1 a ? n?1 ,所以有 an?1 1 ? an?1 2an

a a a a 1 ? n?1 ? n ? 3 ? n?1 ,从而 (1 ? a3 )?(1 ? an )(1 ? an?1 ) 2an 2an?1 2a2 2 n?1 a2 a a ?1 ,所以 1 1 ? n?n1?1 ? ? n (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an )(1 ? an?1 ) 2 a2 1 ? a2 2 n?1 an a 1 1 ? ? ? n ,所以 (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an ) 2 n 21 a2 1 ? a2 2 n?2 Tn ? 1 ? a a a 1 1 1 1 1 2 ? 3 ? 4 ? ? ? nn ? 1? ? ? ? ? ? n?2 ? ?1?1 ? 3 1 ? a2 2 2 2 1 ? a2 2 2 2 2 ?2 2 5 ?1

所以综上有 Tn ? 3 . 例 61.(2008 年陕西省高考试题)已知数列 {an } 的首项 a (1)证明:对任意的 x ? 0 , a ≥ 1 ? n
1? x
2 (2)证明: a ? a ? ? a ? n . 1 2 n
1

?

3 ,a n ?1 5

?

3an , n ? 1, 2, . 2an ? 1

1 ?2 ? , n ? 1, 2, ; ? ? x? (1 ? x)2 ? 3n ?

n ?1

n 解析:(1)依题,容易得到 an ? 3

2 ? 3n

? 1?

2 ,要证 x ? 0 , 1 1 ?2 ? , n ? 1, 2, , an ≥ ? ? ? x? 3n 1 ? x (1 ? x)2 ? 3n ?

即证1 ? 2 ? 1 ? n
3 1? x

1 ? 2 2 2 1 ? ? n ? ? ? x ? 1 ? 1? ? 2 (1 ? x) 2 ? 3n (1 ? x) 2 ? 1 ? x 3 (1 ? x)

n 即证 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ,设 t ? 1 所以即证明 ? (t ) ? ? 2 ? 3n ? t 2 ? 2t ? n 2 n n

1? x

3 (1 ? x)

3

1? x

3

2 ? 1 ? 0(0 ? t ? 1) 3n

从而 ? (1) ? 0 ,即 ? 2 ? 3n
3n

?2?

2 ,这是显然成立的. ?1 ? 0 3n

所以综上有对任意的 x ? 0 , a (法二)

n



1 1 ?2 2, ? , n ? 1, ? ? ? x? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3n ?

1 1 ?2 ? 1 1 ?2 ? ? ? ? ? x? ? ? ? 1 ?1 ? x ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3n ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3n ?

?

2 , 2 1 ? 1? 1 1 1 ?1 ≤ an ? ? ? an ? ? an ? ? (1 ? x) ? ? 2 ?? ? 2 ? an ? 1 ? x 1 ? x (1 ? x) ? an ? ? 1 ? x an (1 ? x)

? 原不等式成立.

(2)由(1)知,对任意的 x ? 0 ,有
a1 ? a2 ? ? an ≥ 1 1 ?2 ? 1 1 ?2 ? ? ? ? ? x?? ? ? x?? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3 ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 32 ?
? n 1 ?2 2 ? ? ? ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3 32 ? 2 ?. ? nx ? 3n ?

?

1 1 ?2 ? ? ? ? x? 1 ? x (1 ? x) 2 ? 3n ?

?取

1?2 2 x? ? ? 2 ? n?3 3

2? 1? , 1? n ? 2 ? 3? 1? 3 ? 1? ? ? n ?? ? ?1 ? n ? 3 ? ? 1? n? 3 ? n ?1 ? ? ? 3?


a1 ? a2 ? ? an ≥ n n2 n2 ? ? 1 n ?1 1? 1? 1 ? ?1 ? n ? n ? 1 ? n 3 n? 3 ?



