四川省2014届高三“联测促改”活动数学文试题

四川省 2014 届高三“联测促改”活动 数学文试题
一、选择题： 1.集合 A ? {x ? ? ? x ? 4}, B ? {x ? x ? 3} ，则 A ? B ? A. [2, 4) 【答案】 ：C B. [3, ??) C. [3, 4) D. [2,3)

5 的共扼复数是 i?2 A. 2 ? i B. ?2 ? i C. 2 ? i 【答案】 ：B
2.复数

D. ?2 ? i

3.为了解某地区的中小学生的课业负担情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先 已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差 异不大。在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 【答案】 ：C 4.为了得到函数 y ? 3sin(2 x ?

?

) 的图象，只需把函数 y ? 3sin( x ? ) 图象上的所有点 5 5
B.横坐标伸长到原的 2 倍，纵坐标不变 D.横坐标缩短到原的

?

A.纵坐标伸长到原的 2 倍，横坐标不变 C.纵坐标缩短到原的 【答案】 ：D 5.“ a ? b ”是“

1 倍，横坐标不变 2

1 倍，纵坐标不变 2

1 1 ? ”成立的 a b
B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要的条件

A.充分不必要条件 【答案】 ：D

6.若 e1 , e2 是夹角为 60°的两个单位向量，则 a ? 2e1 ? e2 与 b ? ?3e1 ? 2e2 的夹角为 A. 30° B. 60° 【答案】 ：C C. 120° D. 150°

?? ?? ?

?

? ? ? ? ?

?

? ?

? ? ?

?5 x ? 3 y ? 15 ? 7.已知 x,y 满足约束条件 ? y ? x ? 1 ，设 M，m 分别为目标函数 z=3x+5y 的最大、最小值，则 M– ?x ? 5y ? 3 ?
m，为 A. 9 B. 11 C. 17 D. 28

【答案】 ：D

·1 ·

8.某算法程序框图如图所示，若 a ?

1 3 , b ? 33 , c ? log 2 3 ，则输出的结果是 2

开始 输入a,b,c 是

a ≥b ?
否 否

否

a≥c?
是 输出a

b≥c?
是 输出b

输出c 结束

a?b?c 3 【答案】 ：D
A.

B. a

C. b

D. c

9.已知△ABC 的周长为 2 ? 1 ，且 sin A ? sin B ? 2 sin C .若△ABC 的面积为 小为 A. 30° 【答案】 ：B B. 60° C. 90° D. 120°

1 sin C ,则角 C 的大 6

10.过抛物线 x2 ? 4 y 的焦点作直线 l 交抛物线于 A,B 两点，分别过 A,B 作抛物线的切线 l1 , l2 , 则 l1 与 l2 的交点 P 的轨迹方程是 A. y ? ?1 【答案】 ：A 二、填空题： 11.函数 y ? 2 ? 2 的最小值为
x ?x

B. y ? ?2

C. y ? x ? 1

D. y ? ? x ? 1

【答案】 ：2 12. log36 9 ? log6 12 ? 【答案】 ：2 13.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是一个直径为 1 的 圆，那么这个几何体的表面积为

·2 ·

正视图

侧视图

俯视图

【答案】 ：

3? 2
2 2 2 2

14.圆 C1 ： x ? y ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 与圆 C2 ： x ? y ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 的公共弦长等于 【答案】 ：2 5

.

15. 在 直 角 坐 标 系 中 ， 定 义 两 点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 之 间 的 “ 直 角 距 离 ” 为

d (P, Q) ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? 。现有下列命题：
①若 P, Q 是 x 轴上两点，则 d ( P, Q) ?? x1 ? x2 ? ； ②已知 P (1,3)，Q( sin
2

? ,cos2 ? ) ( ? ? R )，则 d(P,Q)为定值；
2 ; 2

③原点 O 到直线 x ? y ? 1 ? 0 上任一点 P 的直角距离 d (O, P)的最小值为

④设 A(x,y)且 x ? Z , y ? Z ，若点 A 是在过 P (1,3)与 Q(5,7)的直线上，且点 A 到点 P 与 Q 的“直角距 离”之和等于 8，那么满足条件的点 A 只有 5 个. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号) 【答案】 ：①②④ 三、解答题： 16.(12 分)为了解某校学生参加某项测试的情况，从该校学生中随机抽取了 6 位同学，这 6 位同学的 成绩(分数)如茎叶图所示. ⑴求这 6 位同学成绩的平均数和标准差; ⑵从这 6 位同学中随机选出两位同学分析成绩的分布情况，求这两位同学中恰有一位同学成绩低于 平均分的概率.

