nbhkdz.com冰点文库

常见递推数列通项的九种求解方法


常见递推数列通项的九种求解方法
高考中的递推数列求通项问题,情境新颖别致,有广度,创新度和深度,是高考的热点之一。是一类考查思 维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理,找到数列的通项公式,为此介绍几种常见递推数列通项公式的求 解方法。

类型一: an?1 ? an ? f (n) ( f ? n ? 可以求和)累加法
例 1、在数列 ?

an ? 中,已知 a1 =1,当 n ? 2 时,有 an ? an?1 ? 2n ?1 ? n ? 2 ? ,求数列的通项公式。 解析:? an ? an?1 ? 2n ?1(n ? 2)

? a2 ? a1 ? 1 ? a ?a ?3 3 2 ? ? a4 ? a3 ? 5 ?? ? ? ? ? an ? an ?1 ? 2n ? 1 ?
∴ an ? a1 ? n2 ?1

上述 n ? 1 个等式相加可得:

? an ? n2

评注:一般情况下,累加法里只有 n-1 个等式相加。 【类型一专项练习题】 1、已知 a1 ? 1 , an ? an?1 ? n ( n ? 2 ) ,求 an 。 2、已知数列 ?an ? , a1 =2, an ?1 = an +3 n +2,求 an 。

, 3、已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1 a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。
4、已知 {an } 中, a1 ? 3, an?1 ? an ? 2 n ,求 an 。 5、已知 a1 ?

1 ?1? * , an ?1 ? an ? ? ? (n ? N ) ,求数列 ?a n ? 通项公式. 2 ?2?
n?1

n

6、 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? 3

? an?1 ? n ? 2? , 求通项公式 an ?

7、若数列的递推公式为 a1 ? 3, an?1 ? an ? 2 ? 3n?1 (n ? N * ) ,则求这个数列的通项公式 8、 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3n ? 1 a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。 , 9、已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n

, 3, ,且 a1,a2,a3 成公比不为1 的等比数列. 10、数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1 2,? )
(I)求 c 的值; (II)求 ?an ? 的通项公式.

11、设平面内有 n 条直线 (n ≥ 3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用 f (n) 表示 这 n 条直线交点的个数,则 f (4) ? ;

当 n ? 4 时, f (n) ?

(用 n 表示) .

n( n ? 1 ) n(3n ? 1) 答案:1. an ? 2. an ? 2 2

3 ?1? 3. an ? n ? 1 4. an ? 2 ? 1 5. an ? ? ? ? 2 ?2?
2 n

n ?1

3n ? 1 6. an ? 2

7. an ? 12 ? 3n?1

8. an ? 3n ? n ?1

9. an ?

3 1 ? 10.(1)2 (2) an ? n2 ? n ? 2 2 n

11.(1)5 (2)

n2 ? n ? 2 2

类型二: an?1 ? f (n) ? an ( f (n) 可以求积)累积法
例 1、在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1, 有 nan?1 ? ? n ? 1? an ,( n ? 2 )求数列 ?an ? 的通项公式。 解析: an ?

an an?1 an?2 a3 a2 ? ? ? ? ? a1 an?1 an?2 an?3 a2 a1

n n ?1 n ? 2 3 2 2 ? ? ? ? ?1 ? n ?1 n n ?1 4 3 n ?1 2 又? a1 也满足上式;? an ? n ?1 ?

(n ? N * )

评注:一般情况下,累积法里的第一步都是一样的。 【类型二专项练习题】

n ?1 an ?1 ( n ? 2 ),求 an 。 n ?1 2 n a n ,求 an 。 2、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? 3 n ?1 n an ,且 a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式. 3、已知 {an } 中, an ?1 ? n?2 3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 4、已知 a1 ? 3 , a n ?1 ? 3n ? 2
1、 已知 a1 ? 1 , an ? 5、已知 a1 ? 1 , an ? n(an?1 ? an ) (n ? N * ) ,求数列 ?a n ? 通项公式. 6、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2n an ,求通项公式 an ? 7、已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2(n ? 1)5n ? a n,a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。 8、已知数列{an},满足 a1=1, an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 (n≥2),则{an}的通项 9、设{an}是首项为 1 的正项数列, 且(n + 1)a 2 ?1 - na 2 +an+1·an = 0 (n = 1, 2, 3, …),求它的通项公式. n n
2 10、数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1 , S n = n an (n ? N*) ,求数列 {a n } 的通项公式.
n2 ? n 2

2 2 答案:1. an ? 2 2. an ? n ?n 3n

4 3. an ? n ? ? n ? 1?

