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高二数学(秋下)第7讲-期末考试导数与空间向量


第七讲 期末复习导数与空间向量
一、导数 【知识梳理】
导数的概念

导数

导数的求法

和、差、积、商、复合函数的导数 函数的单调性

导数的应用

函数的极值 函数的最值

1.导数的定义:

f ?( x0 ) =

lim ?y ? lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) .
?x ?0

?x

?x ?0

?x

注: (1) ?x 是增量,我们也称为“改变量”,因为 ?x 可正,可负,但不为零. (2)函数 y ? f ( x) 在点 x0 处连续与点 x0 处可导的关系: 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处连续是 y ? f ( x) 在点 x0 处可导的必要不充分条件. 2.导函数: 函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) 在 x ? x0 时的函数值 f ?( x0 ) 就是 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数. 注: ①可导的奇函数,其导函数为偶函数. 3.几种常见函数的导数: ① C? ? 0; ② xn ②可导的偶函数,其导函数为奇函数.

? ?? ? nx

n ?1

;

③ (sin x)? ? cos x ; ⑦ ? ln x ?? ?

④ (cos x)? ? ? sin x ; ⑧ ? log a x ?? ?

x x x x ⑤ (e )? ? e ; ⑥ (a )? ? a ln a ;

1 ; x

1 log a e . x

4.求导法则: ① (u ? v)? ? u? ? v? 推广: y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ... ? f n ( x) ? y? ? f1?( x) ? f 2?( x) ? ... ? f n?( x) . ② (uv)? ? vu? ? v?u ;

③?

? u ?? vu ? ? v?u (v ? 0) ; ? ? v2 ?v?

④ (cu )? ? cu ' ( c 为常数).

【方法归纳】
1. 导数与函数的单调性 一般地, 设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导, 如果 f ?( x) ? 0 , 则 f ( x) 为增函数; 如果 f ?( x) ? 0 则 f ( x) 为减函数;如果 f ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常数函数.
???

2.导数与函数的极值 一般地,设函数 y ? f ( x) 在点 x0 附近有定义. (1)如果对 x0 附近的所有的点,都有 f ( x) ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) 是 f ( x) 的一个极大值; (2)如 果对 x0 附近的所有的点,都有 f ( x) ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) 是 f ( x) 的一个极小值. 注: (1)求可导函数的极值点可用导数来找,极值点一定是导数为 0 的点. 即:若点 x0 是可导函数

f ( x) 的极值点,则 f ?( x) =0. 但反过来不一定成立.
(2)当函数 f ( x) 在点 x0 处连续时, ①如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) >0,右侧 f ?( x) <0,那么 f ( x0 ) 是极大值; ②如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) <0,右侧 f ?( x) >0,那么 f ( x0 ) 是极小值. 3.导数与函数的最值 函数 y ? f ( x) 在区间上如果存在 x0 ,若使得对区间内任意 x 都有 f ( x) ≥ f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) 是 最小值; 若使得对区间内任意 x 都有 f ( x) ≤ f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) 是最大值. 注: ①一般地, 闭区间 ? a , b ? 上的连续函数 y ? f ( x) 在 ? a , b ? 上必有最大值与最小值. ②极值与最值不是同一个概念. 极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数 值进行比较.开区间内的最值点一定是极值点,反过来不成立. ③函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和 f(a) 、f(b)中最大的一个;最小值为极 小值和 f(a) 、f(b)中最小的一个.

【课堂精讲例题】
【例 1】 求曲线 y ? 2 x ? 1 的斜率等于 4 的切线方程.
2

【解析】设切点为 P( x0 , y0 ) ,则 y? ? (2 x ? 1)? ? 4 x ,∴ y?
2

x ? x0

? 4 ,即 4 x0 ? 4 ,∴ x0 ? 1

当 x0 ? 1 时, y0 ? 1 ,故切点 P 的坐标为(1,1) . ∴所求切线方程为 y ? 1 ? 4( x ? 1) , 即 4 x ? y ? 3 ? 0. 【适时导练】 1. 求过曲线 y ? cos x 上点 P ?

?π 1? , ? 且与过这点的切线垂直的直线方程. ? 3 2?

【解析】? y ? cos x ,∴ y? ? ? sin x. 曲线在点 P?

? 3 ?? 1 ? . , ? 处的切线斜率是 y? ? ? ? sin ? ? x? 3 2 ? 3 2? 3
2 , 3

∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为

∴所求的直线方程为 y ? 【例 2】求下列函数的导数: (1) y ? e cos x ;
x

2? 3 1 2 ? ?? ? ? 0. ? ? x ? ? ,即 2 x ? 3 y ? 3 2 2 3? 3?

(2) y ? x ? tan x ;
2

(3) y ? ln( x ? 1) .

x ' x x ' x x 【解析】 (1)? y ? e cos x,? y ? e cos x ? e (cos x) ? e cos x ? e sin x .

? ?

'

(2)? y ? x ? tan x,? y ? x
2 '

? ?

2 '

sin x ' cos 2 x ? sin x(? sin x) 1 ?( ) ? 2x ? . ? 2x ? 2 cos x cos x cos2 x

(3) y ?
'

1 1 . ? ( x ? 1)' ? x ?1 x ?1 b 2 x ? x 2 ; (3) f ( x) ? x ? (b ? 0). x
3

【例 3】求下列函数的单调区间:
4 2 (1) f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ; (2) f ( x) ?

【解析】 (1)函数 f ( x) 的定义域为 R, f ?( x) ? 4 x ? 4 x ? 4( x ? 1)( x ? 1) x . 令 f ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? 0 或 x ? 1 . ∴函数 f ( x) 的单调递增区间为(-1,0)和 (1,??) ; 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 0 ? x ? 1 , ∴函数 f ( x) 的单调递减区间为 (??,?1) 和(0,1) .

(2)函数定义域为 0 ? x ? 2. f ?( x) ?

(2 x ? x 2 )? 2 2x ? x2

?

1? x 2x ? x2

.