7 8 9

学生成绩 6 6 8 8 2 6
·3 ·

【解析】 ：⑴这 6 位同学的成绩平均效为 x ?
2

1 6 ? xn ? 81 6 n ?1

1 6 1 又 s ? ? ( xn ? x) ? (52 ? 52 ? 32 ? 32 ? 12 ? 152 ) ? 49 6 n?1 6
2

故这 6 位问学成绩的标准差为 s=7……………….6 分 ⑵从 6 位同学中随机选取 2 位同学，包含的基本事件空间为(76,76)、(76,78)、 (76,78)、(76,82)、(76,96)、(76,78)、(76,78)、(76,82)、(76,96)、(78,78)、 (78,82) 、(78,96)、(78,82) 、 (78,96)、(82,96)15 个基本事件。其中括号内数字分别表示 2 位同学的成绩. 记“选出的 2 位问学中，恰有 1 位同学的成绩低于平均分”为事件 A，则事件 A 包含的基 本事件为(76,82)、(76,96)、(76,82)、(76,96) 、(78,82) 、(78,96)、(78,82) 、(78,96)共 8 8 个基本事件，则 P ( A) ? 。 15 8 故从 6 位同学中随机选取 2 位同学， 恰有 1 位同学的成绩低于平均分的概率为 。 ……..12 15
分 17.( 12 分)已知向量 a ? (1, m), b ? (cos x,sin x) ，函数 f ( x) ? a ? b ? 2 . ⑴设 m ? 1 ，x 为某三角形的内角，求 f ( x) ? ?1 时 x 的值; ⑵设 m ? 3 ，当函数 f ( x ) 取最大值时，求 cos2x 的值。 【解析】 ：由题可知， f ( x) ? m sin x ? cos x ? 2 ，

?

?

? ?

⑴当 m ? 1 时， f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 ，

? ∵ f ( x) ? ?1 ? sin x ? cos x ? 1 ? 2 sin( x ? ) ? 1 4

? 2 ∴ sin( x ? ) ? 4 2
∵ x 为三角形的内角，∴ x ?

?
4

?

? ⑵当 m ? 3 时， f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? 2 ? 2sin( x ? ) ? 2 ， 6 ? 当且仅当 sin( x ? ) ? 1 时，函数 f ( x)max ? 0 。 6 ? ? ? 此时 x ? ? 2k? ? (k ? Z ) ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 6 2 3
·4 ·

3? ? ? x ? ……………….6 分 4 2

? 2? 1 ? ? …………….12 分 ∴ cos 2 x ? cos[2(2k? ? )] ? cos 3 3 2
18.( 12 分)学校餐厅每天供应 500 名学生用餐，每星期一有 A, B 两种菜可供选择。调查表明，凡是在 这星期一选 A 菜的，下星期一会有

1 3 改选 B 菜;而选 B 菜的，下星期一会有 改选 A 菜。用 an , bn 分 5 10

别表示第 n 个星期选 A 的人数和选 B 的人数. ⑴试用 an?1 (n ? N*, n ? 2) 表示 an ，判断数列 {an ? 300} 是否成等比数列并说明理由; ⑵若第一个星期一选 A 神菜的有 200 人，那么第 10 个星期一选 A 种菜的大约有多少人? 【解析】 ：⑴由题知，对 n ? N * 有 bn ? 500 ? an ,

所以当 n ? N * 且 n ? 2 时, 4 3 1 1 an ? an ?1 ? (500 ? an ?1 ) ? an ? an ?1 ? 250 ? an ? 300 ? (an ?1 ? 300) 5 10 2 2 ∴当 a1 ? 300 时,{ an ? 300 }不是等比数列； 当 a1 ? 300 时， { an ? 300 }是以 a1 ? 300 为首项， 1 为公比的等比数列……………(7 分) 2 ⑵当 a1 ? 200 时， 1 100 100 an ? 300 ? ( ) n ?1 (a1 ? 300) ? an ? 300 ? n ?1 ? a10 ? 300 ? 9 ? 300 2 2 2 ∴第 10 个星期一选 A 种菜的大约有 300 人。…………..12 分
19.(12 分)已知四债铁 P-ABCD 中， PB⊥平面 ABCD， 底面 ABCD 是直角梯形, ∠ABC= ∠BCD=90°， PB=BC=CD=

1 AB. Q 是 PC 上的一点. 2

⑴求证：平面 PAD⊥面 PBD; ⑵当 Q 在什么位置时，PA∥平面 QBD?

