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解数学题的常用方法


解数学题的常用方法
1、特殊值法
用具体的数替代式子中的字母,从而解决问题,这种方法称为特殊值法。特殊值法主要用在选择题和填 空题。 例 1 选择题 ①化简 ? ab2 (b<0)的结果正确的是( A、 b ? a B、 ? b a ②下列运算正确的( A、 a 2 ? ?? a ?
2



B、 a

3 ? ?? a ?

C、 b a )

D、 ? b ? a
3

C、 ? a 2 ?| ?a 2 | D、 a 3 ?| a 3 | ③已知 a 是非零实数,则下列不等式一定成立的有( ) a 2 ? 1 ? 1 , 1 ? a 2 ? 0 , 1 ? 1 ? 1 , a ? 1 ≥2,|a-1|≤|a|+1 a a A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 例 2 已知关于 x 的一次函数 y=ax-a+1 和 y=(a-1)x-a+2,它们的图象交点是 。 有些解答题使用特殊值法是不合适的。 2 2 例 3 请你说明不论 a 取何值,代数式 2(a-1) -(a-5)(a-3)-(a+2) 的值总是-17。 2 2 错解:取 a=0,原式=2-15-4=-17,所以不论 a 取何值,代数式 2(a-1) -(a-5)(a-3)-(a+2) 的值总 是-17 特殊值法使用不当也会造成错误。 例 4 已知非零实数 x、y 满足 x ? xy ? 2 y ? 0 ,则 x = 。 y 错解:取 x=4,y=1,则原式=4。

2、特殊位置法
有些几何题的结果不受某些元素的位置所影响,我们可以将这样的元素移动到较为特殊的位置,从 而求出结果,这种方法称为特殊位置法。特殊位置法往往适合于选择题和填空题。 例 5 如图△ABC 中,AB=AC,∠A=30°,AB=2,D 是 BC 上任意一点,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F,那么 DE+DF= 。 例 6 如图△ABC 中,AC=BC=1,∠ACB=90°,D 在 AB 上,E 在 BC 上,DC=DE, EF⊥AB 于 F。那么 DF= 。

3、特殊图形法
有些几何题的结果不受某些图形的形状所影响, 我们可以将这样的图形 变化成特殊图形,从而求出结果,这种方法称为特殊图形法。特殊图形法往 往适合于选择题和填空题。 例 7 如图△ABC 中, ∠A=60°, BE、 CE 分别是∠ABC 和∠ACD 的平分线, 则∠E 的度数是


A E B D

4、排除法
在 n 种可能的结果中,有 n-1 种的可能被排除了,从而找到了正确的结果, 这种解题方法叫做排除法。

C

例 8 如图 Rt△ABC 中,E 在斜边上,D、F 分别在 AC、BC 上,四边形 CDEF 是正方形。若 AC=b,BC=a, 那么正方形的边长是( ) A、 ab
a?b C、 2 ab 2 a ?b

B、 ab

a ?b D、 a ? b ab

例 9 如图是六个面分别涂有红、黄、蓝、紫、绿、白六种颜色的一模一样的两个正六 面体,那么你可以知道一定相对的两个颜色是 。

1

5、面积法
利用面积计算或面积的关系来解决非面积的问题,这种方法称为面积法。经验告诉我们,凡是求垂 线段的长度或解决垂线段的关系往往可以用面积法,另外还可以用面积法解决线段相等的证明。 例 10 如图△ABC 中,AB=AC,CH 是高,D 是 BC 上任意一点,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F, 请说明 DE+DF=CH。

例 11 如图矩形 ABCD 中,AB=4,BC=6,E 为 BC 的中点。求 D 到 AE 的距离 DF。

例 12 如图△ABC 中,PA、PB 分别平分∠BAC 和∠ABC,PH⊥AB,垂足为 H, 已知∠C=90°,BC=3,AC=4,求 PH 的长。

C P A H B

6、画图法
画图法指的是在函数问题中利用函数图象来解决问题的一种方法。 例 13 已知直线 y=-2x+4 与直线 y=3x-n 的交点在第二象限,求 n 的取值范围。

例 14 直线 y=kx+b 过点(2,-4) ,且与坐标轴围成的三角形是等腰三角形,求其解析式。

7、计算法
某些几何问题虽然没有具体的数据,但可以设某些元素的量为单位 1(或用字母表示) ,通过对一些 角度、线段长度、面积等的计算来解决,这种方法称为计算法。 例 15 如图,AB 是⊙O 的直径,l1,l2 是⊙O 的两条切线,且 l1∥AB∥l2,若 P 是直线 l1 上一点,直线 S PA、 PB 交 l2 于点 C、 D, 设⊙O 的面积为 S1, △PCD 的面积为 S2, 则 1 = S2 ( ) (A)π (B)

?
2

(C)

?
4

(D)

?
8

例 16 如图 D 在等腰三角形 ABC 的底边 BC 上,E 在 AC 上,AE=AD, 请你说明∠BAD=2∠EDC。

8、列举法
有些数学问题因为它可能的结果不是很多,我们就可以通过一一列举将它们全 部列举出来,然后验证哪些是满足题设条件的。这样解决问题的方法叫做列举法。 例 17 有一个两位数,十位数字比个位数字的 2 倍小 1,将两个数字对调位置后,所得的两位数比原数 小 27,求原两位数。

例 18 用 21 根火柴摆成一个等腰三角形,火柴不折断,一共可以摆出几种等腰三角形?