6 4. an ? 3n ? 1

5. an ? n

6. an ? 2

7. an ? 3 ? n!? 2

n?1

?5

n2 ? n 2

?1 n ?1 ? 8. an ? ? n ! ?2 n?2 ?

9. an ?

1 n

10. an ?

2 n ?n
2

类型三:待定常数法 an ?1 ? Aan ? B (其中A,B为常数A ? 0,1)
可将其转化为 an?1 ? t ? A(an ? t ) , 其中 t ? 可。 例1 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,有 an ? 3an?1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

B , 则数列 ?an ? t? 为公比等于 A 的等比数列, 然后求 an 即 A ?1

解析:设 an ? t ? 3? an?1 ? t ? ,则 an ? 3an?1 ? 2t

? t ? 1 ,于是 an ?1 ? 3? an?1 ?1? ??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,以 3 为公比的等比数列。

? an ? 2 ? 3n?1 ?1
【类型三专项练习题】 1、 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 2、若数列的递推公式为 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 2(n ? N * ) ,则求这个数列的通项公式

1 a + 1 (n ? 2) 求通项 a n . 2 n?1 1 1 4、在数列 {an } (不是常数数列)中, an ?1 ? an ? 2 且 a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式. 2 3
3、已知数列{a n }中,a 1 =1,a n = 5、在数列{an}中, a1 ? 1, an?1 ? 3 ? an ? 1, 求 an . 6、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式. 7、设二次方程 an x - an+1. x+1=0(n∈N)有两根α 和β ,且满足 6α -2α β +6β =3. (1)试用 an 表示 a n?1 ; (2)求证:数列 ? an ? (3)当 a1 ?
2

? ?

2? ? 是等比数列; 3?

7 时,求数列 ?an ? 的通项公式 6
3 a , 2 ? 2, 并且 Sn?1 ? 3Sn ? 2Sn?1 ? 1 ? 0(n ≥ 2) , 试判断 ?an ? 1? (n ?N? ) 2

S 8、 在数列 ?an ? 中, n 为其前 n 项和, a1 ? 若

是不是等比数列? 答案:1. an ? 3n ? 2 2. an ? 2 ? 2n?1 3. an ? 2 ? 21?n 4. an ? 4 ?

11 1? n 1 ? 3n ?1 ?2 5. an ? 3 2

1 1 2 ?1? 6. an ? 2 ? 1 7.(1) an ?1 ? an ? (3) an ? ? ? ? 8.是 2 3 3 ?2?
n

n

类型四: Aan?1 ? Ban ? Can?1 ? 0; ?其中A,B,C为常数,且A ? B ? C ? 0?
可将其转化为 A? an?1 ? ? an ? ? ? ? an ? ? an?1 ?? n ? 2? -----(*)的形式,列出方程组 ? 还原到(*)式,则数列 ?an?1 ? ? an ? 是以 a2 ? ? a1 为首项, 以求出 an 。 例1 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a2 ? 4 ,且 an?1 ? 3an ? 2an?1 ? n ? 2 ? 求数列 ?an ? 的通项公式。 解析:令 an?1 ? ? an ? ? (an ? ? an?1 ),(n ? 2) 得方程组 ?