P Q D A
1 AB, 2
2

C B

【解析】 ：⑴∵∠ABC=∠BCD=90°，BC=CD=
2 2

设 BC=1，则 AD=BD= 2 ，∴ AD ? BD ? AB ? AD ? BD 又 PB⊥平面 ABCD.∴PB⊥AD 又因为 BD，PB 在平面 PBD 内，且 BD 与 PB 相交， ∴AD⊥平面 PBD 又 AD ? 面 PAD， 所以平面 PAD⊥平面 PBD。…………………6 分
·5 ·

⑵当 PQ=2QC 时，PA∥平面 QBD,证明如下，连结 AC 交 BD 于点 O，连接 OQ, ∵2CD=AB,CD∥AB,∴AO=2OC 过 PA 的平面 PAC ? 平面 QBD=OQ, ∵PA∥平面 QBD,∴AP∥OQ,∴PQ=2QC.???????12 20.(13 分)定义在实数集上的函数 f ( x) ? x ? x, g ( x) ?
2

1 3 x ? 2x ? m 。 3

⑴求函数 f ( x ) 的图象在 x ? 1 处的切线方程; ⑵若 f ( x) ? g ( x) 对任意的 x ? [?4, 4] 恒成立，求实数 m 的取值范围。 【解析】 ：⑴∵ f ( x) ? x2 ? x ,当 x ? 1 时， f (1) ? 2 ∵ f '( x) ? 2 x ? 1 ? f '(1) ? 3 ∴所求切线方程为 y ? 2 ? 3( x ? 1) ? 3x ? y ? 1 ? 0 。……….(4 分) ⑵令 h( x) ? g ( x) ? f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x ? m ? h '( x) ? ( x ? 3)( x ? 1) 3

∴当 ?4 ? x ? ?1 时， h '( x) ? 0 ； 当 ?1 ? x ? 3 时， h '( x) ? 0 ； 当 3 ? x ? 4 时， h '( x) ? 0 ； 要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立，即 h( x)max ? 0 . 由上知 h( x) 的最大值在 x ? ?1 或 x ? 4 取得.

5 20 5 5 , h(4) ? m ? ? m? ? 0? m? ? 3 3 3 3 5 ∴实数 m 的取值范围 (??, ? ] 。…………..13 分 3
而 h(?1) ? m ? 21.(14 分)巳知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 。 2 a b 2

⑴若点 P(2,1)在椭圆上，求椭圆的方程; ⑵若存在过点 A(1,0)的直线 l ，使点 C(2,0)关于直线 l 的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围. 【解析】 ：⑴ e ?

3 b2 x2 y 2 ? 1 ? 2 ? a ? 2b, c ? 3b ? 2 ? 2 ? 1 , 2 a 4b b
·6 ·

∵点 P(2,1)在椭圆上,∴

22 12 x2 y 2 2 ? ? 1 ? b ? 2 ? ? ? 1 ?????4 分 4b2 b2 8 2

⑵依题意，直线 l 的斜率存在且不为 0，则直线 l 的方程为： y ? k ( x ? 1) . 设点 C(2, 0)关于直线 l 的对称点为 C '( x0 , y0 ) ，则

x ?2 ? y0 2 ? k( 0 ? 1) ? x0 ? 2 ? ? 2 ?2 ? k ?1 ?? ? y ? 0 ? k ? ?1 ? y ? 2k 0 ? ? k 2 ?1 ? ? x0 ? 2
若点 C '( x0 , y0 ) 在椭圆
x2 y2 ? ? 1 上，则 4b 2 b 2

(

2 2 2k ) ( 2 )2 k ? 1 ? k ? 1 ? 1 ? b2 k 4 ? (2b2 ? 4)k 2 ? (b2 ? 1) ? 0 4b2 b2
2

设 k 2 ? t ，因此原问题转化为关于 t 的方程 b2t 2 ? (2b2 ? 4)t ? (b2 ?1) ? 0 有正根. ①当 b2 ? 1 ? 0 ? 0 ? b2 ? 1 时，方程一定有正根；

?(2b2 ? 4)2 ? 4b2 (b2 ? 1) ? 0 4 ②当 b ? 1 ? 0 ? b ? 1 时，则有 ? 2 ? b2 ? 3 ?2b ? 4 ? 0
2 2

∴综上得 0 ? b ?

2 3 . 3

又椭圆的焦距为 2c ? 2 3b ? 0 ? 2c ? 4 . 故椭圆的焦距的取值范围是(0,4]………………………14 分

·7 ·