? 原不等式成立.
十四、经典题目方法探究 探究 1.(2008 年福建省高考)已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x .若 f ( x) 在区间 [0, n](n ? N *) 上的最小值为
bn ,

令 an ? ln(1 ? n) ? bn .求证: a1 ? a1 ? a3 ? ? ? a1 ? a3 ? a5 ? ?? a2n ?1 ? 2a ? 1 ? 1. n
a2 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ? ?? a2 n

证明:首先:可以得到 an ? nn .先证明 1? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
2

1 2n ? 1

(







)

1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)( 2n ? 1) 1 1 ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 2 ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? ? 2 2 ? 4 2 ? ? ? ( 2 n ) 2 n ? 1 2 n ?1 ? ?





1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
2 2 ?1 3 4

1 2n ? 1
4 ?1 5 2n 2n ? 1
2

(方法二)因为 1 ? 1 ? 1 ? 2 , 3 ? 3 ? 1 ? 4 , ? , 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 ?

2n ,相乘得: 2n ? 1

1 ,从而 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 1 . ?1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? ? ? 2 ? 4 ? 6 ? ?? 2n ? ? 2n ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 2n ? 1 ? ?

(方法三)设 A= 1? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ,B=
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ,因为 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (2n ? 1)
2

A<B,所以 A2<AB,
1 . 2n ? 1

所以 ?1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? ? ? ?
? 2 ? 4 ? 6 ? ?? 2n ?

1 , 2n ? 1

从而 1? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

下面介绍几种方法证明 a1 ? a1 ? a3 ? ? ? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2n ?1 ? 2a ? 1 ? 1 n
a2 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n

(方法一)因为

2n ? 1 ?

2n ? 1 ? 2n ? 1 ,所以 1 ,所以有 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 2 2n ? 1

n 1 1? 3 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ??? ? ? 2k ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n k ?1

(方法二) n ? 2 ? n ?

2 ,因为 n?2 ? n
1 2n ? 1

1 ? n?2

2 n?2 ? n

,所以

1 ? n?2 ? n n?2

令 n ? 2n ? 1 ,可以得到

? 2n ? 1 ? 2n ? 1

,所以有

n 1 1? 3 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ??? ? ? 2k ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n k ?1

(方法三)设 a ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) , a ? 2n ? 1 a 所以 2(n ? 1)an?1 ? an?1 ? (2n ? 1)an ? an?1 , n n ?1 n
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 2n ? 2

从而 an?1 ? [2(n ? 1) ? 1]an?1 ? (2n ? 1)an ,从而 an ? (2n ? 1)an ? (2n ?1)an?1
a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? (2n ? 1)a n ? (2n ? 1)a n?1 ? (2n ? 1)a n ?1 ? (2n ? 3)a n?2 ? ? ? 5a 2 ? 3a1 ? (2n ? 1)a n ?
an ? 1 ,所以 a ? a ? a ? ? ? a ? 2n ? 1 ? 3 ? 2n ? 1 ? 1 1 2 3 n 2 2n ? 1

3 2



(方法四)运用数学归纳法证明: (i)当 n ? 1 时,左边=
1 3

?
k ?1

n

1 2k ? 1

? 2n ? 1 ? 1

,右边=
3 ?1 ? 2 3 ?1 ? 1 3 ?1 2

显然不等式成立;

(ii)假设 n ? k (k ? 1) 时, 所以要证明 k ?1
i ?1

?
i ?1

k

1 2i ? 1

? 2k ? 1 ? 1

,则 n ? k ? 1 时,

1 3

?

1 5

???

1 2k ? 1

?

1 2k ? 3

? 2k ? 1 ? 1 ?

1 2k ? 3

,

?

1 2i ? 1

? 2k ? 3 ? 1

, 只要证明
2k ? 1 ?

1 2k ? 3

? 2k ? 3 ?

1 2k ? 3

? 2k ? 3 ? 2k ? 1 ?