? A ?? ? ? ? B ,解出 ? , ? ; ? ?? ?? ? C

? 为公比的等比数列,然后再结合其它方法,就可 A

? ? ?? ? 3 ?? ? ? ? ?2

解得 ? ? ?1, ? ? 2;

?an?1 ? an ? 2 ? an ? an?1 ?? n ? 2?
则数列 ?an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 为首项,以 2 为公比的等比数列

?an?1 ? an ? 2 ? 2n?1 ? 2n
? a2 ? a1 ? 2 ? a ? a ? 22 ? 3 2 ? ? ? a4 ? a3 ? 23 ? ? ? ?an ? an ?1 ? 2n ?1 ?

? an ? a1 ?

2 ( 1 n21 ) n ? ? * ? 2 ? 2 ? an ?2n ? n ? N ? 1? 2

评注:在 Aan?1 ? Ban ? Can?1 ? 0; 其中A,B,C为常数,且A ? B ? C ? 0 中,若 A+B+C=0,则一定可以构造 ?an?1 ? an ? 为等比数列。 例2 已知 a1 ? 2 、 a2 ? 3 , an?1 ? 6an?1 ? an (n ? 2) ,求 an

?

?

解析:令 an?1 ? ? an ? ? ? an ? ? an?1 ?? n ? 2? ,整理得 an?1 ? ? ? ? ? ? an ? ?? an?1

? ? ? ? ? ?1 ?? ? ?? ? 6

?? ? 3 ,? ? 2

an ?1 3 an 9 ? ? , 2n ?1 2 2n 4 a 3 9 3 3 5 令 n ? bn ,? bn ?1 ? bn ? 令 bn ?1 ? t ? ? ? bn ? t ? ,得 bn ?1 ? bn ? ? t n 2 2 4 2 2 2

an?1 ? 3an ? ? a2 ? 3a1 ? ? 2n?1 ? 9 ? 2n?1 ;两边同除以 2 n?1 得,

5 9 ?? t ? , 2 4
故 ?bn ?

∴t ? ?

9 9 3? 9? ? bn?1 ? ? ? ? bn ? ? , 10 10 2? 10 ?

? ?

9 a1 9 1 3 9? ? 是以 b1 ? ? ? ? 为首项, ? 为公比的等比数列。 10 2 10 10 2 10 ?
n ?1

9 1 ? 3? ? bn ? ? ? ? ? 10 10 ? 2 ?


9 1 ? 3? , bn ? ? ?? ? 10 10 ? 2 ?

n ?1

an 2
n

?

9 1 ? 3? ? ?? ? 10 10 ? 2 ?

n ?1

,得 an ?

9 n 1 n ?1 ? 2 ? ? ?3? 10 5

【类型四专项练习题】 1、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ? 2、 已知 a1=1,a2=

2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3

5 5 2 , an?2 = an ?1 - an ,求数列{ an }的通项公式 an . 3 3 3

3、已知数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,?), a1 ? 1 , ⑴设数列 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列; ⑵设数列 c n ?

an , (n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列; 2n

⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。 an ? 2n?1 ? 3(n ?1) ? 2n?2 ; sn ? 3n ?1) ? 2n ? 2 ( 4、数列 ?an ? : 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 1, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b ,求数列 ?an ? 的通项公式。

3 ? ? 1? 答案:1. an ? 1 ? ?1 ? ? ? ? 4 ? ? 3? ?

n ?1

n ? ?2? n?1 n ?2 n ( ? 2. an ? 3 ? 3 ? ? 3.(3) an ? 2 ? 3(n ?1) ? 2 ; sn ? 3n ?1) ? 2 ? 2 3? ? ? ?

?2? 4. an ? 3b ? 2a ? 3(a ? b) ? ? ?3?

n ?1

类型五: an?1 ? pan ? f (n) ( p ? 0 且 p ? 1 )
一般需一次或多次待定系数法,构造新的等差数列或等比数列。 例1 设在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?

1 an ?1 ? 2n ? 1? n ? 2 ? 求数列 ?an ? 的通项公式。 2

解析:设 bn ? an ? An ? b

? an ? An ? B ?

1 ? an ?1 ? A ? n ? 1? ? B ? ? 2?

