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高2016届高三上期文科数学周练(四)教师

时间:2015-10-13


命题人:陈曦

审题人:王宗伟

棠湖中学高三上期文科数学周练(四) 一、选择题 ?10? 5? ? 50??
1.函数 y ?

2? x 的定义域是( A ) lg x
B. ?0,1? U ?1,??? C. ?0,2? D. ?0,1?

A. ?0,1? U ?1,2?

2.若复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 1 ? 2i (其中 i 是虚数单位),则复数 z 对应的点位于复平面的( A ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知向量 a ? (1, m) , b ? (m,2) ,若 a // b ,则实数 m 等于( C ) A. ?

2

B. 2

C. ?

2或 2
2 4

D.0 B. ?

4. 已知 sin ? ?

1 ?? ? ,且 ? ? ? , ? ? ,则 tan ? ? ( B ) A. 3 ?2 ?

2 4

C. ? 2 2

D. 2 2

5.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( D ) A.若 ? ⊥ ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ⊥ n C.若 m ⊥ n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ⊥ ? B.若 ? ∥ ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ∥ n D.若 m ⊥ ? , m ∥ n , n ∥ ? ,则 ? ⊥ ?

?x ? 1 ? 6.已知 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为( C ?x ? y ? 2 ? 0 ?
A. 5 7. 已知双曲线 B. 6 C. 7 D. 8

)

x2 y 2 (x ? 3) 2 ? y 2 ? 8 相交于 M , N 两点且 | MN |? 4 , 则 ? ? 1 (a ? 0) 的一条渐近线与圆 2 a 4

此双曲线的离心率为( B ) A. 5 B.

3 5 5

C.

5 5 3

D. 5

1 8.已知函数 f(x)= ,则 y=f(x)的图象大致为 ( B ) ln?x+1?-x

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命题人:陈曦

审题人:王宗伟

9. 定义在 ? ??, 0 ? ? ? 0, ?? ? 上的奇函数 f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上为减函数, 且 f (2) ? 0 , 则 “ 是“ 2 ? 4 ”成立的( B )
x

f ( x) ? f (? x) ?0” x

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
*

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

10.已知 S n 是等差数列 ?an ? (n ? N ) 的前 n 项和,且 S8 ? S9 ? S7 ,有下列四个命题,其中假命题的是 ( D ) A.公差 d ? 0 C. a8 ? a9 B.在所有 S n ? 0 中, S17 最大 D.满足 S n ? 0 的 n 的个数有 15 个

二、填空题 ?4 ? 5? ? 20??
11. 已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中点, 则 AE ? BD ? ____2___. 12.设函数 f ( x) ? x3 cos x ? 1,若 f (a) ? 11 ,则 f (?a) ? ___-9____. 13.已知某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果为

1 2

.

14 . 将 一 颗 骰 子 投 掷 两 次 分 别 得 到 点 数 a, b , 则 直 线 ax ? by ? 0 与 圆

? x ? 2?

2

? y 2 ? 2 没有公共点的概率为____

5 ____. 12

三、解答题 ?3 ?12? ? 14? ? 50??
15.已知函数 f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? a ,且当 x ? ?0, (1)求 a 的值,并求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)先将函数 y ? f ( x) 的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的

? ?? 时, f ( x ) 的最小值为 2 . ? 6? ?

1 ? ,再将所得图象向右平移 个 2 12

单位长度,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求方程 g ( x) ? 2 在区间 ?0, ? 上所有根之和. 解析: (Ⅰ)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? a ? 2 sin( 2 x ?

? ?? ? 2?

?
6

) ? a ? 1 ???2 分

? ?? ? ? ? ?? ? x ? ?0, ?,? 2 x ? ? ? , ? ? f ( x) min ? a ? 2 ? 2 ,故 a ? 0 ???4 分 6 ?6 2? ? 6?
则 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ?1

由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

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命题人:陈曦

审题人:王宗伟

解得函数 f ( x) 的单调递增区间为 ?k? ? (Ⅱ)由已知得 g ( x ) ? 2 sin( 4 x ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

?k ? Z ? ???6 分

? 1 ) ? 1,又由 g ( x) ? 2 得 sin( 4 x ? ) ? ???9 分 6 6 2 ? ? 5? k? ? k? ? ? 或 ? ?k ? Z ? 则有 4 x ? ? 2k? ? 或2k? ? 进而解得 x ? 6 6 6 2 12 2 4

?