令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 .∴函数 f ( x) 的递增区间为(0,1) ; 令 f ?( x) ? 0 ,得 1 ? x ? 2 ,∴函数 f ( x) 的单调递减区间为(1,2) . (3)函数定义域为 x ? 0, f ?( x) ? 1 ? 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

b 1 ? 2 ( x ? b )( x ? b ). 2 x x

b或x?? b .

∴函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( ??,? b ) 和 ( b ,??) ; 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? b ? x ? b 且 x ? 0 , ∴函数 f ( x) 的单调递减区间是 (? b ,0) 和 (0, b ) . 【适时导练】 2. 已知 f ? x ? ? e x ? ax ? 1 .? (1)求 f ? x ? 的单调增区间;? (2)若 f ? x ? 在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围;? (3)是否存在 a,使 f ? x ? 在 ? ??,0? 上单调递减,在 ?0, ?? ? 上单调递增?若存在,求出 a 的值;若 不存在,说明理由. 【解析】 f ? ? x ? ? e x ? a , (1)若 a ? 0 , f ? ? x ? ? e x ? a ? 0 恒成立,即 f ? x ? 在 R 上递增.? 若 a ? 0 ,由 e x ? a ? 0 得 e x ? a ,解得 x ? ln a ,∴ f ? x ? 的单调递增区间为 ? ln a, ?? ? .? (2)∵ f ? x ? 在 R 内单调递增,∴ f ? ? x ? ? 0 在 R 上恒成立.? ∴ e x ? a ? 0 ,即 e x ? a 在 R 上恒成立. ∴ a ? ? e x ?min ,又∵ e x ? 0 ,∴ a ? 0 .? (3)方法一:由题意知在(-∞,0]上恒成立.?∴ a ? e x 在(-∞,0]上恒成立. ∵ y ? e x 在(-∞,0]上为增函数.?∴x=0 时, y ? e x 最大为 1. ∴ a ? 1; 同理可知 e x ? a ? 0 在 [0, +∞) 上恒成立.∴ e x ? a 在 [0, +∞) 上恒成立.∴ a ? 1 ;

∴ a ? 1 .? 方法二:由题意知,x=0 为 f ? x ? 的极小值点.∴ f ?(0) =0,即 e0 ? a ? 0 ,∴ a ? 1 . 【例 4】已知函数 f ? x ? ? x 2 ? 【解析】 f '( x) ? 2 x ?

a ( x ? 0, a ? R) 若 f ? x ? 在 ? 2, ?? ? 是增函数,求实数 a 的范围. x

a 3 ≥0 在 ? 2, ?? ? 上恒成立 ? a ? 2 x 在 ? 2, ?? ? 上恒成立, 2 x

而 y ? 2 x3 在 ? 2, ?? ? 上的最小值为 16,故 a ? 16 . 【适时导练】 3. f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,对任意正数 a、b,若 a

<b,则必有
A.af(b) ≤bf(a) 【答案】A



) C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a)

B.bf(a) ≤af(b)

? 【解析】 xf ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 ? ? ? xf ? x ? ? ? ? 0 ? 函数 F ? x ? ? xf ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为常函数或递减,

又 0<a<b 且 f(x)非负,于是有: af ? a ? ? bf ? b ? ? 0 两式相乘得:
f (a) f (b) ? ? 0 ? af ? b ? ? bf ? a ? . a b
3 2 2



1 1 ? 2 ?0 2 a b



【例 5】已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1处有极值 10,则 f (2) ? 【解析】 f ( x) ? 3x ? 2ax ? b ? 0 ,
' 2

∴ f (1) = 2a ? b ? 3 ? 0
/

① ②

f (1) ? 1 ? a ? b ? a 2 ? 10
由①②得: ?

?a ? 4 ? a ? ?3 或? ?b ? ?11 ?b ? 3

当?

? a ? ?3 ' 2 2 时, f ( x) ? 3x ? 6 x ? 3 ? 3( x ? 1) ? 0 ,此时函数 f ( x) 无极值,舍去; ?b ? 3

当?

?a ? 4 2 时 f '( x) ? 3x ? 8 x ? 11 ,函数 f ( x) 在 x ? 1处左减右增,有极小值; b ? ? 11 ?

【适时导练】 4. 设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
3 2

(Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x ? [0, 3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围.
2

【解析】 (Ⅰ) f ?( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b ,由 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .解得 a ? ?3 , b ? 4 .
2

(Ⅱ) f ( x) ? c 在[0,3]上恒成立即 c ? f max ( x) , x ? [0, 3]
2

2

由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2 x3 ? 9 x 2 ? 12 x ? 8c , f ?( x) ? 6 x2 ? 18x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2) . 当 x ? (0, 1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (12) , 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (2, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 即 f ( x) 在 [ 0,1]上递增,[1,2]上递减,[2,3]上递增; ∴当 x ? 1 时, f ( x) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,

3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 又 f (3) ? 9 ? 8c .故当 x ? ? 0,
于是有: 9 ? 8c ? c ,解得
2

c ? ?1 或 c ? 9 ,

因此 c 的取值范围为 (??, ? 1) ? (9, ? ?) . 【例 6】已知函数 f ( x) ?

ax ? b 在点 (?1, f (?1)) 的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 . x2 ?1

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ? ln x ,求证: g ( x) ? f ( x) 在 x ? [1,??) 上恒成立. 【解析】 (Ⅰ)将 x ? ?1 代入切线方程得 y ? ?2 ∴ f (?1) ?

b?a ? ?2 ,化简得 b ? a ? ?4 , 1?1

f ?( x) ?

a( x 2 ? 1) ? (ax ? b) ? 2 x 2a ? 2(b ? a) 2b b f ?(?1) ? ? ? ? ?1 . 2 2 (1 ? x ) 4 4 2

解得: a ? 2, b ? ?2 ∴ f ( x) ? (Ⅱ)由已知得 ln x ?
2

2x ? 2 2 在 [1,??) 上恒成立化简得 ( x ? 1) ln x ? 2 x ? 2 , x2 ?1

2x ? 2 x2 ?1



即 x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ? 0 在 [1,??) 上恒成立 . 设 h( x) ? x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 , h?( x) ? 2 x ln x ? x ?
2

1 ?2 x

∵ x ?1

∴ 2 x ln x ? 0,

x?

