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2016年全国高中数学联合竞赛加试解答(A卷)


2016 年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷) 参考答案及评分标准
说明: 1. 评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分, 10 分为一个档次,不要增加其他中间档次. 1, 2,? , 2015) . 一、 (本题满分 40 分) 设实数 a1 , a2

,? , a2016 满足 9ai > 11ai2+1 (i =
2 2 2 ) ? ( a 2 ? a3 ) ? ? ? ( a2015 ? a2016 ) ? ( a2016 ? a12 ) 的最大值. 求 ( a1 ? a2 2 2 2 ) ? ( a 2 ? a3 ) ? ? ? ( a2015 ? a2016 ) ? ( a2016 ? a12 ) . 解 令 P = ( a1 ? a2

由已知得,对 i = 1, 2,? , 2015 ,均有 ai ? ai2+1 > 若 a2016 ? a12 ≤ 0 ,则 S ≤ 0 .

11 2 ai +1 ? ai2+1 ≥ 0 . 9
…………………10 分

以下考虑 a2016 ? a12 > 0 的情况.约定 a2017 = a1 .由平均不等式得
P 2016 ≤
1 2016 1 2016 1 ? 2016 ? 2 ( a ? = a ) a ? ai2+1 ? ∑ ∑ ∑ i i +1 i ? 2016 2016 = i 1 = i 1 ? i 1= ? 2016 1 ? 2016 1 2016 2? ? = a a ? ∑ i ∑ i ? 2016 ∑ ai (1 ? ai ) 2016 = i 1 i 1 ? i 1= ? =

=

…………………20 分

1 2016 ? ai + (1 ? ai ) ? 1 1 1 , ≤ = ? 2016 ? = ∑ ? ? 2016 i =1 ? 2 2016 4 4 ? 所以

2

P≤

1 4
2016



…………………30 分

1 时 , 上 述 不 等 式 等 号 成 立 , 且 有 9ai > 11ai2+1 2 1 (i = 1, 2,? , 2015) ,此时 P = 2016 . 4 1 综上所述,所求最大值为 2016 . …………………40 分 4 = a= ? = a2016 = 当a 1 2
二、 (本题满分 40 分) 如图所示, 在△ ABC 中, X , Y 是直线 BC 上两点( X , B, C , Y 顺次排列) ,使得 BX ? AC ? CY ? AB . 设△ ACX ,△ ABY 的外心分别为 O1 , O2 ,直线 O1O2 与 AB, AC 分别交于点 U ,V . 证明:△ AUV 是等腰三角形.
A

O1 X B

U

O2

V C Y

证法一 作 ∠BAC 的内角平分线交 BC 于点 P . 设三角形 ACX 和 ABY 的外 BP AB BX AB 接圆分别为 ω1 和 ω2 . 由内角平分线的性质知, = . 由条件可得 . = CP AC CY AC 从而 PX BX + BP AB BP , = = = PY CY + CP AC CP 即 CP ? PX = BP ? PY . …………………20 分 故 P 对圆 ω1 和 ω2 的幂相等,所以 P 在 ω1 和 ω2 的根轴上. ……………30 分 于是 AP ⊥ O1O2 ,这表明点 U , V 关于直线 AP 对称,从而三角形 AUV 是等腰 三角形. …………………40 分
A

O1 U X B P O2 V C Y

证法二 设△ ABC 的外心为 O ,连接 OO1 , OO2 .过点 O , O1 , O2 分别作直线 BC 的垂线,垂足分别为 D, D1 , D2 .作 O1K ? OD 于点 K . 我们证明 OO1 ? OO2 .在直角三角形 OKO1 中,
OO1 ? O1K . sin ?O1OK

由外心的性质, OO1 ? AC .又 OD ? BC ,故 ?O1OK ? ?ACB . 而 D, D1 分别是 BC , CX 的中点,所以 DD1 ? CD1 ? CD ? CX ? BC ? BX . 因此
1 BX O1K DD1 BX , ? ?2 ? R? OO1 ? AB AB sin ?O1OK sin ?ACB 2R CY 这里 R 是△ ABC 的外接圆半径.同理 OO2 ? R ? . …………………10 分 AC BX CY ? ,故 OO1 ? OO2 . …………………20 分 由已知条件可得 AB AC
A

1 2

1 2

1 2

O1 X B

U

O K D

O2 D2

V C Y

D1

由于 OO1 ? AC ,所以 ?AVU ? 90???OO1O2 .同理 ?AUV ? 90???OO2O1 . …………………30 分 又因为 OO1 ? OO2 , 故 ?OO1O2 ? ?OO2O1 , 从而 ?AUV ? ?AVU . 这样 AU ? AV , 即△ AUV 是等腰三角形. …………………40 分

