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高一数学对数函数1


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第二十三课时
【学习导航】

对数函数(1)

( 3 ) 过 点 (1, 0) , 即 当

x ? 1 时, y ? 0
(4)在 (4)在(0, (

0, ??) + ∞)上是增 上是减函 函数 数 3. 对数函数的图象与指数函数的图象 关于直线 y ? x 对称。 画对数函数 y ? log a x (a ? 0, a ? 1) 的图象, 可 以通过作 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 关于直线 y ? x 的轴对称图象获得, 但在一般情况下, 要画给定 的对数函数的图象, 这种方法是不方便的。 所以 仍然要掌握用描点法画图的方法, 注意抓住特殊 点(1,0)及图象的相对位置。 4. 指 数 函 数 y ? a x (a ? 0,a ? 1)与 对 数 函 数

知识网络
定义 定义域 值域

对 数 函 数

图象 性质 应用

学习要求
1.要求了解对数函数的定义、图象及其性 质以及它与指数函数间的关系。 2.了解对数函数与指数函数的互为反函数, 能利用其相互关系研究问题,会求对数函数 的定义域; 3.记住对数函数图象的规律,并能用于解 题; 4.培养培养学生数形结合的意识用联系的 观点研究数学问题的能力。

自学评价
1. 对数函数的定义: 函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 叫做对数 函数(logarithmic function), 定义域是 (0, ??) 思 考 : 函 数 y ? l oa x g 与 函 数 值域之 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的定义域、 间有什么关系? 2. 对数函数的性质为

y ? loga x (a ? 0, a ? 1) 称为互为反函数。
指数函数的定义域和值域分别是对数函数的值 域和定义域。 5.一般地,如果函数 y ? f ( x) 存在反函数,那 么它的反函数,记作 y ? f
?1

( x)

思考: 互为反函数的两个函数的定义域和值域有 什么关系? 原函数的定义域和值域分别是反函数的值域和 定义域。

【精典范例】
0 ? a ?1
例 1:求下列函数的定义域 (1) y ? log0.2 (4 ? x); ; (2) y ? loga

a ?1

x ?1 (a ? 0, a ? 1). ;
2

(3) y ? log(2 x?1) (?x ? 2x ? 3)

x ?1
图 象

x ?1

y ? loga x

(4) y ? log 2 (4 x ? 3) [分析]: 此题主要利用对数函数 y ? loga x 的定 义域 (0, ??) 求解。

x ?1
y ? loga x

(1, 0)

(1)由 4 ? x ? 0 得 x ? 4 , ∴函数的 y?log 4x 定 ) 义域是 0 . 2 (?

(?? , 4 ; )
性 (1)定义域: (0, ??) 质 (2)值域: R
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(2)由 x ? 1 ? 0 得 x ? 1 , ∴函数 y ? loga

x ?1 (a ? 0, a ? 1).

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的定义域是 x x ? 1

?

?

取值范围; 【解】 (1)当 a ? 1 时 y ? log a x 在 (0, ??) 上是

?2 x ? 1 ? 0 ? (3) ? 2 x ? 1 ? 1 得 ?? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ?
1 ? x ? 1或1 ? x ? 3 2 ∴ 函 数 y ? log 的定义 ?x2 ? 2 x ? 3) ( 2x? 1 ) (
域是 ( ,1)

单调增函数, log a

4 ? log a a 5

?a ?

1 2

(1,3)
得 4x ? 3 ? 1

(4)由 log 2 (4 x ? 3) ? 0

∴ x ? 1 ,函数 y ? log 2 (4 x ? 3) 的定义域 是 [1, ??) 例 2:利用对数函数的性质,比较下列各组 数中两个数的大小: (1)log2 3.4 ,log2 3.8 ; (2)log 0.5 1.8 ,

4 ?a ?1 5 当 0 ? a ? 1 时 y ? log a x 在 (0, ??) 上是单调减 4 函数, log a ? log a a 5 4 4 ?0 ? a ? ?0 ? a ? 5 5 4 综上所述: a 的取值范围为 (0, ) (1, ??) 5 (2)当 2a ? 3 ? 1 ,即 a ? ?1 时 由 1 ? 4a ? (2a ? 3)2 , 解得:

log0.5 2.1 ; (3) log7 5 , log6 7 ; (4) log2 3 , 3 log4 5 , 2 【解】 (1)对数函数 y ? log 2 x 在 (0, ??)
上是增函数, 于是 log 2 3.4 ? log2 3.4 ; (2) 对数函数 y ? log0.5 x 在 (0, ??) 上是减 函数, 于是 log 0.5 1.8 ? log 0.5 2.7 ; (3) .∵ log6 7 ? log6 6 ? 1 ,

?2 ? 2 ? a ? ?2 ? 2 ∴ ?1 ? a ? ?2 ? 2 3 当 0 ? 2a ? 3 ? 1 ,即 ? ? a ? ?1 时 2 2 由 0 ? 1 ? 4a ? (2a ? 3) , 解得:

a ? ?2 ? 2 ,此时无解。 综上所述: a 的取值范围为 (?1, ?2 ? 2)
点评:本题的关键是利用对数函数的单调性解不 等式,一定要注意对数函数定义域。

追踪训练一
1.求函数 y ? log 2 (2 x ? 1) 的定义域,并画出函 数的图象。 2. 比较下列各组数中两个值的大小: (1) log2 3.4 , log2 8.5 ; (2) (3)

log7 5 ? log7 7 ? 1 , log6 7 ? log7 5 ; 3 (4)∵ log 2 3 ? log 4 9 , ? log 4 8 2 而 log4 5 ? log4 8 ? log4 9 3 ∴ log4 5 ? ? log2 3 (1) 2
点评 : 本例是利用对数函数的增减性比较 两个对数的大小,当不能直接进行比较时, 可在两个对数中间插入一个已知数 (如 1 或 0) ,间接比较上述两个对数的大小。 例 3 若 log a

log0.3 1.8 , log 0.3 2.7 ; loga 5.1 , loga 5.9 .
0.9

(4) 1.1 , log1.1 0.9 , log 0.7 0.8 3.解下列方程: (1) 3
3 x ?5

? 27

(2) 2

2x

? 12

(3) log5 (3x) ? log5 (2 x ? 1) (4) lg x ?1 ? lg( x ?1) 4.解不等式: (1) log5 (3x) ? log5 (2 x ? 1)

4 ? 1 (a ? 0 且 a ? 1) ,求 a 的 5

取值范围 (2) 已知 log(2a?3) (1 ? 4a) ? 2 , 求a的
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(2) lg( x ? 1) ? 1 答案:1.略 2. (1) log 2 3.4 ? log 2 8.5 (2) log0.3 1.8 ? log 0.3 2.7 (3)当 a ? 1 时, loga 5.1 ? loga 5.9 , 当 o ? a ? 1 时, loga 5.1 ? loga 5.9 (4) 1.1
0.9

? log0.7 0.8 ? log1.1 0.9

2 1 (2) x ? (2 ? log 2 3) 3 2 (3) x ? 1 (4) x ? 2
3. (1) x ? ? 4. (1) (0,1) (2) (1,11)

学生质疑

教师释疑

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。 ? 3? 评注: 解含有对数符号的不等式时, 必须注意对数的底数是大于 1 还是小于 1, 然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答。理解会用以下几个结论很有...