? A ? 2 ?2?0 ? A ? ?4 ? ?? 展开后比较得 ? ? A ? B ?1 ? 0 ? B ? 6 ?2 2 ?
1 bn ?1 ? n ? 2 ? 且bn ? an ? 4n ? 6 2 1 ??bn ? 是以 3 为首项,以 为公比的等比数列 2
这时 bn ?

?1? ?bn ? 3 ? ? ? ?2?
例2

n ?1

即 3? ? ?

?1? ?2?

n ?1

?1? ? an ? 4n ? 6 ,? an ? 3 ? ? ? ?2?

n ?1

? 4n ? 6

在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an ? 2an?1 ? 2n?1 ? n ? 2? 求数列 ?an ? 的通项公式。
n?1

解析:?an ? 2an?1 ? 2

? n ? 2?
an an ?1 a ?a ? ? n ?1 ? 2 ? ? n ? 是以 1 =1 为首项,2 为公差的等差数列。 n n 2 2 2 ?2 ?

? an ? 2an?1 ? 2n?1 ,两边同除以 2n 得
?
例3

an ? 1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1 2n

即 an ? 2n ? 2n ?1?
n

在数列 ?an ? 中, a1 ? 5 , an ? 2an?1 ? 2 ? 1 n ? 2, n ?

?

N

*

? 求数列 ?a ? 的
n

通项公式。 解析:在 an ? 2an?1 ? 2n ?1 中,先取掉 2 ,得 an ? 2an?1 ?1
n

令 an ? ? ? 2 ? an?1 ? ? ? ,得 ? ? ?1 ,即 an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) ; 然后再加上 2 得 ? an ?1? ? 2 ? an?1 ?1? ? 2
n

n



? an ?1? ? 2 ? an?1 ?1? ? 2n

两边同除以 2 ,得

n

an ? 1 an ?1 ? 1 a ?1 ? a ? 1? ? n ?1 ? 1; ? ? n n ? 是以 1 ? 2 为首项,1 为公差的等差数列。 n 2 2 2 ? 2 ?

?

an ? 1 ? 2 ? ? n ? 1? ? n ? 1, 2n

?an ? 2n ? n ?1? ?1

评注:若 f ( n) 中含有常数,则先待定常数。然后加上 n 的其它式子,再构造或待定。

例4

已知数列 {a n } 满足 a n ? 1 ? 3a n ? 5 ? 2 n ? 4,a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。
n
n

解析:在 an?1 ? 3an ? 5 ? 2 ? 4 中取掉 5 ? 2 待定 令 an?1 ? t ? 3? an ? t ? ,则 an?1 ? 3an ? 2t ? 2t ? 4 ,

t ? 2 ;?an?1 ? 2 ? 3? an ? 2? , 再加上 5 ? 2n 得,

?an?1 ? 2 ? 3? an ? 2? ? 5 ? 2n ,整理得:


an ? 2 3 5 ? bn ,则 bn ?1 ? bn ? n 2 2 2

an ?1 ? 2 3 an ? 2 5 ? ? , 2n ?1 2 2n 2

3 3 t t 5 t ? 5; ? bn ? t ? , bn ?1 ? bn ? ;? ? , 2 2 2 2 2 a ?2 3 13 3 ? 5 ? 为首项, 为公比的等比数列。 即 bn ?1 ? 5 ? ? bn ? 5 ? ;? 数列 ?bn ? 5? 是以 b1 ? 5 ? 1 2 2 2 2
令 bn ?1 ? t ?

13 ? 3 ? ? bn ? 5 ? ? ? 2 ?2?

n ?1

a ?2 13 ? 3 ? ,即 n n ? 5 ? ? ? 2 2 ?2?

n ?1

;整理得 an ? 13 ? 3n?1 ? 5 ? 2n ? 2

类型 5 专项练习题: 1、设数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2、已知数列 ?an ? 中, a1 ?

