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2010年高考分类汇编-数列答案

时间:2011-02-09


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2010 年高考数学试题分类汇编——数列 年高考数学试题分类汇编—— ——数列
浙江理数) (3)设 Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 + a5 = 0 ,则 (2010 浙江理数) (A)11 (B)5 (C) ?8 (D) ?11

S5 = S2

解析:解析:通过 8a2 + a5 = 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a 2 + a 2 q 3 = 0 ,解得 q =-2,带 入所求式可知答案选 D,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公 式,属中档题

理数) (4) a 那么 a1 + a2 + ... + a7 = (2010 全国卷 2 理数) .如果等差数列 {an } 中, 3 + a4 + a5 = 12 , (A)14 (B)21 (C)28 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】 a3 + a4 + a5 = 3a4 = 12, a4 = 4,∴ a1 + a2 + ? + a7 = (D)35

7( a1 + a7 ) = 7 a4 = 28 2

辽宁文数) (3)设 Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和,已知 3S3 = a4 ? 2 , 3S 2 = a3 ? 2 , (2010 辽宁文数) 则公比 q = (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

解析:选 B. 两式相减得, 3a3 = a4 ? a3 , a4 = 4a3 ,∴ q =

a4 = 4. a3

辽宁理数) 设{a ( S 已知 a2a4=1, S3 = 7 , (2010 辽宁理数) 6) n}是有正数组成的等比数列, n 为其前 n 项和。 则 S5 = (A)

15 2

(B)

31 4

(C)

33 4

(D)

17 2

【答案】B 【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式,考查了同学们解决问 题的能力。 【解析】由 a2a4=1 可得 a1 q = 1 ,因此 a1 =
2 4

1 2 ,又因为 S3 = a1 (1 + q + q ) = 7 ,联 q2

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1 1 1 力两式有 ( + 3)( ? 2) = 0 ,所以 q= ,所以 S5 = q q 2

4 ? (1 ?

1 ) 25 = 31 ,故选 B。 1 4 1? 2

? 文数) (2010 全国卷 2 文数)(6)如果等差数列 {an } 中, a3 + a4 + a5 =12,那么 a1 + a2 +?…+ a7 = (A)14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 解析】 本题考查了数列的基础知识。 【解析】C:本题考查了数列的基础知识。

a + a4 + a5 = 12 a =4 ∵ 3 ,∴ 4

1 a1 + a2 + ? + a7 = × 7 × (a1 + a7 ) = 7 a4 = 28 2

( 2010

江 西 理 数 ) 5. 等 比 数 列

{an }

中 , a1 = 2 , a8 =4 , 函 数

f ( x ) = x( x ? a1 )( x ? a2 ) ? ( x ? a8 ) ,则 f ' ( 0 ) = ( )
A. 26 【答案】C B. 29 C. 212 D. 215

【解析】考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数 学知识、思想和方法。考虑到求导中,含有 x 项均取 0,则 f 关;得: a1 ? a2 ? a3 ? a8 = ( a1a8 ) = 2 。
4 12

'

( 0 ) 只与函数 f ( x ) 的一次项有

1 ? 1 1 lim ?1 + + 2 + ? + n x→∞ 3 ? 3 3 江西理数) (2010 江西理数)4. 5 A. 3 3 B. 2

? ?= ? (



C. 2

D. 不存在

【答案】B

1 1? n 3 )=3 【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一:先求和,然后对和取极限。 lim ( n→+∞ 1 2 1? 3

安徽文数) (2010 安徽文数)(5)设数列 {an } 的前 n 项和 S n = n ,则 a8 的值为
2

(A) 15 5.A

(B) 16

(C)

49

(D)64

【解析】 a8 = S8 ? S 7 = 64 ? 49 = 15 . 【方法技巧】直接根据 an = S n ? S n ?1 ( n ≥ 2) 即可得出结论.
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(2010 重庆文数) (2)在等差数列 {an } 中, a1 + a9 = 10 ,则 a5 的值为 (A)5 (C)8 解析:由角标性质得 a1 + a9 = 2a5 ,所以 a5 =5 (B)6 (D)10
[来源:高&考%资(源#网 KS5U.COM]

浙江文数) (2010 浙江文数)(5)设 sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 + a5 = 0 则 (A)-11 (C)5 (B)-8 (D)11

S5 = S2

解析:通过 8a2 + a5 = 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a 2 + a 2 q 3 = 0 ,解得 q =-2,带入所求 式可知答案选 A,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式

重庆理数) (1)在等比数列 {an } 中, a2010 = 8a2007 ,则公比 q 的值为 (2010 重庆理数) A. 2 解析: B. 3 C. 4 D. 8

a 2010 =q 3 = 8 a 2007

∴q = 2

北京理数) (2)在等比数列 {an } 中, a1 = 1 ,公比 q ≠ 1 .若 am = a1a2 a3 a4 a5 ,则 m= (2010 北京理数) (A)9 答案:C (B)10 (C)11 (D)12

四川理数) (8)已知数列 {an } 的首项 a1 ≠ 0 ,其前 n 项的和为 Sn ,且 S n +1 = 2 S n + a1 , (2010 四川理数) 则 lim

an = n →∞ S n
(B)

