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3[1].3.2简单的线性规划问题(1)2012.10.31


3.3.2简单的线性规划问题
y

o

x

新课探究
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件 乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配 件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8h计 算,该厂所有可能的日生产安排是什么? 解:

按甲、乙两种产品分别生产x、y件,由已知条 件可得二元一次不等式组

? x+2y ? 8 ?x ? 2y ? 8 ? 4x ? 16 ?x ? 4 ? ? ? ?y ? 3 ? 4y ? 12 ?x ? 0 ?x ? 0 ?y ? 0 ?y ? 0 ? ?

2

将上述不等式组表示成平面上的区域
甲、乙两种产品分别生产x、y件 ?x ? 2y ? 8 若生产一件甲产品获利2万元,生产 ?x ? 4 ? ?y ? 3 一件乙产品获利3万元,采用那种生产 ?x ? 0 ?y ? 0 安排利润最大? ?

设工厂获得的利润为z,则z=2x+3y 把z=2x+3y变形为 2 z y?? x? 3 3
2 它表示斜率为 ? 3
x ? 2y ? 8
4 3

y

x?4

的直 线系,z与这条直线的 截距有关。

M

o

4

8

x

如图可见,当直线经过区域上的点M时,截距最大, 即z最大。

二、基本概念
一组关于变量x、y的一次不等式,称为线性约束条 件。 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数,因为 它是关于变量x、y的一次解析式,又称线性目标函数。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 y 问题,统称为线性规划问题。 4 可行域 最优解 满足线性约束的解
3

(x,y)叫做可行解。 由所有可行解组成的 可行解 集合叫做可行域。

o

4

8

x

使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做 这个问题的最优解。

解:按甲、乙两种产品分别生产x、y件,目标函数为Z,那么: 约束条件为
?x ?x ? ?y ?x ?y ? ? ? ? ? ? 2y ? 8 目标函数为 z ? x ? 4 y 4 1 3 y?? y 将 z ? x ? 4 变形为 0 4 0 1

x?

作出上述约束条件所表示的 可行域如下:
x ? 2y ? 8

y
N

x?4

这是斜率为 ? ,随z变化的平 z 4 行直线系, 是 直线在Y轴上的 4 z 截距,当 最大时,z取得最大 4 1 y?? x 值。所以直线
4

z 4

y?3

M

与可行域相交且在Y轴上的截距 最大时,目标函数取得最大值。

o

4

8

由图可见,当 直线 z ? x ? 4 y z 经过可行域上的N点时 4 最 x 大,即 z 最大。

y??

1 x 4

? y?3 解方程组 ? 得N点的坐标为(2,3)。 ?x ? 2y ? 8
所以

zmax ? 2 ? 4 ? 3 ? 14

一、线性规划在实际中的应用:
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用, 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下, 如何使用它们来完成最多的任务; 二是给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、 物力、资金等资源来完成该项任务 下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用:

二、例题 例5、营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少 提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质, 0.06kg的脂肪,1kg食物A含有0.105kg碳水化合物, 0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物 B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg 脂肪,花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食 要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B 多少kg?
分析:将已知数据列成表格
食物/kg 碳水化合物/kg 蛋白质/kg 脂肪/kg

A B

0.105 0.105

0.07 0.14

0.14 0.07

解:设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总成本为z, 那么

?0.105 x+0.10 y ? 0.075 ?7 x ? 7 y ? 5 ? ? ?0.07 x+0.14 y ? 0.06 ?7 x ? 14 y ? 6 ? ? ?0.14 x ? 0.07 y ? 0.06 ? ?14 x ? 7 y ? 6 ?x ? 0 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0 ?y ? 0 ? ?
目标函数为:z=28x+21y

1、找

作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域

4 z 把目标函数z=28x+21y 变形为 y ? ? x ? 3 28 4 ? 它表示斜率为 3 纵截

2、画

距随z变化的一组平行 直线

6/7 y

的截距,当截距最 小时,z的值最小。

z 28 是直线在y轴上

5/7

M

3/7

3、移
如图可见,当直线z= 28x+21y 经过可行 域上的点M时,纵截距 最小,即z最小。
o
y?? 4 x 3

3/7

/ 57

6/7 x

4、求

?7 x ? 7 y ? 5 ? ?14x ? 7 y ? 6 ? x ? ? ? 得M点的坐标为: ? ?y ? ? ?
所以zmin=28x+21y=16

M点是两条直线的交点,解方程组

1 7 4 7

5、答

由此可知,每天食用食物A143g,食物B约 571g,能够满足日常饮食要求,又使花费最低, 最低成本为16元。

解线性规划问题的步骤:
1、找 找出线性约束条件、目标函数; (1)2、画: 画出线性约束条件所表示的可行域; (2)3、移: 在线性目标函数所表示的一组平行线中, 利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线; (3)4、求:通过解方程组求出最优解; (4)5、答:作出答案。
12

