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第7讲、幂函数与函数的零点


第七讲、二次函数及幂函数
板块一、二次函数 知能点全解:
一、定义:形如 f ? x ?
? a x ? b x ? c ? a ? 0 ? 的函数叫做二次函数。
2

二、二次函数的三种表达形式: 2 1、一般式: f ? x ? ? a x ? b x ? c ? a
2

? 0?

r />
2、顶点式: f ? x ? ? a ? x ? m ? ? n ? a ? 0 ? 3、两根式: f ? x ? ? a ? x ? x1 ? ? x ? x 2 ? ? a ? 0 ?

三、二次函数的图像和性质:
1、 图像: 二次函数 f ? x ? ? a x ? b x ? c ? a ? 0 ? 的图像是以 x ? ?
2

b 2a

为对称轴的抛物线,

其开口方向由 a 的符号确定,顶点坐标为 ? ?
?
2

?

4ac ? b ? ?。 2a 4a ? b
2

,

2、性质:二次函数 f ? x ? ? a x ? b x ? c ? a ? 0 ? 的单调性以顶点坐标的横坐标 x ? ? 为分界,当 a ? 0 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? ? ? , ?
? ? b ? ? , ? ? ? ;当 a ? 0 时, f ? 2a ? ? ? ? ? b ? , f 2a ? ?

b 2a

? x ? 的单调递增区间是
? x ? 的单调递减区

? x ? 的单调递增区间是 ? ? ? , ?

b ? ,f 2a ? ?

间是 ? ?
?

?

? , ?? ? 2a ? b
a ?b 2m

四、二次函数的对称性:
如二次函数 y ? f ? x ? 恒满足 f ? m x ? a ? ? f ? b ? m x ? ,则其对称轴为 x ? ;特

别地,当二次函数 y ? f ? x ? 恒满足 f ? x ? a ? ? f ? a ? x ? ( 或 f ? 2 a ? x ? ? f ? x ? ) ,则其对 称轴为 x ? a 。

五、函数的零点:
1、定义:一般地,如果函数 y ? f ? x ? 在实数 a 处的值等于零即 f ? a ? ? 0 ,则 a 叫做这 个函数的零点。 对于任意函数, 只要它的图像是连续不间断的, 其函数的零点具有下列性质: 当它通过零点(不是偶次零点)是函数值变号;相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持 同号。 2、二次函数的零点: (1)当 ? 0 时,二次函数有两个零点; (2)当 ? 0 时,二次函数有一个二重零点或二阶零点。 (3)当 ? 0 时,二次函数无零点。

? ? ?

六、二分法:
1、定义:对于区间 ? a , b ? 上连续的,且 f ? a ? ? f ? b ? ? 0 的函数 y ? f ? x ? ,通过不断地 把函数 f ? x ? 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,从而等到零点 近似值的方法,叫做二分法。 2、用二分法求函数零点的近似值
第 1 页(共 10 页)

第一步:确定区间 ? a , b ? ,验证: f ? a ? ?f ? b ? ? 0 ,给定精确度; 第二步:求区间 ? a , b ? 得中点 x1 ; 第三步: 计算 f ? x1 ? ; f ? x1 ? =0, x1 就是函数零点; f ? a ? ? f ? x1 ? ? 0 , 若 则 若 则令 b ? x1 ; 若 f ? x1 ? ? f ? b ? ? 0 ,则令 a ? x1 第四步:判断是否达到精确度 ? ,即若 a ? b ? ? ,则得到零点近似值 a ( 或 b ) ,否则重 复第二、三、四步。

七、对于函数 f ? x ?

? a ? x ? h ? ? k ? a ? 0 ? , x ? ? p , q ? 的最值问题,最好用图像法,尤其
2

当“轴变区间定” 和“轴定区间变”时, 这两种情况利用图像作参考找出讨论时分类的标准。 “轴定区间也定”这种情况也可以不利用图像,若 h ? ? p , q ? ,则 x ? h 时有最小值 k ,最 大值是 f ? p ? 与 f ? q ? 中较大者;若 h ? ? p , q ? ,则 f ? p ? 与 f ? q ? 中较小者为最小者,较大 者为最大值,即最值在区间的端点处。

八、 我们在解一元二次不等式 a x 2 都变为正数,具体解法见下表:

? bx ? c ? 0 和 ax ? bx ? c ? 0
2

时, 二次项系数 a

??b
f

2

? 4ac

?? 0

?? 0

?? 0

?x?