1 ? 2 ,即 h?( x) ? 0 . x

∴ h( x ) 在 [1,??) 上单调递增, h( x) ? h(1) ? 0 ∴ g ( x) ? f ( x) 在 x ? [1,??) 上恒成立 .

【课后自我检测】

A 组
1.设函数 f ( x) 在 x 0 处可导,则 lim A. f ' ( x 0 ) 2.曲线 y ? e A.
1 x 2
2

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 等于 ?x
C. f ( x0 )





B. ? f '( x0 )

D. ? f ( x0 ) )

在点 (4,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( B. 4e
2

9 2 e 2

C. 2e

2

D. e

2

3.设函数 f ( x) ? x( x ? k )( x ? 2k )( x ? 3k ) ,且 f ?(0) ? 6 ,则 k=( A.0
3



B.-1
2

C.3

D.-6 ( D.4 . )

4. f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间 [?1,1] 上的最大值是 A. ?2
3 2

B.0

C.2

5.已知 f ( x) ? x ? x f '(1) ? x ,则 f '(2) =

6.函数 y ? f ( x) 的图象在点 P 处的切线方程是: y ? ? x ? 8 ,若点 P 的横坐标为 5,则
f (5) ? f '(5) ?

. . .

7. 曲线 y ?

1 2 和 y ? x 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是 x

8.设函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) , (a、 b、 c 是两两不等的常数) , 则 9. 函数 y=x3+x 的单调增区间为( A.(-∞,+∞) 10.若函数 f ( x) ? m cos x ? 【参考答案】 1.【答案】 B 【解析】 lim 2.【答案】 D 【解析】 y ? e
1 x 2

a b c ? ? ? f ?(a) f ?(b) f ?(c)

) C.(-∞,0) . D.不存在

B.(0,+∞)

1 ? sin 2 x 在 x ? 处取得极值,则 m ? 4 2

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f [ x0 ? (??x)] ? f ( x0 ) ? ? lim ? ? f ?( x0 ) .故选 B ? x ? 0 ?x (??x)

x 1 1 1 ? y ' ? e 2 ,则]曲线在点 (4,e 2 ) 处的切线斜率为 e2 , 2 2
2

∴切线方程为: y ? e ?

1 2 , ? 0, ?e2 ? , e ( x ? 4) ,它与坐标轴的交点分别为(2,0) 2

∴切线与坐标轴所围三角形的面积为 e ,选 D. 3.【答案】 B 【解析】 f '( x) ? ( x ? k )( x ? 2k )( x ? 3k ) + x( x ? 2k )( x ? 3k ) + x( x ? k )( x ? 3k ) + x( x ? k )( x ? 2k ) 故 f '(0) ? ?6k 3 . 又 f ?(0) ? 6 ,故 k ? ?1 . 4.【答案】 C 【解析】 f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3x( x ? 2) ,
2

2

令 f ?( x) ? 0 可得 x ? 0 或 2 (2 舍去) , 当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ?0,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ?0, 所以当 x ? 0 时,f(x)取得最大值为 2.选 C 5.【解析】 f '(1) 是常数,∴ f '( x) ? 3x ? 2 xf '(1) ? 1 ? f '(1) =3+2 f '(1) -1 ? f '(1) = -2,
2

∴ f '( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ,故 f '(2) =3.
2

6.【解析】本题没有函数表达式,但有切线方程 y ? ? x ? 8 ,注意到“切点在切线上”, ∴P(5,3) ;又“切点在曲线上”,∴ f (5) ? 3 ; 而曲线 y ? f ( x) 在点 P 处的切线斜率为 f '(5) , 即 f '(5) =-1,故 f (5) ? f '(5) =2. 7.【解析】曲线 y ?

1 2 和 y ? x 在它们的交点坐标是(1,1) , x
3 . 4

两条切线方程分别是 y=-x+2 和 y=2x-1,它们与 x 轴所围成的三角形的面积是 8.【解析】 f '( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? c)( x ? a) 代入即得 0. 9.【答案】 A 【解析】∵y′=3x2+1>0 恒成立,∴y=x3+x 在(-∞,+∞)上为增函数,没有减区间. 10.【解析】因为 f ( x) 可导,且 f ( x) ? ?m sin x ? cos 2 x ,
'

所以 f ( ) ? ?m sin
'

?

?
4

4

? cos

?
2

? 0 ,解得 m ? 0 . 1 ? sin 2 x 在 x ? 处取得极大值. 4 2

经验证当 m ? 0 时,函数 f ( x) ?

B



1. 求曲线 y ? ln ? 2 x ? 1? 上的点到直线 2x ? y ? 3 ? 0 的最短距离.?

2. 设函数 f ( x) ? ax ?

1 (a,b∈Z) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y=3. x?b

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值,并求 此定值.

3. 若 f ( x) ? ax ? x 在区间[-1,1]上单调递增,求 a 的取值范围.
3

4. 设函数 f ( x) ? ? x( x ? a) ( x ? R ) ,其中 a ? 0 ,求函数 f ( x) 的极大值和极小值.
2

5. 已知函数 f(x)=x2e-ax (a>0) ,求函数在[1,2]上的最大值.

6. 设 x=1 与 x=2 是 f ? x ? ? a ln x ? bx 2 ? x 函数的两个极值点. (1)试确定常数 a 和 b 的值; (2)试判断 x=1,x=2 是函数 f ? x ? 的极大值点还是极小值点,并求相应极值.