4 1 2 an ? 2n ?1 ? ? n ? 1, n ? N * ? ,求数列 ?an ? 的通项公式。 3 3 3

1 , 点 ? n, 2an?1 ? an ? 在直线 y ? x 上,其中 n ? 1, 2,3??. 2

(1) 令 bn ? an?1 ? an ?1, 求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (2) 求数列 ?an ? 的通项 ; 3、已知 a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 2n?1 ,求 an 。 4、设数列 ?an ? : a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an . 5、已知数列 {a n } 满足 a1 ? 2, an?1 ? 2an ? (2n ?1) ,求通项 a n 6、在数列 中, ,求通项公式 。 7、已知数列 ?an ? 中, a1 ?

5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2
n

8、已知数列{a n } a 1 =1, n∈N ? ,a n?1 = 2a n +3 ,

,求通项公式 a n .

9、已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 3n ? 1 a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。 , 10、若数列的递推公式为 a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2 ? 3n?1 (n ? N? ) ,则求这个数列的通项公式 11、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2n?1 ,求 an . 12、 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n , a 1 ? 2 ,求数列 {a n } 的通项公式。 13、已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5 n ,a 1 ? 6 ,求数列 {a n } 的通项公式。 14、 已知 a1 ? 1 , an ? ?an?1 ? 2
n?1

,求 an 。
n

15、 已知 {an } 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 2 (n …2) ,求 an . 16、已知数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,?), a1 ? 1 , ⑴设数列 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列;

⑵设数列 c n ?

an , (n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列; 2n

⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。 答案:1. an ? 4n ? 2n 2.(2) an ? 5. an ? 5 ? 2n?1 ? 2n ?1 6. an ?
n

3 ? n ? 2 3. an ? 4n ? 2n 4. an ? 4 ? 3n?1 ? n ?1 n 2
n

9 ?2? 7. an ? ?2 ? ? n 2 ?3?

8. an ? 3n ? 2n 9. an ? (2n ? ) ? 3 ?
n

5 6

1 2

10. an ? 3 ( ? 2n) 11. an ? 5 ? 3n?1 ? 2n?1 12. an ? (3n ?1) ? 2n?1 13. an ? 5n ? 2n?1

7 3

2n ? 1 1? ? 14. an ? 15. an ? 2n ? n ? ? 16.(3) an ? 2n?1 ? 3(n ?1) ? 2n?2 ; sn ? 3n ?1) ? 2n ? 2 ( 3 2? ?

类型六: an?1 ?
例1

c ? an ( c ? p ? d ? 0 )倒数法 pan ? d 2 ? an ,求 an 。 2an ? 1

已知 a1 ? 4 , an ?1 ?

解析:两边取倒数得:

1 1 1 1 ? ? 1 ,设 ? bn , 则 bn ?1 ? bn ? 1 ; 2 an ?1 2an an

令 bn ?1 ? t ?

1 b ?2 1 (bn ? t ) ;展开后得, t ? ?2 ;? n ?1 ? ; 2 bn ? 2 2 1 1 7 ? 2 ? ? 为首项, 为公比的等比数列。 2 a1 4
n ?1

??bn ? 2? 是以 b1 ? 2 ?
? 7 ?? 1 ? ?bn ? 2 ? ? ? ?? ? ? 4 ?? 2 ?
n ?1

1 ? 7 ?? 1 ? ;即 ? 2 ? ? ? ?? ? an ? 4 ?? 2 ?

,得 an ?

2n ?1 ; 2n ? 2 ? 7

评注:去倒数后,一般需构造新的等差(比)数列。 【类型六专项练习题】 : 1、若数列的递推公式为 a1 ? 3,

1 1 ? ? 2(n ? ? ) ,则求这个数列的通项公式。 an ?1 an

2、已知数列{ a n }满足 a1 ? 1, n ? 2 时, a n?1 ? a n ? 2a n?1 a n ,求通项公式 a n 。 3、已知数列{an}满足: an ?

an?1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? an?1 ? 1
an , 求 an . an ? 3

4、设数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?1 ?

5、已知数列{ a n }满足 a1=1, a n ?1 ?

3a n ,求 a n 3a n ? 6

6、在数列 {an } 中, a1 ? 2, an ?1 ?