三、 (本题满分 50 分) 给定空间中 10 个点, 其中任意四点不在一个平面 上.将某些点之间用线段相连,若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形, 试确定所连线段数目的最大值. 解 以这 10 个点为顶点, 所连线段为边, 得到一个 10 阶简单图 G . 我们证 明 G 的边数不超过 15. 设 G 的 顶 点 为 v1 , v2 ,? , v10 , 共 有 k 条 边 , 用 deg(vi ) 表 示 顶 点 vi 的 度 . 若 deg(vi ) ≤ 3 对 i = 1, 2,? ,10 都成立,则

1 10 1 ×10 × 3 15 . deg(vi ) ≤ = ∑ 2 i =1 2 假设存在 vi 满足 deg(vi ) ≥ 4 .不妨设 deg(v1 )= n ≥ 4 , 且 v1 与 v2 ,? , vn +1 均相 邻.于是 v2 ,? , vn +1 之间没有边,否则就形成三角形.所以, v1 , v2 ,? , vn +1 之间恰有 …………10 分 n 条边. 对每个 j ( n + 2 ≤ j ≤ 10 ) ,v j 至多与 v2 , v3 ,? , vn +1 中的一个顶点相邻(否则设 v j 与 vs , vt ( 2 ≤ s < t ≤ n + 1) 相邻, 则 v1 , vs , v j , vt 就对应了一个空间四边形的四个顶 点,这与题设条件矛盾. ) , 从 而 v2 ,? , vn +1 与 vn + 2 ,? , v10 之 间 的 边 数 至 多 …………20 分 10 ? (n + 1) =9 ? n 条. = k
在 vn + 2 ,? , vn 这 9 ? n 个顶点之间,由于没有三角形,由托兰定理,至多
? (9 ? n) 2 ? ? ? 条边.因此 G 的边数 ? 4 ? ? (9 ? n) 2 ? ? (9 ? n) 2 ? ? 25 ? k ≤ n + (9 ? n) + ? ? =9+? ? ≤ 9 + ? ? = 15 .……30 分 ?4? ? 4 ? ? 4 ?

如图给出的图共有 15 条边,且满足要求. 综上所述,所求边数的最大值为 15.

…………………50 分

四、 (本题满分 50 分) 设 p 与 p + 2 均是素数, p > 3 . 数列 {an } 定义为 a1 = 2 , ? pa ? an an ?1 + ? n ?1 ? , n = 2,3,? .这里 ? = ? x? ? 表示不小于实数 x 的最小整数. ? n ? 证明:对 = n 3, 4,? , p ? 1 均有 n pan ?1 + 1 成立. 证明 首先注意, {an } 是整数数列. 对 n 用数学归纳法. 当 n = 3 时, 由条件知 a2= 2 + p , 故 pa2 + 1= 立.

( p + 1)

2

. 因

p 与 p + 2 均是素数,且 p > 3 ,故必须 3 p + 1 .因此 3 pa2 + 1 ,即 n = 3 时结论成

? pa ? pa + 1 对 3 < n ≤ p ? 1, 设对 此时 ? k ?1 ? = k ?1 , = k 3,? , n ? 1 成立 k pak ?1 + 1 , k ? k ?
故 pa + 1 ? ? ? pa ? ? ? + 1 p ? ak ? 2 + k ? 2 pak ?= p ? ak ? 2 + ? k ? 2 ? = 1 +1 ? +1 ? k ?1 ? ? k ?1 ?? ? ? = 故对 3 < n ≤ p ? 1 ,有

( pak ?2 + 1)( p + k ? 1) .
k ?1

…………………10 分

pa= n ?1 + 1

p + n ?1 p + n ?1 p + n ? 2 = ? ( pan ? ( pan ?3 + 1) 2 + 1) n ?1 n ?1 n?2 p + n ?1 p + n ? 2 p+3 ………20 分 = ?= ? ?? ? ( pa2 + 1) , n ?1 n?2 3
pan ?1 + 1 = 2n ( p + 1) n Cp . ( p + n )( p + 2 ) +n

因此

n 由此知(注意 C p + n 是整数)

① n ( p + n )( p + 2 )( pan ?1 + 1) . …………………40 分

因 n < p , p 素数,故 ( n, n + p = = ) ( n, p ) 1 ,又 p + 2 是大于 n 的素数,故 1 ,从而 n 与 ( p + n )( p + 2 ) 互素,故由①知 n pan ?1 + 1 .由数学归纳 ( n, p + 2 ) = 法知,本题得证. …………………50 分


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