7.已知函数 f ? x ? ? ? x3 ? ax 2 ? bx ? c 图像上的点 P ?1, ?2 ? 处的切线方程为 y ? ?3x ? 1 . (1)若函数 f ? x ? 在 x ? ?2 时有极值,求 f ? x ? 的表达式 (2)函数 f ? x ? 在区间 ? ?2,0? 上单调递增,求实数 b 的取值范围

? 1 ,x ? 1 ? 8.设 k ? R ,函数 f ( x) ? ?1 ? x , F ( x) ? f ( x) ? kx , x ? R ,试讨论函数 F ( x) 单调性. ?? x ? 1,x ≥ 1 ?

9. 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? (Ⅰ)求函数 F ( x) 的单调区间;

a (a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . x

(Ⅱ)若以函数 y ? F ( x)( x ? (0,3]) 图像上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ? 求实数 a 的最小值;

1 恒成立, 2

10. 请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为 1 m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为 3 m 的正六棱 锥(如图所示).试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1 的距离为多少时,帐篷的体积最大? O

O1

【参考答案】 1.【解析】设曲线上过点 P(x0,y0)的切线平行于直线 2x-y+3=0,即斜率是 2, 则 y? |x ? x0 ? ? ?
1 2 2 ? ? (2 x ? 1)?? | x ? x0 ? | x ? x0 ? ? 2. 2 x ? 1 2 x ? 1 2 x ? ? 0 ?1

解得 x0=1,所以 y0=0,即点 P(1,0) , 点 P 到直线 2x-y+3=0 的距离为
2?0?3 22 ? (?1)2 ? 5,

∴曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是 5 .
1 ? 9 ? 2a ? ? 3, a? , ? ? ? a ? 1, 1 2?b ? ? 4 2.【解析】 (1) f ?( x) ? a ? ,于是 ? 解得 ? 或? 2 1 ( x ? b) ?b ? ?1, ?b ? ? 8 . ?a ? ? 0, 2 ? ? (2 ? b ) 3 ? ?

因为 a,b ? Z,故 f ( x) ? x ?

1 . x ?1

? 1 ? (2)在曲线上任取一点 ? x0 , x0 ? ?. x0 ? 1 ? ?

由 f ?( x0 ) ? 1 ?

2 ? x0 ? x0 ? 1 ? 1 1 知, 过此点的切线方程为 y ? ? ?1 ? ( x ? x0 ) . 2 ? 2 x0 ? 1 ( x0 ? 1) ? ( x0 ? 1) ?

令 x=1 得 y ?

? x ?1? x0 ? 1 ,切线与直线 x=1 的交点为 ?1, 0 ?. x0 ? 1 ? x0 ? 1 ?

令 y=x 得 y ? 2 x0 ? 1 ,切线与直线 y=x 的交点为 (2 x0 ? 1, 2 x0 ? 1) . 直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1,1) . 从而所围三角形的面积为
1 x0 ? 1 1 2 ? 1 2 x0 ? 1 ? 1 ? 2 x0 ? 2 ? 2 . 2 x0 ? 1 2 x0 ? 1

所以所围三角形的面积为定值 2. 3.【解析】? f ?( x) ? 3ax ? 1 ,又 f ( x) 在区间[-1,1]上单调递增,
2

? f ?( x) ? 3ax 2 ? 1 ? 0 在[-1,1]上恒成立, 即 a ? ?

1 在[-1,1]上恒成立, 3x 2 1 1 1 1 ? 2 在 [-1,1]的最大值为 ? ,? a ? ? .故 a 的取值范围为 [? , ??] . 3 3x 3 3
2 3 2 2

4.【解析】 f ( x) ? ? x( x ? a) ? ? x ? 2ax ? a x ,

f ?( x) ? ?3x 2 ? 4ax ? a 2 ? ?(3x ? a)( x ? a) .

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

a 或 x ? a. 3
a 3 a

由于 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?( x) 的正负如下表:
x
f ?( x)

(??, )
3

a

( ,a)
3

a
0
a 4 27
3 a ;

(a, ??)

?
a 3

0
a

?
3 3

?

因此,函数 f ( x) 在 x ?

处取得极小值 f ( ) ,且 f ( ) ? ?

函数 f ( x) 在 x ? a 处取得极大值 f (a) ,且 f (a) ? 0 . 5.【解析】∵ f ? x ? ? x 2 e? ax ? a ? 0 ? ,∴ f ?( x) ? 2 xe? ax ? x 2 ? ?a ? e? ax ? e? ax ? ?ax 2 ? 2 x ? . 令 f ?( x) >0,即 e? ax ? ?ax 2 ? 2 x ? ? 0 ,得 0 ? x ?
?a ? ?

2 .? a
a?

2 ? ? 2? ∴ f ? x ? 在 ? ??, 0 ? , ? ? ,?? ? 上是减函数,在 ? 0, ? 上是增函数.?

①当 0 ?

2 ? 1 ,即 a ? 2 时, a

f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上是减函数,∴ f ? x ?max ? f ?1? ? e? a .

②当 1 ?

2 ? 2 ,即 1 ? a ? 2 时,? a

?2? ?2 ? ? 2? f ? x ? 在 ?1, ? 上是增函数,在 ? ,2 ? 上是减函数,∴ f ? x ?max ? f ? ? ? 4a ?2 e?2 . a a ? ? ? ? ?a?

③当

2 ? 2 时,即 0 ? a ? 1 时, f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上是增函数,∴ f ? x ?max ? f ? 2 ? ? 4e?2 a .? a

综上所述,当 0 ? a ? 1 时, f ? x ? 的最大值为 4e ?2 a ;? 当 1 ? a ? 2 时, f ? x ? 的最大值为 4a?2 e?2 ;? 当 a ? 2 时, f ? x ? 的最大值为 e? a .
? a ? 2b ? 1 ? 0, ' ? a ? f ?1? ? 0 ? 6.【解析】 (1) f ' ? x ? ? ? 2bx ? 1 ,由已知得: ? ' ? ?1 x a ? 4b ? 1 ? 0, ? ? f ? 2? ? 0 ? ?2

2 ? a?? , ? ? 3 ?? ?b ? ? 1 . ? 6 ?

(2)当 x 变化时. f ' ? x ? , f ? x ? 的变化情况如表:
x

? 0,1?
?