例题6 某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成A、B、C三种规格, 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所
规格类型 钢板类型

A规格
2 1

B规格
1 2

C规格
1 3

第一种钢板

第二种钢板

某顾客需要A,B,C三种规格的成品分别为15,18,27块,若你是 经理,问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张 数最少。 解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张, 分 钢板总张数为Z则, 2x+y≥15, 析 x+2y≥18, 问 x+3y≥27, 题 x≥0 标目函数: z=x+y (x, y ? N) : y≥0

约束条件: 2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, y≥0 (x, y ? 目标函数:z= x+y N)

y 15

{

调整优解法

10 B(3,9) C(4,8) 8 画可行域 A(3.6,7.8) x+y =0 6 4 作出直线L:x+y=0,2 0 2 4 6 8
平移L找交点及交点坐标

x 12
x+y=12 x+2y=18

18

2x+y=15

27
x+3y=27

当直线L经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解. 解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)

作直线x+y=12

直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解.

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*

y
15
B(3,9)
C(4,8)

打网格线法

目标函数t = x+y

9

A(18/5,39/5)

x+y =0

2 1 0 12
作出一组平行直线t = x+y,

78
2x+y=15

18

27

x

x+2y=18 x+3y=27

当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解,在可行域内打出网格线, 将直线x+y=11.4继续向上平移, 经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)且和原点距离最近的直线是 x+y=12,它们是最优解.

小结:
线性规划求最优整数解的一般方法: 1.平移找解法: 即先打网格,描出可行域内的
整点,平移直线,最先经过或最后经过的整点

坐标即为最优整解.

2.调整优解法:即先求非整数条件下的最优解,
调整Z的值使不定方程Ax+By=Z存在最大(小) 的整点值,最后筛选出整点最优解.

例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t,在此基础上生产 这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式, 并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料 各多少车皮,能够产生最大的利润? 解:设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数,于是满足以下条件: y
?4 x+y ? 10 ?18x+ 15y ? 66 ? , x, y ? N ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

x

o

解:设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮,能够产 生利润Z万元。目标函数为Z=x+0.5y,可行域如图: 把Z=x+0.5y变形为y=-2x+2z,它表示斜率为 -2,在y轴上的截距为2z的一组直线系。
由图可以看出,当直线经过可行域上的点M时, 截距2z最大,即z最大。 容易求得M点的坐标为 (2,2),则Zmax=3
y

故生产甲种、乙种肥料各 2车皮,能够产生最大利润, 最大利润为3万元。

M x

o

例7 在上一节例4(P85)中,若生产1车皮甲种肥料,产生的 利润为10000元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为5000元, 那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大利润? 解:设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮,能够产生利润 Z万元。 y
12

目标函数为:z ? x ? 0.5 y
可行域如图。

10

8

把z=x+0.5y变形为 y ? ?2 x ? 2 z 得到斜率为-2,在y轴上的截距为2z, 随z变化的一族平行直线。 由图可以看出,当直线y=-2x+2z经过 可行域上的点M时,截距2z最大,即 Z最大。
-5

6

4

2

M
5

0
-2

4x+y=10 18x+15y=66

x

10

12

解方程组

y
10 8

?18x ? 15y ? 66 ? ?4 x ? y ? 10
得M的坐标为(2,2)

6

4

所以

2

M
5

zmax ? x ? 0.5 y ? 2 ? 0.5 ? 2 ? 3

-5

0
-2

4x+y=10 18x+15y=66

x

10

答:生产甲种、乙种肥料各2车皮,能够 产生最大利润,最大利润为3万元。

练习:P91 T2

小结:
线性规划求最优整数解的一般方法: 1.平移找解法: 即先打网格,描出可行域内的
整点,平移直线,最先经过或最后经过的整点

坐标即为最优整解.

2.调整优解法:即先求非整数条件下的最优解,
调整Z的值使不定方程Ax+By=Z存在最大(小) 的整点值,最后筛选出整点最优解.

例8、某人准备投资1200万元兴办一所完全中学。 对教育市场进行调查后,他得到了下面的数据表格 (以班级为单位)
学段
硬件建设 班级学生数 配备教师数 万元 45 2 26/班 40 3 54/班

教师年薪 万元
2/人
2/人

初中
高中

分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若 根据有关部门的规定,初中每人每年可收学费1600 元,高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中 班和高中班多少个?每年收费的学费总额最多?

