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高三数学一轮复习学案:等比数列


高三数学一轮复习学案:等比数列 一、考试要求: 1.通过实例,理解等比数列的概 念。2.探索并掌握等比数列的通项公式与前几项和的公式。 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题。4.体会等比 数列与指 数函数的关系。 二、知识梳理: 1.等比数列的定义 2.等比数列的通项 前几项和 3.等比中项 若 a、b、c成等比,则 b 为 a、c 的等比中

项,即 b =ac. 正数 m、n 的等比中项为 ? 4.等比数列的性质
2

mn

①若数 列 ?a n ?等比数列,则 a n ? a m ? q ②当 a1 ? 0, q ? 1 或 当 或

n?m

(m, n ? N ? ) 若 m ? n ? p ? q( p, q, m, n ? N ? ) 则
时,数列 ?a n ? 为递增数列。

当 q =1 时,数列 ?a n ?为常数列;当 q <0 时,数列 ?a n ? 为摆动数列。 三、典型例题 【基本训练】 1.在等比数列 {an } 中, a3 ? 2 , a5 ? 8 ,则 a1 = ,q = .

时,数列 ?a n ?为递减数列。

2.若 a, b, c 成等比数列,则函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图象与 x 轴交点的个数是______个. 3.在等比数列 {an } 中,若 a1 ? 3 , q ? 2 ,则前 n 项和 S n =_____________. 4.在等比数列 {an } 中, a1 ? a 2 ? 1 , a3 ? a4 ? 9 , 则 a5 ? a 6 ? .

4.在等比数列 {an } 中, an ? 0, 且 a3 a5 ? a2 a10 ? 2a4 a6 ? 100 ,则 a4 ? a6 =_______

四 知识运用 例 1: (1) 、在等比数列{an}中,⑴a9a10a11a12=64,求 a8a13 之值.

⑵a2a8=36,a3+a7=15,求 a10.

*⑶q=2,a1a2a3…a30=230,求 a3a6a9…a30 之值

.⑷在等比数列{an}中,S4=1,S8=3,则 a17+a18+a19+a20.

⑸已知等比数列{an}的公比是 q=

1 ,且 a1+a3+a5+…+a99=60,求 a1+a2+a3+…+a100. 2
1

例 2 一个等比数列有三项,如果把第二项加上 4,那么所得的三项就成为等差数列; 如果再把这个等差 数列的第三项加上 32 那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列。

例 3 若数列 ?a n ? 满足关系 a1=2,an+1=3an+2 求数列的通项公式。

例 4. 设等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn,若 S 3 ? S 6 ? 2S 9 求公比 q.

an+an+1 例 5.已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2= ,n∈N*.(1)令 bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列; 2 (2)求{an}的通项公式.

五.反馈练习 1.在等比数列{an}中,已知 a3+a6=36,a4+a7=18,an=0.5,则 n= 2.在正项等比数列{an}中,若 a5a6=9,则 log3a1+log3a2+…+log3an=

; ;

3.若数列 x,2 x ? 2,3x ? 3... 为等比数列,则该数列第四项为___________; 4.已知等差数列 ?a n ?的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,则 5.在等比数列 ?a n ?中, a1 ? a 2 ? 1, a3 ? a 4 ? 9 ,那么 a 4 ? a5 ? A.27 B.-27 C.81 或-36

a1 ? a3 ? a9 ? _________ a 2 ? a 4 ? a10
( D.27 或-27 )

6.已知数列 ?a n ?是公比 q ? A.420

1 的等比数列,且 a1 ? a 4 ? a7 ? ... ? a100 ? 60 ,则 a1 ? a 2 ? a3 ? ... ? a102 ? 2
C.45 D.30

B.105

2

7.等比数列 ?a n ?中,设 a9 ? ?2 ,则此数列的前 17 项之积为 A 216 B ? 216
-5

( D ? 217
5



C. 217

8.正项等比数列{an}的首项为 2 ,其前 11 项的几何平均数为 2 ,若前 11 项中抽取一项后的几何平均数仍 是 2 ,则抽去一项的项数是( A、6 B、7
5

) C、9 D、11

六、基础检测: ① an

1.设数列 ?a n ?为等比数列,则下面 4 个数列:其中是等比数列的有(

? ?
3

)

② ?Pan ? (p 为非零常数) ③ ?a n ? a n ?1 ?

④ ?a n ? a n ?1 ?

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2 2.b =ac 是 a、b、c 成等比数列的( )条件 A.充分但不必要 B.必要但不充分 C.充要条件 D.既不充分 也不必要 3.一个各项均为正数的等比数列,其任何项都等于后面两项的和,则其公比是( ) A.

5 2

B.

1? 5 2

C.

2 5

D.

5 ?1 2

4.某种 细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂成两个) ,经过 3 小时,这种细菌由一个可繁殖 个。 30 5.在各项为均为正数的等比数列 ?a n ? 中,公比 q=2 且 a1a2a3……a30=2 则 a3 ? a6 ? a9 ……a30=( ) A.2 B.2 C.2 6.等比数列 ?a n ? 中,a4=4,则 a2 ·a6 等于( A.4 B.8 C.16
10 20 16

D.2 )

15

D.32

7..若正项等比数列{an}的公比 q≠1,且 a3,a5,a6 成等差数列,则

a3 ? a5 等于( a4 ? a6



A.

1? 5 2

B.

5 ?1 2
n

C.

1 2

D.不确定 )

8.在等比数列 ?a n ? 中,a1=8,a5=64,则公比 q 为( 9.数列 ?a n ? 的前 n 项和 Sn=3+2 10.数列 ?a n ? 满足 式。 则 an=

1 1 1 a1 ? 2 a 2 ? ?? n a n ? 5 ? 2n(n ? N ? ) 求数列 ?a n ? 的通 项公式及前 n 项和 Sn 的公 2 2 2

3

11.已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中 n=1,2,3,…(1)证明数列{lg(1+an)}是 等比数列; (2)设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项; (3)记 bn=

1 1 ,求 ? a n an ? 2

{bn}数列的前项和 Sn,并证明 Sn+

2 =1. 3Tn ? 1

12.设正项等比数列 ?a n ? 的首项 a1 ?

1 ,前 n 项和为 S n ,且 210 S 30 ? (210 ? 1) S 20 ? S10 ? 0 。 (Ⅰ)求 ?a n ? 2

的通项; (Ⅱ)求 ?nS n ?的前 n 项和 Tn 。

13 已知有穷数列 { a n } 共有 2 k 项(整数 k ≥2) ,首项 a1 =2.设该数列的前 n 项和为 S n ,且 a n ?1 =

(a ? 1) S n +2( n =1,2,┅,2 k -1) ,其中常数 a >1. (1)求证:数列 { a n } 是等比数列; (2)若 a
1 ,求数列 { bn } 的通项公式; log 2 (a1a 2 ? ? ? a n ) ( n =1,2,┅,2 k ) n 3 3 3 3 (3)若(2)中的数列 { bn } 满足不等式| b1 - |+| b2 - |+┅+| b2 k ?1 - |+| b2 k - |≤4,求 k 的值. 2 2 2 2
=2 2k ?1 ,数列 { bn } 满足 bn =
2

4


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