1 0 极小值

?1, 2 ?
+

2 0 极大值

? 2, ?? ?
?

f '? x?

f ? x?

故在 x=1 处,函数 f ? x ? 取极小值 7.【解析】 f ? ? x ? ? ?3 x ? 2ax ? b ,
2

5 4 2 ;在 x=2 处,函数 f ? x ? 取得极大值 ? ln 2 . 6 3 3

因为函数 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线斜率为-3, 所以 f ?1? ? ?3 ? 2a ? b ? ?3 ,即 2a ? b ? 0 ,
'

又 f ?1? ? ?1 ? a ? b ? c ? ?2 得 a ? b ? c ? ?1 . (1)函数 f ? x ? 在 x ? ?2 时有极值,所以 f ' ? ?2 ? ? ?12 ? 4a ? b ? 0 , 解得 a ? ?2, b ? 4, c ? ?3 , 所以 f ? x ? ? ? x ? 2 x ? 4 x ? 3 .
3 2

(2)因为函数 f ? x ? 在区间 ? ?2, 0? 上单调递增, 所以导函数 f
'

? x ? ? ?3x 2 ? bx ? b 在区间 ? ?2, 0? 上的值恒大于或等于零,

则?

? ? f ' ? ?2 ? ? ?12 ? 2b ? b ? 0, 得b ? 4, ? ? f ' ? 0 ? ? b ? 0,

所以实数 b 的取值范围为 ? 4, ?? ?

? 1 ? kx, ? 8.【解析】 F ( x ) ? f ( x ) ? kx ? ?1 ? x ?? x ? 1 ? kx, ?

x ? 1, x ? 1,

? 1 ? k, 2 ? ? (1 ? x) F '( x) ? ? ?? 1 ? k , ? ? 2 x ?1
对于 F ( x) ?

x ? 1, x ? 1,

1 ? kx( x ? 1) ,当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 (??,1) 上是增函数; 1? x
1 1 ) 上是减函数,在 (1 ? ,1) 上是增函数; k k

当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 (??,1 ?

对于 F ( x) ? ?

1 ? k ( x ? 1) ,当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ?1, ?? ? 上是减函数; 2 x ?1
? ? 1 ? 1 ? ? , ?? ? 上是增函数. 上是减函数,在 ?1 ? 2 ? 2 4k ? ? 4k ?

当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ?1,1 ?

9.【解析】 (Ⅰ) F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ?

a 1 a x?a ? x ? 0? , F ' ? x ? ? ? 2 ? 2 ? x ? 0? x x x x

∵ a ? 0 ,由 F ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a, ?? ? ,∴ F ? x ? 在 ? a , ?? ? 上单调递增. 由 F ' ? x ? ? 0 ? x ? ? 0, a ? ,∴ F ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调递减. ∴ F ? x ? 的单调递减区间为 ? 0, a ? ,单调递增区间为 ? a , ?? ? . (Ⅱ) F ' ? x ? ?

x?a ? 0 ? x ? 3? , x2
x0 ? a 1 ? 1 2 ? ? x0 ? . ? ? 0 ? x0 ? 3? 恒成立 ? a ? ? ? x0 2 x0 2 ? 2 ?max

k ? F ' ? x0 ? ?

当 x0 ? 1 时, ?

1 2 1 1 1 x0 ? x0 取得最大值 .∴ a ? ,∴ amin ? . 2 2 2 2

2 2 2 10.【解析】设 OO1 为 x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为 3 ? ( x ? 1) ? 8 ? 2 x ? x (m)

于是底面正六边形的面积为 (单位: m )S ? 6 ? 帐篷的体积为(单位: m3 ) V ( x) ?

2

3 ? 4

?

8 ? 2 x ? x2

?

2

?

3 3 ?8 ? 2 x ? x 2 ? , 2

3 3 1 3 ? 3 ?8 ? 2 x ? x 2 ? ? ? 3 ? x ? 1? ? 1? ? 2 ?16 ? 12 x ? x ? . 2 ? ?

求导数得: V ?( x) ?

3 (12 ? 3x 2 ) , 2

令 V ?( x) ? 0 解得 x ? ?2 (不合题意,舍去) , x ? 2. 当 1 ? x ? 2 时, V ?( x) ? 0 , V ( x) 为增函数;当

2 ? x ? 4 时, V ?( x) ? 0 , V ( x) 为减函数.
所以当 x ? 2 时, V ( x) 最大.答当 OO1 为 2 m 时,帐篷的体积最大.

二、空间向量及其应用

【知识梳理【

1.空间向量及其加减与数乘运算; 2.共线向量与共面向量:

b(b ? 0), a // b 的充要条件是存在实数 ? 使 a ? ? b ; (1)共线向量定理:对空间任意两个向量 a、
(2)共面向量定理:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x, y ,使
???? ???? ???? ??? ? ???? ? ???? ???? MP ? xMA ? yMB 或对空间任一定点 O,有 OP ? OM ? xMA ? yMB .

?? ?

?

? ?

?

?

3.空间向量基本定理:如果三个向量 ,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序 ....a, b, c 不共面 ... 实数组 x、y、z,使 p ? xa ? yb ? zc .其中 a , b, c 叫做空间的一个基底, a, b, c 都叫做基向量. 推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P, 都存在唯一的有序实数组 x、y、z, 使
??? ? ??? ? ??? ? ???? OP ? xOA ? yOB ? zOC (这里隐含 x+y+z≠1).
? ? ? ? ?

? ? ?

??

?

? ? ?

?

? ? ?

4.两个向量的数量积

? ? ? ? ? ? ? ? (1)向量 a, b 的数量积: a ? b ? a b cos a, b ;

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 (2)向量的数量积的性质:① a?e ? a cos a, e ( e 是单位向量) ;② a ? b ? a ? b ? 0 ;③ a ?
(3)向量的数量积满足如下运算律:
? ? ? ? ①交换律: a ? b ? b ? a ; ? ? ? ? ? ? ②与实数相乘的结合律 (? ? a ) ? b ? ? (a ? b) = a ? (? b) ;

?2 a .