3an ,求数列 {an } 的通项公式. an ? 3
2a n an ? 2

7、若数列{a n }中,a 1 =1,a n?1 = 答案:1. an ?

n∈N ? ,求通项 a n .

3 1 1 2 1 2. an ? 3. an ? 4. an ? 5. an ? n n ?1 7 ? 6n 2n ? 1 3n ? 2 2 ? 3 ?1 2 ?1 6 2 6. an ? 7. an ? 2n ? 1 n ?1

类型七: Sn ? f (an )
例1

解决方法 ???? a ?
1 2
n?2

n

(n ? 1) ?s ?? 1 ? sn ? sn ?1 (n ? 2)

已知数列 ?an ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ?

.

?1? 求 an?1 与 an 的关系;

(2)求通项公式 an .

解析: ?1? 1? n ? 1时, a1 ? s1 ? 4 ? a1 ? 2 ,得 a1 ? 1 ;

2? n ? 2 时, an ? sn ? sn ?1 ? 4 ? an ?
(2)在上式中两边同乘以 2
n?1

1 2
n?2

? 4 ? an ?1 ?

1 2
n ?3

;得 an ?1 ?

1 1 an ? n 。 2 2

得 2n?1 an?1 ? 2n an ? 2 ;

?数列 2 n an 是以 21 a1 ? 2 为首项,2 为公差的等差数列;

?

?

?2n an ? 2 ? 2n ? 2 ? 2n ;得 an ?
【类型七专项练习题】 :

n 。 2n ?1
*

1、数列{an}的前 N 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn (n ? N ) .求数列{an}的通项 an。 2、已知在正整数数列 {an } 中,前 n 项和 Sn 满足 S n ?
n

1 (an ? 2) 2 ,求数列 {an } 的通项公式. 8

3、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn = 3 – 2, 求数列{an}的通项公式.
1 4、设正整数{an}的前 n 项和 Sn = (a n ? 1) 2 ,求数列{an}的通项公式. 4
3 5、如果数列{an}的前 n 项的和 Sn = a n ? 3 , 那么这个数列的通项公式? 2

6、已知无穷数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn ,并且 an ? Sn ? 1(n ? N * ) ,求 ?a n ? 的通项公式? 答案:1. an ? 3n?1 2. an ? 4n ? 2 3. an ? ?

(n ? 1) ?1 4. an ? 3n?1 5. an = 2·3 6. an ? 2?n n ?1 ?2 ? 3 (n ? 2)

类型八:周期型

例 1、若数列 ?an ? 满足 a n ?1

1 ? ?2a n , (0 ? a n ? 2 ) 6 ? ?? ,若 a1 ? ,则 a 20 的值为___________。 7 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n ? n 2 ?

解析:根据数列 ?an ? 的递推关系得它的前几项依次为:

6 5 3 6 5 3 6 , , , , , , ?? ;我们看出这个数列是一个周期数列,三项为一个周期; 7 7 7 7 7 7 7 5 ? a20 ? a2 ? . 7
评注:有些题目,表面看起来无从下手,但你归纳出它的前几项后,就会发现规律,出现周期性,问题就迎刃而 解。 【类型八专项练习题】 : 1、已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 = ( )
3 2

A.0

B. ? 3

C. 3

D.

2、在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 5, an?2 ? an?1 ? an , 求a1998. 答案:1.B 2.-4

类型九、利用数学归纳法求通项公式
例1 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ?

(2n ? 1) ? 1 8(n ? 1) 8 ,a 1 ? ,求数列 {a n } 的通项公式。 an ? 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3) (2n ? 1)2
2

解析:根据递推关系和 a1 ?

8 24 48 , a3 ? ,?? 得, a2 ? 9 25 49

所以猜测 an ?

(2n ? 1)2 ? 1 ,下面用数学归纳法证明它; (2n ? 1)2 (2k ? 1)2 ? 1 , (2k ? 1)2

1? n ? 1 时成立(已证明) 2? 假设 n ? k (k ? 2) 时,命题成立,即 ak ?

则 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? ak ?