2

9、列表法
列表有两个好处,其一是显示数量关系,其二是便于搜索有用的信息。 例 19 如图,1 条直线最多将圆分成 2 部分,2 条直线最多将圆分成 4 部分,3 条直线最多将圆分成 7 部分,4 条直线最多将圆分成 11 部分,问 10 条直线最多将圆分成几部分?

例 20 北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台,北京厂可支援外地 100 台,上海厂可支援外地 40 台,现在决定给重庆 80 台,汉口 60 台.假定每台计算机的运费是:北京厂运到汉口需 400 元,运到 重庆需 800 元;上海厂运到汉口需 300 元,运到重庆需 500 元。求出总运费最低的调运方案,最低总运 费是多少元?

10、运动法(极端原理)
通过对某些几何图形的运动,达到解决问题的目的,这种方法称为运动法。运动法尤其在求某个变 量的取值范围时显示出其强大的优点。 例 21 如图四边形 ABCD 中,AB=4,BC=7,CD=2,AD=x,求 x 的取值范围。

例 22 等腰梯形 ABCD 的周长为 12, 一个底角为 60°, 设较大的底边为 x, 那么 x 的取值范围是 。

11、构造法
为了解决问题,需要重新构筑模型,编造出对我们有利的情景。这种方法叫做构造法。 例 23 如图△ABC 中,∠ABC=90°,AB=BC=AE,∠EAB=30°,求∠ECB 的度数。

例 24 如图△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,D、E 在 BC 上,∠DAE=45°,请你说明 DE =BD +EC 。

2

2

2

12、实验法
还有一些数学问题可以通过实验,也就是进行动手操作,从中寻找问题的本质,发现问题的结果。 这种方法称为实验法。 例 25 如图 AE、BE 分别平分∠DAC 和∠DBC,∠D=60°,∠C=30°,则∠E 的度数是 。

例 26 如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=


3

例 27 如图,把一个正方形纸片三次对折后沿虚线剪下,则剩下的部分展开后的图形是(

)

沿虚线剪开

A

B

C

D

例 28 印制一本书,为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数,可按如下方法操作:先将一张整版的 纸对折一次为 4 页,再对折一次为 8 页,连续对折三次为 16 页,……;然后再排页码.如果想设计一本 16 页的毕业纪念册,请你按图 1、图 2、图 3(图中的 1~16 表示页码)的方法折叠,在图 4 中填上按这种 折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码.

例 29 大家都玩过七巧板吧,今天让你玩一玩四巧板。将一个正方形硬纸板按如图的方法分成一样的直 角三角形,这样的四个三角形能拼成 种不同的梯形; 种不同的平行四边形(正方形不算) 。 例 30 如图,一张长方形纸条,长 20cm,宽 2cm,每次都沿 45°的斜线折叠,三次折叠后有 CD=ED, 2 号袋 1 号袋 那么 AB= cm。

3 号袋 图3 例 31 图 3 是一个经过改造的台球桌面的示意图,图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.如果一 个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多反射) ,那么该球最后将落入的球袋是 ( ) A.1 号袋 B.2 号袋 C.3 号袋 D.4 号袋 例 32 将如图所示的圆心角为 90°的扇形纸片 AOB 围成圆锥形纸帽, 使扇形的两条半径 OA 与 OB 重 4 号袋 合(接缝粘贴部分忽略不计) ,则围成的圆锥形纸帽是( )

13、反面考虑问题法 例 33 已知直线 y=-(a+1)x-a+2(a≠-1)过第三象限,求 a 的取值范围。 例 34 28 个人进行拳击对抗赛 (每场输的人退出比赛) , 到最后决出冠军为止, 一共需要进行几场比赛? 例 35 (1)10 个人中选 9 个有几种选法? (2)圆上有 10 个点,以其中 8 个点为顶点作八边形,一共有 例 36 将一个正方体表面展开,至少要剪开几条棱? 个八边形。`

14、重叠法
例 37、如图 4,正方形的边长为 20,以边长为直径,画 4 个半圆,求阴影部分的面积(精确到 0.1)

4

例 38、如图 5,等腰△ABC 中,高 AD=4cm,底边 BC=6cm,以 AD 为直径画圆,分别以 BD、CD 为直径画半 圆,求图中阴影部分的面积。

例 39、如图 6,正方形 ABCD 的边长为 8cm,分别以 AB、AD 为直径画半圆,求图中两个阴影部分面积的 差的绝对值。

例 40、如图 7,△ABC 中,∠ACB=90 度,D、E 在 AB 上,AE=AC,BD=BC,求∠DCE 的度数。

例 41、如图 8 是某零件的平面图,图中每个角都是直角,图中的 8 条线段分别用 8 个小写字母表示,为 了测量这个图形的周长,只需测量图中 8 条线段中的哪几条?

例 42、在 57 个非零有理数中,正整数有 3 个,整数的个数比正数的个数的 2 倍少 6 个,负分数的个数 比正数的个数的 3 倍少 6 个,求正数有几个。

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