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③分配律: a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c . 注:向量的数量积不满足结合律即 a ? (b ? c) ? (a ? b) ? c
5.空间向量的坐标运算: 设 a =(a1,a2,a3) , b ? (b1 , b2 , b3 ) ,则 ① a ? b ? ( a 1 ? b 1 , a 2 ? b 2 , a 3 ?b 3 ) ; ② ? a ? (? a 1 , ? a 2 , ? a 3 )(? ? R ) ; ③ a ? b ? a 1b 1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3 ; ④ a ∥ b ? a 1 ? ? b 1 , a 2 ? ? b 2 , a 3 ? ? b 3 (? ? R ) ? ⑤ a ? b ? a 1b 1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3 ? 0 ; ⑥ a ? a ? a ? a1 2 ?a2 2 ?a3 2 ; (常用到向量的模与向量之间的转化: a

?

?

? ? ?

? ?

?

?

a1 a 2 a 3 ? ? ; b1 b 2 b 3

?

?

?

? ?

?

2

? ? ? ? ? ? a?a ? a ? a?a )

⑦ cos ? a , b ?? ?

? ?

? ? | a |?|b |

? ? a ?b

a1b1 ? a 2 b2 ? a 3 b3
2 a1 2 2 2 2 ? a2 ? a3 ? b12 ? b2 ? b3



⑧设 A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 , y2 , z2 ) ? ( x1 , y1 , z1 ) = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) , 这就是说,一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去始
??? ? ??? ? ??? ? 点的坐标. 则 d AB ? AB ? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 , 这就是空间两点间的距离公式.

??? ? ??? ? ??? ?

6. 法向量: 若向量 a 所在直线垂直于平面 ? , 则称这个向量垂直于平面 ? , 记作 a ? ? , 如果 a ? ? , 那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量. 7. 三垂线定理: (1)斜线在平面内的射影:从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过斜足和垂足的直线叫做斜线 在这个平面内的射影.注:垂线段比任何一条斜线段短. (2)三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这 条斜线垂直. 即
a ? ? ? PA ? ? ? ? ? ? a ? OP. a ? OA, OA ? ? ?

?

?

?

?

三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条 斜线的射影垂直.即
a ? ? ? PA ? ? ? 垂足为A? ? ? a ? OA. a ? OP, O ? ? , OP ? ? ?

【方法归纳】
1. 法向量的用法: ①利用法向量可求点到平面的距离:如图,设 n 是平面 ? 的法向量,AB 是平面 ? 的一条斜线,其

?

??? ? ?? ? ? ??? ? | AB ? n | 中 A ?? ,则点 B 到平面 ? 的距离为 ??? . (实质是 AB 在法向量 n 方向上的投影的绝对值) |n|

②利用法向量可求二面角的平面角: 设 m , n 分别是二面角 ? ? l ? ? 中平面 ? , ? 的法向量, 则 m, n 所 成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小.
?? ? ?? ? ?? ? m?n m?n ?? ? ?? ? ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量). 二面角 ? ? l ? ? 的平面角 ? ? arc cos 或 ? ? arc cos | m || n | | m || n |

?? ?

?? ?

2.计算问题: 空间角的计算步骤:一作、二证、三算; 异面直线所成的角的范围: 0? ? ? ? 90? ; 直线与平面所成的角的范围: 0? ? ? ? 90? ; 二面角 ? 的范围: 0? ? ? ? 180? ,二面角的求法:①定义法;②三垂线定理及其逆定理;③垂面法. 注:二面角的计算也可利用射影面积公式 S′=Scosθ 来计算.

课堂精讲例题
【例 1】如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设 AA1 =a, AB =b, AD =c,M,N,P 分 别是 AA1 , BC, C1 D1 的中点,试用 a,b,c 表示以下各向量: (1) AP ;(2) A1 N ;(3) MP + NC1 .

【解析】 (1)∵ P 是 C1 D1 的中点, ∴ AP = AA1 + A1 D1 + D1 P =a+ AD + (2)∵ N 是 BC 的中点, ∴ A1 N = A1 A + AB + BN =-a+b+ (3)∵ N 是 AA1 的中点,
???? ???? ??? ? 1 1 1 1 1 ∴ MP ? MA ? AP = A1 A + AP =- a+(a+c+ b)= a+ b+c,

1 1 1 D1 C1 =a+c+ AB =a+c+ b. 2 2 2

1 1 1 BC =-a+b+ AD =-a+b+ c . 2 2 2

2 2 2 2 1 1 1 又 NC1 = NC + CC1 = BC + AA1 = AD + AA1 = c+a, 2 2 2 ???? 1 1 1 3 1 3 ∴ MP + NC1 =( a+ b+c)+(a+ c) = a+ b+ c. 2 2 2 2 2 2
【适时导练】

2

1.在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2),B(1,-3,1),点 M 在 y 轴上,且 M 到 A 与到 B 的距离相等,则 M 的坐标是________. 【答案】 (0,-1,0)

【解析】设 M (0, y,0) ,由 1 ? y ? 4 ? 1 ? (?3 ? y) ? 1 ,可得 y ? ?1 ,故 M (0, ?1, 0) .
2 2 2

2. 已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点, (1)求证:E、F、G、H 四点共面; (2)求证:BD∥平面 EFGH; (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点,求证:对空间任一点 O,有 OM =

1 ( OA + OB + OC + OD ). 4

【解析】(1)连接 BG,则 EG = EB + BG = EB +

1 ( BC + BD )= EB + BF + EH = EF + EH , 2

由共面向量定理的推论知: E、F、G、H 四点共面. (2)因为 EH = AH - AE =

1 1 1 1 AD - AB = ( AD - AB )= BD , 2 2 2 2

所以 EH∥BD. 又 EH ? 平面 EFGH, BD ? 平面 EFGH, 所以 BD∥平面 EFGH. (3)连接 OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG. 由(2)知 EH =