8 ? k ? 1? (2k ? 1) 2 ? 1 8(k ? 1) ? = 2 2 2 2 2 (2k ? 1) (2k ? 1) (2k ? 3) ? 2k ? 1? ? 2k ? 3?

=

16k 4 ? 64k 3 ? 84k 2 ? 44k ? 8

? 2k ? 1? ? 2k ? 3?
2

2

? 2k ? 1? ?? 2k ? 3? ? 1? ?? 2k ? 3? ? 1? ? ??? ?。 ? 2 2 2 ? 2k ? 1? ? 2k ? 3? ? 2k ? 3?
2 2 2

? n ? k ? 1 时命题成立;
由 1? 2? 可知命题对所有的 n ? N 均成立。评注:归纳、猜想数学归纳法证明是我们必须掌握的一种方法。
*

【类型九专项练习题】 : 1.设数列 ?an ? 满足: an?1 ? an ? nan ? 1,且 a1 ? 2 ,则 an 的一个通项公式为?
2

2.已知 ?an ? 是由非负整数组成的数列,满足 a1 ? 0 , a2 ? 3 , an?1 ? an ? (an?1 ? 2)(an?2 ? 2) (n=3,4,5…) 。 (1)求 a3 ; 2(2)证明 an ? an?2 ? 2 (n=3,4,5…)(3)求 ?an ? 的通项公式及前 n 项的和。 ; ; 3.已知数列 ?an ? 中 a1 = (1)

3 an , an ?1 ? 。 5 2an ? 1 计算 a2 , a3和a4 。 (2)猜想通项公式 an ,并且数学归纳法证明。

?n ? 1 答案:1. an ? n ? 1 2.(1)2 (3) an ? ? ?n ? 1
3.(1)

? n2 ? n ? 2 ? (n为奇数) ? sn ? ? 2 2 (n为偶数) ?n ? n ? 2 ?

(n为奇数) (n为偶数)

3 3 3 3 ; ; (2) an ? 11 17 23 6n ? 1

递推数列的通项公式的求法,虽无固定模式,但也有规律可循;主要靠观察分析、累加、累积、待定系数法, 或是转化为等差或等比数列的方法解决;再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法来解决,同学们应归纳、 总结它们的规律,通过练习,巩固掌握它。


常见递推数列通项的九种求解方法

1 常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题,情境新颖别致,有广度,创新度和深度,是高考的热点之一。是一类考查思 维能力的好题。要求考生进行...

学生用常见递推数列通项的九种求解方法

学生用常见递推数列通项的九种求解方法 隐藏>> 高中数学复习 第三章 数列 第二讲 等比数列 数列通项的求法 基本知识回顾(请认真填写,时间 15 分钟) 1.等比数...

常见递推数列通项的九种求解方法

常见递推数列通项的九种求解方法 常见递推数列通项的九种求解方法 九种高考中的递推数列求通项问题,情境新颖别致,有广度,创新度和深度,是高考的热点之一。是一类...

递推数列的通项公式求解九种方法

递推数列的通项公式求解九种方法_数学_高中教育_教育专区。求数列通项有用!求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的...

常见递推数列通项的求解方法

常见递推数列通项的求解方法高考中的递推数列求通项问题,情境新颖别致,有广度,创新度和深度,是 高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的...

递推数列求通项的常用方法

递推数列求通项的常用方法_数学_高中教育_教育专区。递推数列求通项的几种类型 浙江省黄岩中学高一数学 命题:王海田 审核:王诚 求递推数列通项公式的常用方法一...

九类常见递推数列求通项公式方法

九类常见递推数列求通项公式方法_高一数学_数学_高中教育_教育专区。递推数列通项求解方法类型一: 类型一: an+1 = pan + q ( p ≠ 1 )思路 1(递推法...

九类常见递推数列求通项公式方法

九类常见递推数列求通项公式方法_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 九类常见递推数列求通项公式方法_数学_高中教育_教育专区。...

常见递推数列通项的求解方法

常见递推数列通项的九种求... 11页 免费 常见递推数列通项公式的求... 9页 20财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请...