解:设开设初中班x个,高中班y个。因办学规模以 20~30个班为宜,所以, 20≤x+y≤30
y 而由于资金限制,26x+54y+2×2x+2×3y≤1200

另外,开设的班级不能为负,则x≥0,y≥0。 把上面四个不等式合在一起, 得到 ?20 ? x+y ? 30 30 ? ? x+2y ? 40 20 ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?
o
20 30 40

x

设收取的学费总额为Z万元,则目标函数 Z=0.16×45x+0.27×40y=7.2x+10.8y。

2 5z Z=7.2x+10.8y变形为 y ? ? x ? 3 54 2 它表示斜率为 ? 的直线系,Z与这条直线的截距有关。 3 y
由图可以看出,当直 线Z=7.2x+10.8y经过 可行域上的点M时,截 距最大,即Z最大。
30

20

M

易求得M(20,10),则 Zmax= 7.2x+10.8y =252 o 40 x 20 30 故开设20个初中班和10个高中班,收取的学费最 多,为252万元。

巩固练习一
咖啡馆配制两种饮料.甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、糖 3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g.已知每天原料 的使用限额为奶粉3600g ,咖啡2000g 糖3000g,如果甲种饮 料每杯能获利0.7元,乙种饮料每杯能获利1.2元,每天在原料 的使用限额内饮料能全部售出,每天应配制两种饮料各多少 杯能获利最大? 解:将已知数据列为下表:
设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y杯,则 目标函数为:z =0.7x +1.2y

原 ?9 x ? 4 y ? 3600 料 ?4 x ? 5 y ? 2000 ? ? ?3 x ? 10 y ? 3000 奶粉(g) ?x ? 0 ? 咖啡(g) ?y ? 0 ? 糖(g) 利 润(元)

每配制1杯饮料消耗的原料 甲种饮料 x 乙种饮料 y 9 4 33 0.7 4 5 1.2 1.2

原 料限 额 3600 2000 3000

解:设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y杯,则

?9 x ? 4 y ? 3600 ?4 x ? 5 y ? 2000 ? ? 9 _00 ?3 x ? 10 y ? 3000 ? x ? 0 作出可行域: ? ? y ? 0 目标函数为:z =0.7x +1.2y ? 作直线l:0.7x+1.2y=0,

y _

目标函数为:z =0.7x +1.2y

把直线l向右上方平移至l1的位置时, _00 4 直线经过可行域上的点C,且与原点 3 _00 距 离最大, 此时z =0.7x +1.2y取最大值 7 _ x + 12 y = 0 解方程组

C _ ( 200 , 240 ) 3 _ x + 10 y = 3000
_ 0

, ?4 x ? 5 y ? 2000 ? , ?3x ? 10y ? 3000

0 _

4 _00

1 500 _000 _ 4 _ x + 5 y = 2000

x _

得点C的坐标为(200,240)

9 x + 4 y = 3600 _

答:每天配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯可获取最大利润.
小结

巩固练习二
某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为 3000元、2000元,甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加 工,在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h,A、B 两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h。如何安排生 产可使收入最大?

设每月生产甲产品x件,生产乙产品y件,每月收 入为z,目标函数为Z=3x+2y,满足的条件是

? x+2 y ? 400 ?2 x+y ? 500 ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

3 z Z= 3x+2y 变形为 y ? ? 2 x ? 2 3 它表示斜率为 ? 的直线系,Z与这条直线的截距有关。 2 当直线经过点M时,截距最大,Z最大。

? x ? 2 y ? 400 解方程组 ? ?2 x ? y ? 500
可得M(200,100)

Y 500

? x+2 y ? 4 0 ?2 x+y ? 5 0 ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

Z 的最大值Z =

3x+2y=800
故生产甲产品200件, 乙产品100件,收入 最大,为80万元。

200
M

O

250

400

X

四.课时小结
线性规划的两类重要实际问题的解题思路:
1.应准确建立数学模型,即根据题意找出约束条件, 确定线性目标函数。 2.用图解法求得数学模型的解,即画出可行域, 在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(一般最优解 在直线或直线的交点上,要注意斜率的比较。) 3.要根据实际意义将数学模型的解转化为实际 问题的解,即结合实际情况求得最优解。

二、练习
1、求z=2x+y的最大值,使x、y满足约束条件:

?y ? x ? ? x+y ? 1 ?y ?- 1 ?
2、求z=3x+5y的最小值,使x、y满足约束条件:
?5 x+3 y ? 1 5 ? 1 ? y ? x+ ? x-5 y ? 3 ?

1.解:作出平面区域
y

z=2x+y

A
o x C

?y ? x ? ? x+y ? 1 ?y ?- 1 ?
z=2x+y

B

作出直线y=-2x+z的图像,可知 z要求最大值,即直线经过C点时。
求得C点坐标为(2,-1),则 Zmax=2x+y=3

2.解:作出平面区域
y A

?5 x+3 y ? 1 5 ? 1 ? y ? x+ ? x-5 y ? 3 ?
x

B

o

C

z=3x+5y

作出直线3x+5y =z 的 求得A(1.5,2.5), 图像,可知直线经过A点时,B(-2,-1),则 Z取最大值;直线经过B点 Zmax=17, 时,Z取最小值。 Zmin=-11。


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