1 1 BD ,同理 FG = BD , 所以 EH = FG ,即 EH ∥ FG, 2 2

所以四边形 EFGH 是平行四边形.所以 EG,FH 交于一点 M 且被 M 平分. 故 OM = ( OE + OG ) =

1 1 1 1 1 1 1 OE + OG = [ ( OA + OB ) ]+ [ ( OC + OD ) ] 2 2 2 2 2 2 2 1 = ( OA + OB + OC + OD ). 4

【例 2】 (1)求与向量 a=(2,-1,2)共线且满足方程 a· x=-18 的向量 x 的坐标; (2)已知 A、B、C 三点坐标分别为(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),求点 P 的坐标使得 AP =

1 ( AB - AC ); 2

(3) 已知 a= (3,5,-4) ,b= (2,1,8) ,求:①a· b;②a 与 b 夹角的余弦值;③确定 ? ,

(a+b)=53. ? 的值使得 ? a+ ? b 与 z 轴垂直,且( ? a+ ? b)· 【解析】 (1)∵x 与 a 共线,故可设 x=ka,由 a· x=-18 得 a· ka=k|a|2=k( 4 ? 1 ? 4 )2=9k, ∴9k=-18,故 k=-2.∴x=-2a=(-4,2,-4). (2) 设P (x,y,z) ,则 AP = (x-2,y+1,z-2) , AB = (2,6,-3) , AC = (-4,3,1) ,
??? ? 1 ??? ? ???? ∵ AP ? AB ? AC , 2

?

?

∴(x-2,y+1,z-2)= [ (2,6,-3)-(-4,3,1) ]= (6,3,-4)=(3,

1 2

1 2

3 ,-2), 2

?x ? 2 ? 3 ?x ? 5 ? ? 3 1 1 ? ? ∴ ?y ?1 ? ,解得 ? y ? ,∴P 点坐标为(5, ,0). 2 2 2 ? ? ? ? ? z ? 2 ? ?2 ?z ? 0
(3)①a· b=(3,5,-4)· (2,1,8)=3× 2+5× 1-4× 8=-21.
2 2 2 ②∵|a|= 3 ? 5 ? ( ?4) =5 2 ,|b|= 2 ? 1 ? 8 = 69 ,

2

2

2

∴cos〈a,b〉=

7 138 7 138 a ?b =.∴a 与 b 夹角的余弦值为. a b 230 230

③取 z 轴上的单位向量 n=(0,0,1) ,a+b=(5,6,4). 依题意 ?

? ?? ?a ? ? b ? ? n ? 0, ? ?? ?a ? ? b ? ? ? a ? b ? ? 53,

即?

? ?? 3? ? 2? ,5? ? ? , ?4? ? 8? ? ? ? 0, 0,1? ? 0, ? ?? 3? ? 2? ,5? ? ? , ?4? ? 8? ? ? ? 5, 6, 4 ? ? 53,

?? ? 1, ??4? ? 8? ? 0, ? 故? 解得 ? 1 ?? . ?29? ? 48? ? 53, ? ? 2
【适时导练】 1. 已知六面体 ABCD—A′B′C′D′是平行六面体. (1)化简
? 2 ??? ? 1 ???? ??? AA? ? BC ? AB ,并在图上标出其结果; 2 3
3 分点,设 4

( 2 ) 设 M 是 底 面 ABCD 的 中 心 , N 是 侧 面 BCC′B′ 对 角 线 BC′ 上 的
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ???? M N? ? A B ?? AD ? ? ?A A ,试求 ? , ? , ? 的值.

【解析】 (1)如图所示:

取 AA′的中点 E,则

1 2 AA? = EA? .在 D′C′上取点 F,使 D?F = D?C ? , 2 3 2 2 AB = D?C ? = D?F . 3 3

因为 AB = D?C ? ,所以 又 BC = A?D? ,从而 (2) MN = MB + BN =
1 2

1 2 AA? + BC + AB = EA? + A?D? + D?F = EF . 2 3

1 3 1 3 ( BC + CC ? ) DB + BC ? = ( DA + AB )+ 2 4 2 4 3 4 1 1 3 AB + AD + AA? , 2 4 4

= (- AD + AB )+ ( AD + AA? )= 可见, ? = , ? = , ? = .
1 2 1 4 3 4

【例 3】已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC= AB,N 为 AB 上一点,AB=4AN, M,S 分别为 PB,BC 的中点. (Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

1 2

【解析】设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x,y,z 轴正向 建立空间直角坐标系如 图.

则 P(0,0,1) ,C(0,1,0) ,B(2,0,0) ,M(1,0, N(

1 ) , 2

1 1 ,0,0) ,S(1, ,0) 2 2 ???? ? ??? ? 1 1 1 (Ⅰ) CM ? (1, ?1, ), SN ? (? , ? , 0) , 2 2 2 ???? ? ??? ? 1 1 因为 CM ? SN ? ? ? ? 0 ? 0 ,所以 CM⊥SN . 2 2 ???? 1 (Ⅱ) NC ? (? ,1, 0) ,设 a=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量, 2
1 ? x ? y ? z ? 0, ? ? 2 令x ? 2,得a=(2,1,-2). 则? ?? 1 x ? y ? 0. ? ? 2 1 ?1 ? ??? ? 2 ? 2 ,所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45° 因为 cos a, SN ? . 2 2 3? 2

【课后自我检测】
1.设平面 ? 的法向量为(1,2,-2),平面 ? 的法向量为(-2,-4,k),若 ? ∥ ? ,则 k= 2.已知直线 l 的方向向量为 v,平面 ? 的法向量为 u,则 v· u=0,l 与 ? 的关系是 3.向量 a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论不正确的是 ①a∥b,b⊥c ,②a∥b,a⊥c,③a∥c,a⊥b. . . .

4.已知 a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若 c 与 a 及 b 都垂直,则 m,n 的值分别为 .

5. 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a , M , N 分别为 A1B 和 AC 上的点, A1M=AN=
2a ,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是 3

.