1 2k ? 3 ? 2k ? 1 2

, 这是

成立的. 这就是说当 n ? k ? 1 时,不等式也成立,所以,综上有 a1
a2 ? a1 ? a3 a ? a ? a ? ? ? a2 n ?1 ??? 1 3 5 ? 2an ? 1 ? 1 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ? ?? a2 n

探究 2.(2008 年全国二卷)设函数 f ( x) ? 解析:因为 f ( x) ? 设 g ( x) ? f ( x) ? ax ,则
sin x 2 ? cos x

sin x 2 ? cos x
f ' ( x) ?

.如果对任何 x ≥ 0 ,都有 f ( x) ≤ ax ,求 a 的取值范围.

,所以

cos x(2 ? cos x) ? sin 2 x 1 ? 2 cos x ? (cosx ? 2) 2 (cosx ? 2) 2

g ' ( x) ? f ' ( x) ? a ?

g (0) ? 0 1 ? 2 cos x cos x ? 2 ? cos x ? 2 ? 1 ? 2 2 3 ?a? ?a? ? ?a (cos x ? 2) 2 (cos x ? 2) 2 cos x ? 2 (cos x ? 2) 2

,

因为 | cos x |? 1 ,所以 (i)当 a ? 1 时,
3
g ' ( x) ? 0

2 3 ? 1? ? ? ? 1, ? cos x ? 2 (cosx ? 2) 2 ? ? 3?

恒成立,即 g ( x) ? g (0) ? 0 ,所以当 a ? 1 时, f ( x) ≤ ax 恒成立.
3

(ii)当 a ? 0 时, f ( ? ) ? 1 ? 0 ? a ? ( ? ) ,因此当 a ? 0 时,不符合题意.
2 2 2

(iii)当 0 ? a ? 1 时,令 h( x) ? sin x ? 3ax ,则 h?( x) ? cos x ? 3a 故当 x ??0, arccos3a ? 时, h?( x) ? 0 .
3

因此 h( x) 在 ?0, arccos3a) 时, h( x) ? h(0) ? 0 , arccos3a ? 上单调增加.故当 x ? (0, 即 sin x ? 3ax .于是,当 x ? (0, arccos3a) 时, f ( x) ? 所以综上有 a 的取值范围是 ? 1
? ? 3 ,?? ? ? ?

sin x sin x ? ? ax 2 ? cos x 3

变式:若 0 ? xi ? arccos3a ,其中 i ? 1,2,3,?, n

1 且 0 ? a ? , x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? arccos3a ,求证: 3

x x x1 x 3a ? tan 2 ? tan 3 ? ? ? tan n ? arccos3a . 2 2 2 2 2 x sin xi sin xi 证明:容易得到 tan i ? ? 2 cos xi ? 1 2 tan
由上面那个题目知道 sin xi ? 3axi 就可以知道 tan

x x x1 x 3a ? tan 2 ? tan 3 ? ? ? tan n ? arccos3a 2 2 2 2 2
1? x

★同型衍变:(2006 年全国一卷)已知函数 f ( x) ? 1 ? x e ? ax .若对任意 x∈ (0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a 的取 值范围. 解析:函数 f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为 f ?( x) ? ax2 ? 2 ? a e ?ax .
(1 ? x) 2

(ⅰ ) 当 0< a≤2 时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意 x∈ (0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时 a 满足要求. (ⅱ ) 当 a>2 时, f (x) 在区间 (如取 x
? 1 2
a?2, a
a?2, a

a ? 2 )为减函数, a

故在区间(0,

a?2) a

内任取一点, 比

0

就有 x0∈ (0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时 a 不满足要求.

(ⅲ ) 当 a≤0 时, 对于任意 x∈ (0, 1) 恒有
f ( x) ? 1 ? x ? ax ≥ 1 ? x e ? 1 , 这时 a 满足要求. 1? x 1? x

综上可知, 所求 a 的取值范围为 a≤2.


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