(A)0

1 2

(C) 1

(D)2

解析:由 S n +1 = 2 S n + a1 ,且 S n + 2 = 2 S n +1 + a1 作差得 an+2=2an+1 又 S2=2S1+a1,即 a2+a1=2a1+a1 ? 故{an}是公比为 2 的等比数列

w_w_w. k*s 5* u.c o* m

a2=2a1

w_w w. k#s5_u.c o* m

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Sn=a1+2a1+22a1+……+2n 1a1=(2n-1)a1 则 lim 答案:B



an 2 n ?1 a 1 = lim n 1 = n →∞ S n →∞ (2 ? 1) a 2 1 n

天津理数) 已知 {an } 是首项为 1 的等比数列, n 是 {an } 的前 n 项和, 9s3 = s6 , ( s 且 (2010 天津理数)6) 则数列 ?

?1? ? 的前 5 项和为 ? an ?
15 或5 8
(B)

(A)

31 或5 16

(C)

31 16

(D)

15 8

【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质,属于中等题。 显然 q ≠ 1,所以

9(1 ? q 3 ) 1-q 6 1 1 = ? 1 + q 3 ? q = 2 ,所以 { } 是首项为 1,公比为 的 1-q 1? q an 2

1 1 ? ( )5 2 = 31 . 等比数列, 前 5 项和 T5 = 1 16 1? 2
【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分,降低幂的次数,同时也要注意基本量法 的应用。

广东理数) (2010 广东理数)4. 已知 {an } 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 = 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中项为 A.35

5 ,则 S5 = 4
B.33 C.31 D.29

4.C.设{ an }的公比为 q ,则由等比数列的性质知,a2 ? a3 = a1 ? a4 = 2a1 ,即 a4 = 2 。由 a4 与 2 a7 的等差中项为 ∴q =
3

5 5 1 5 1 5 1 知, a4 + 2a7 = 2 × ,即 a7 = (2 × ? a4 ) = (2 × ? 2) = . 4 4 2 4 2 4 4
[来源:高考资源网 K

a7 1 1 1 = ,即 q = . a4 = a1q 3 = a1 × = 2 ,即 a1 = 16 . a4 8 2 8

广东文数) (2010 广东文数)

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文数) (4)已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 =5, a7 a8 a9 =10,则 (2010 全国卷 1 文数)

a4 a5 a6 =
(A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2

4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知 识,着重考查了转化与化归的数学思想. 【 解 析 】
3 由 等 比 数 列 的 性 质 知 a1a2 a3 = (a1a3 )ia2 = a2 = 5 , 1 3

a7 a8 a9 = (a7 a9 )ia8 = a = 10,所以 a2 a8 = 50 ,
3 8

3 所以 a4 a5 a6 = (a4 a6 )ia5 = a5 = ( a2 a8 )3 = (50 6 )3 = 5 2

1

理数) (4)已知各项均为正数的等比数列{ an }中, a1a2 a3 =5, a7 a8 a9 =10, (2010 全国卷 1 理数) 则

a4 a5 a6 =
(B) 7 (C) 6 (D) 4 2

(A) 5 2

湖北文数) (2010 湖北文数)7.已知等比数列{ am }中,各项都是正数,且 a1 ,

1 a3 , 2a2 成等差数列,则 2

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a9 + a10 = a7 + a8
A. 1 + 2 B. 1 ? 2 C. 3 + 2 2 D3? 2 2

山东理数) (2010 山东理数)

1.(2010 安徽理数)10、设 {an } 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分 别为 X , Y , Z ,则下列等式中恒成立的是 A、 X + Z = 2Y C、 Y 2 = XZ 10.D 【分析】取等比数列 1, 2, 4 ,令 n = 1 得 X = 1, Y = 3, Z = 7 代入验算,只有选项 D 满足。 【方法技巧】对于含有较多字母的客观题,可以取满足条件的数字代替字母,代入验证,若 能排除 3 个选项,剩下唯一正确的就一定正确;若不能完全排除,可以取其他数字验证继续 排除.本题也可以首项、公比即项数 n 表示代入验证得结论. (2010 湖北理数)7、如图,在半径为 r 的园内作内接正六边形,再作正六 B、 Y (Y ? X ) = Z ( Z ? X ) D、 Y (Y ? X ) = X ( Z ? X )

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边形的内切圆,又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去,设 sn 为前 n 个圆的面 积之和,则 lim sn =
n→∞

A. 2 π r

2

B.