6. 如图,二面角 ? ? l ? ? 的大小是 60° ,线段 AB ? ? . B ? l , AB 与 l 所成的角为 30° .则 AB 与平 面 ? 所成的角的正弦值是 .

?
? B

?A
?

7. 正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中, BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为(



A.

2 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

6 3
C1 B1

D1 A1 D A O

C B

8. 如图,在三棱锥 O ? ABC 中,三条棱 OA , OB , OC 两两垂直,且 OA > OB > OC ,分别经过 三条棱 OA , OB , OC 作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为 S1 , S 2 , S 3 ,则 S1 , S 2 ,

S 3 的大小关系为

.

9.如图,在五面体 ABCDEF 中,FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE,AB ? AD,M 为 EC 的中点, AF=AB=BC=FE=

1 AD 2

(I)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (II)证明平面 AMD ? 平面 CDE;

(III)求二面角 A-CD-E 的余弦值.

10. 如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形, MD ? 平面ABCD NB ? 平面ABCD , 且 MD=NB=1,E 为 BC 的中点. (1)求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值; (2)在线段 AN 上是否存在点 S,使得 ES ? 平面 AMN?若存在,求线段 AS 的长;若不存在,请 说明理由.

【参考答案】 1.【答案】 4 2.【答案】 l∥ ? 或 l ? ? 3.【答案】 ①② 4.【答案】 -1,2 5.【答案】 平行 6.【答案】

3 4

【解析】过点 A 作平面 β 的垂线,垂足为 C,在 β 内过 C 作 l 的垂线.垂足为 D 连结 AD, 由三垂线定理可知 AD⊥l,故∠ADC 为二面角 ? ? l ? ? 的平面角,为 60° , 又由已知,∠ABD=30° .连结 CB,则∠ABC 为 AB 与平面 ? 所成的角.

设 AD=2,则 AC= 3 ,CD=1, AB=

AD =4, sin 300

∴sin∠ABC=

AC 3 . ? AB 4

?
? B
7.【答案】D 【解析】设上下底面的中心分别为 O 1 , O ; D

?A
C
?

O 1 O 与平面 AC D1 所成角就是 B B1 与平面 AC D1 所成角,
cos ?O1OD1 ?
8.【答案】 S3 ? S2 ? S1 【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力,通过补形,借助长方体验证结论,特殊化, 令边长为 1,2,3 得 S3 ? S2 ? S1 . 9.【解析】建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点. 设 AB ? 1 依题意得 B?1 , 0, 0?, C ?1, 1, 0?, D?0, 2, 0?, E ?0, 1, 1?, F?0, 0, 1?, M? , 1, ?. ,

O1O OD1

? 1/

3 2

?

6 3

.

?1 ?2

1? 2?

BF ? ?? 1, 0, 1?, DE ? ?0, ? 1, 1?, (Ⅰ) 解:

于是 cos BF, DE ?

BF ? DE BF DE

?

0 ? 0 ?1

1 ? . 2? 2 2
0

所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60 .

0, 1?, AD ? ?0, 2, 0?,可得CE ? AM ? 0 , 1, ?, CE ? ?? 1, (Ⅱ)由AM ? ? ,
CE ? AD ? 0.因此,CE ? AM,CE ? AD.又AM ? AD ? A,故CE ? 平面AMD.

?1 ?2

1? 2?

而CE ? 平面CDE,所以平面AMD ? 平面CDE.
(Ⅲ) 解:设平面CDE 的法向量为u ? ( x,y,z ),则?

? ?u ? CE ? 0, ? ?u ? DE ? 0.

?? x ? z ? 0, 于是? 令x ? 1,可得u ? (1, 1, 1 ) . ? ? y ? z ? 0.
又由题设,平面 ACD 的一个法向量为 v ? (0, 0, 1).

所以, cos u,v ?

u ? v 0 ? 0 ?1 3 ? ? . uv 3 3 ?1

10.【解析】 (1)如图,以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标 D ? xyz

依题意,得 D(0, 0, 0) A(1, 0, 0) M (0, 0,1), C (0,1, 0), B(1,1, 0), N (1,1,1), E ( ,1, 0) .

??? ? ???? ? 1 ? NE ? (? , 0, ?1), AM ? (?1, 0,1) 2 ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? NE ?AM 10 ? ???? ? ?? ? cos ? NE , AM ?? ???? , 10 | NE | ? | AM |
所以异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值为

1 2

10 . 10

(2)假设在线段 AN 上存在点 S ,使得 ES ? 平面 AMN .

???? ??? ? ???? ? AN ? (0,1,1) ,可设 AS ? ? AN ? (0, ? , ? ),
又 EA ? ( , ?1, 0),? ES ? EA ? AS ? ( , ? ? 1, ? ) .

??? ?

1 2

??? ?

??? ? ??? ?

1 2

??? ? ???? ? ? 1 ? ? ES ?AM ? 0, ?? ? ? ? 0, 由 ES ? 平面 AMN ,得 ? ??? 即? 2 ? ???? ? ? ES ?AN ? 0, ? ?(? ? 1) ? ? ? 0.
故? ?

??? ? ? 1 1 ??? 2 1 ,此时 AS ? (0, , ),| AS |? . 2 2 2 2 2 时, ES ? 平面 AMN . 2

经检验,当 AS ?

故线段 AN 上存在点 S ,使得 ES ? 平面 AMN ,此时 AS ?

2 . 2


高二数学(秋下)第7讲-期末考试导数与空间向量

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高二下学期第一次月考理科数学试题(空间向量、导数)

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高二函数与导数、空间向量期末复习

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高二数学(秋下)课程说明

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高二下学期月考理科(空间向量、导数)

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高二数学(秋下)第6讲-空间向量及其应用

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高二函数与导数、空间向量期末复习

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高二理科测试(空间向量、必修三、导数第一节)

高二(理科)数学空间向量... 4页 免费 高二下学期月考理科(空间向... 7页...高二理科测试(空间向量、必修三、导数第一节)一、选择题 A.1 个 bc 1.空间...