? ? ? ?? ? x ? ?0, ?,? x ? 或 12 4 ? 2?

故所有根之和为

?
12

?

?
4

?

?
3

???12 分

16.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC= 2 ,AA1=3,D 是 BC 的中点,点 E 在棱 BB1 上运动. (1)证明:AD⊥C1E; (2 ) 当异面直线 AC, C1E 所成的角为 60°时, 求三棱锥 C1—A1B1E 的体积. (1)证明:∵AB=AC,D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC 又在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, BB1⊥平面 ABC, AD ? 平面 ABC ∴AD⊥BB1 故 AD⊥平面 BB1C1C 由点 E 在棱 BB1 上运动,得 C1E ? 平面 BB1C1C ∴AD⊥C1E (2)解:∵AC∥A1C1,∴∠A1C1E 是异面直线 AC、C1E 所成的角 由题设∠A1C1E=60°,∵∠B1A1C1=∠BAC=90° ∴A1C1⊥A1B1,又 AA1⊥A1C1 从而 A1C1⊥平面 A1ABB1,于是 A1C1⊥A1E 故 C1E=

A1C1 ?2 2 cos 60 ?

又 B1C1 ?

A1C12 ? A1 B12 ? 2

∴ B1 E ?

C1 E 2 ? B1C12 ? 2

∴ V三棱锥C1 ? A1 B1 E1 ?

1 1 2 1 S ?A1 B1 E ×A1C1= ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 3 2 3

17.以下两题,必选一题作答 选修 4-4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴.已知直线 l 的

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命题人:陈曦

审题人:王宗伟

1 ? x ? 2? t ? 2 ( t 为参数) 参数方程为 ? ,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 8cos? . ? ? y? 3t ? ? 2

(I)求 C 的直角坐标方程; (II)设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求弦长 | AB | . 解: (Ⅰ)由 ? sin 2 ? ? 8cos ? ,得 ? 2 sin 2 ? ? 8? cos? ,即曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 8 x . (Ⅱ)将直线 l 的方程代入 y 2 ? 8 x ,并整理得 3t 2 ? 16t ? 64 ? 0 , t1 ? t2 ? 所以 | AB |?| t1 ? t2 |? 选修 4-5:不等式证明选讲 1 1 若 a>0,b>0,且 + = ab. a b (1)求 a3+b3 的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?请说明理由. 1 1 2 解:(1)由 ab= + ≥ ,得 ab≥2,当且仅当 a=b= 2时等号成立. a b ab 故 a3+b3≥2 a3b3≥4 2,当且仅当 a=b= 2时等号成立. 所以 a3+b3 的最小值为 4 2. (2)由(1)知,2a+3b≥2 6 ab≥4 3. 由于 4 3>6,从而不存在 a,b,使 2a+3b=6 18. 已知函数 f ( x) ? e x ? ax ( a 为常数) 的图像与 y 轴交于点 A , 曲线 y ? f ( x) 在点 A 处的切线斜率为 ?1 . (1)求 a 的值及函数 f ( x) 的极值; (2)证明:当 x ? 0 时, x2 ? e x (3)证明:对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,使得当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce x (1)解:因为 f ( x) ? e x ? ax ,所以 f ?( x) ? e ? a
x

16 64 , t1t2 ? ? . 3 3

(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ?

32 . 3

由题有 f ?(0) ? 1 ? a ? ?1 ,故 a ? 2 . 所以 f ( x) ? e ? 2 x , f ?( x) ? e ? 2
x x x 令 f ?( x) ? e ? 2 ? 0 得: x ? ln 2

当 x ? ln 2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单减;当 x ? ln 2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单增. 故当 x ? ln 2 时, f ( x) 有极小值,为 f (ln 2) ? 2 ? ln 4 ,没有极大值. (2)证明:令 g ( x) ? e ? x ,则 g ?( x) ? e ? 2 x ? f ( x)
x 2 x

由(1)知, g ?( x) ? f (ln 2) ? 2 ? ln 4 ? 0 ,即 g ( x) 在 R 上单增, 所以,当 x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 1 ? 0 ,即 x2 ? e x .

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命题人:陈曦

审题人:王宗伟

(3)证明:对任意给定的正数 c ,取 x 0 ?

1 c
2

由(2)知,当 x ? 0 时, x2 ? e x 所以当 x ? ( x0 , ??) 时, e ? x ?
x

1 x ,即 x ? ce x c

故对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,使得当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce x .

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