8 2 πr 3

C.4 π r

2

D.6 π r

2

福建理数) 3. (2010 福建理数) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 = ?11 , a4 + a6 = ?6 ,则当 Sn 取 最小值时,n 等于 A.6 【答案】A B.7 C.8 D.9

【解析】 设该数列的公差为 d , a4 + a6 = 2a1 + 8d = 2 × ( ?11) + 8d = ?6 , 则 解得 d = 2 , 所以 S n = ?11n +

n(n ? 1) × 2 = n 2 ? 12n = (n ? 6) 2 ? 36 ,所以当 n = 6 时,Sn 取最小值。 2

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用,考查二次函数最 值的求法及计算能力。

浙江理数) (14)设 n ≥ 2, n ∈ N , (2 x + ) ? (3 x + ) (2010 浙江理数)
n

1 2

1 3

n

= a0 + a1 x + a2 x 2 + ??? + an x n ,
将 ak (0 ≤ k ≤ n) 的最小值记为 Tn ,则

T2 = 0, T3 =

1 1 1 1 ? 3 , T4 = 0, T5 = 5 ? 5 , ???, Tn , ??? 3 2 3 2 3

其中 Tn =__________________ . 解析:本题主要考察了合情推理,利用归纳和类比进行简单的推理,属容易题 陕西文数) (2010 陕西文数)11.观察下列等式:1 +2 =(1+2) ,1 +2 +3 =(1+2+3) ,1 +2
3 3 2 3 3 3 2 3 3

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+3 +4 = 2 3 3 3 3 3 (1+2+3+4) ,…,根据上述规律,第四个等式为 1 +2 +3 +4 +5 =(1+2+3+4+5) ..... (或 15 ). 解析:第 i 个等式左边为 1 到 i+1 的立方和,右边为 1 到 i+1 和的完全平方 3 3 3 3 3 2 2 所以第四个等式为 1 +2 +3 +4 +5 =(1+2+3+4+5) (或 15 ). ..... ( ( 2010 辽 宁 文 数 ) 14 ) 设 Sn 为 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 , 若 S3 = 3,S6 = 24 , 则
2 2

3

3

a9 =



解析:填 15.

3× 2 ? ? S3 = 3a1 + 2 d = 3 ? a = ?1 ? ,解得 ? 1 ,∴ a9 = a1 + 8d = 15. ? ?d = 2 ? S = 6a + 6 × 5 d = 24 1 ? 6 2 ?

( ( 2010 辽 宁 理 数 ) 16 ) 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 = 33, an +1 ? an = 2n, 则 __________. 【答案】

an 的最小值为 n

21 2

【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数 单调性,考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。 【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n

an 33 = + n ?1 n n 33 ?33 设 f ( n) = + n ? 1 ,令 f (n) = 2 + 1 > 0 ,则 f (n) 在 ( 33, +∞) 上是单调递增, n n
所以 在 (0, 33) 上是递减的,因为 n∈N+,所以当 n=5 或 6 时 f ( n) 有最小值。 又因为

a5 53 a6 63 21 a a 21 = , = = ,所以, n 的最小值为 6 = 5 5 6 6 2 n 6 2

浙江文数) (14)在如下数表中,已知每行、每列中的树都成等差数列, (2010 浙江文数) 那么,位于下表中的第 n 行第 n+1 列的数是 。

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答案: n + n
2

( ( 2010 天 津 文 数 ) 15) 设 {an} 是 等 比 数 列 , 公比 q =

2 , Sn 为 {an} 的 前 n 项 和 。 记


Tn =

17 S n ? S 2 n , n ∈ N * . 设 Tn0 为数列{ Tn }的最大项,则 n0 = an +1

【答案】4 【解析】本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式与通项及平均值不等式的应用,属于中等 题。

17a1[1 ? ( 2) n ] a1[1 ? ( 2) 2 n ] ? 1 ( 2)2 n ? 17( 2) n + 16 1? 2 1? 2 = ? Tn = 1? 2 ( 2) n a1 ( 2) n
= 1 16 16 ? [( 2) n + ? 17] 因为 ( 2) n + ≧8,当且仅当 ( 2) n =4,即 n=4 时取等 n n 1? 2 ( 2) ( 2)

号,所以当 n0=4 时 Tn 有最大值。 【温馨提示】本题的实质是求 Tn 取得最大值时的 n 值,求解时为便于运算可以对 ( 2) n 进行 换元,分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解. 湖南理数) 15. 若数列 {an } 满足: 对任意的 n ∈ N , 只有有限个正整数 m 使得 am<n (2010 湖南理数)
?

成立,记这样的 m 的个数为 ( an ) ,则得到一个新数列 ( an )? .例如,若数列 {an } 是
?

{

}

1, 2,3…,n, … ,则数列 (an )? 是 0,1, 2, …,n ? 1, … .已知对任意的 n ∈ N? , an = n 2 ,则 (a5 )? = ((an )? )? =
, .

{

}

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福建理数) (2010 福建理数)11.在等比数列 {a n } 中,若公比 q=4 ,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通 项公式 an = 【答案】 4n-1 【解析】由题意知 a1 + 4a1 + 16a1 = 21 ,解得 a1 = 1 ,所以通项 an = 4n-1 。 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用,属基础题。 3. (2010 江苏卷)8、函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 江苏卷) 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5=_________ [解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 在点(ak,ak2)处的切线方程为: y ? ak = 2ak ( x ? ak ), 当 y = 0 时,解得 x =
2



ak , 2

所以 ak +1 =

ak , a1 + a3 + a5 = 16 + 4 + 1 = 21 。 2

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