? ax ? bx ? c
2

?a

? 0?

图像

方程 a x 2 ? b x ? 的解
2

c ? 0

x1 ?

?b ? 2a

?

, x2 ?

?b ? 2a

?

x0 ? ?

b 2a

无解

a x ? b x ? c ? 0 的解

x ? x1 或 x ? x 2

x ? x0

x?R

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 ? x ? x 2

?

?

九、一元二次方程 a x 2
根的分布

? b x ? c ? 0 根的分布,具体情况见下表:

x1 ? x 2 ? k

k ? x1 ? x 2

x1 ? k ? x 2

图像

充要条件

?f ? ?? ? ? ?

?k ?
b 2a ? 0

? 0 ? k

?f ? ?? ? ? ?

?k ?
b 2a ? 0

? 0 ? k
f

?k ? ?

0

根的分布

x1 , x 2 ? ? k 1 , k 2

?

k 1 ? x1 ? k 2 ? x 2 ? k 3

在 ? k 1 , k 2 ? 内有且仅有一个根

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图像

f

? k1 ? ? f ? k 2 ? ?
且 ?
b 2a

0 或 ? ? 0

充要条件

? f ? k1 ? ? 0 ? f ?k ? ? 0 2 ? b ? k ? ? ? k2 ? 1 2a ?? ? 0 ?

? ( k1 , k 2 )

? f ? ? f ? f ?

? k1 ? ? 0 ? k2 ? ? 0 ? k3 ? ? 0

或?
? ?

? f ?

? k1 ?

k1 ? ?

? 0 b 2a ? 0

?

k1 ? k 2 2 b 2a

或 ? k1 ? k 2
? ? 2

? f ?

? k2 ?

? ?

? k2

十、方程在给定区间是否有实数解得判断方法:
1、确定函数的图像在区间 ? a , b ? 上是连续不间断的; 2、计算 f ? a ? 、 f ? b ? 的值并判断其符号; 3、若 f ? a ? ? f ? b ? ? 0 ,则有实数解; 4、有些问题除用上述方法外还需结合函数的图像来作出判断。

十一、函数零点个数的确定方法:
1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成; 2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点, 则要结合二次函数的图像进行; 3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间 ? a , b ? 上是连续不间断的,且
f

? a ? ? f ? b ? ? 0 ,还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应

的方程有多少个实数解。

随堂演练:
一、选择题:
1、二次函数 f ( x ) ? ax ? bx ? c ( a ? 0 ) ,若 f ( x 1 ) ? f ( x 2 )( x 1 ? x 2 ) ,则 f (
2

x1 ? x 2 2
2

)

等于(



A、 ?

b 2a
2

B、 ?

b a

C、 c

D、

4 ac ? b 4a

2、已知函数 f ( x ) ? 4 x ? mx ? 5 在区间 [ ? 2 , ?? ) 上是增函数,则 f (1 ) 的范围是( A、 f (1) ? 25 B、 f (1) ? 25
2



C、 f (1) ? 25

D、 f (1) ? 25
2 2

3、设 x , y 是关于 m 的方程 m ? 2 am ? a ? 6 ? 0 的两个实根,则 ( x ? 1) ? ( y ? 1) 的最小 值是( ) A、 ?
49 4
2

B、18

C、8

D、

3 4

4、下列图中 y ? ax

? bx 与 y ? ax ? b ( ab ? 0 ) 的图像只可能是(



第 3 页(共 10 页)

5、已知函数 y ? x ? b x ? c 且 f (1 ? x ) ? f ( ? x ) ,则下列不等式中成立的是( A、 f ( ? 2 ) ? f ( 0 ) ? f ( 2 ) B、 f ( 0 ) ? f ( ? 2 ) ? f ( 2 ) C、 f ( 0 ) ? f ( 2 ) ? f ( ? 2 ) D、 f ( 2 ) ? f ( 0 ) ? f ( ? 2 )
2

)

6、已知函数 f ( x ) ? mx 数 m 的取值区间是( A、 ( 0 ,1 ]

2

? ( m ? 3 ) x ? 1 的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧,则实

) B、(0,1)

C、 ( ?? ,1)
?1? 2 ?1? 2

D、 ( ?? ,1] )

2 2 7、设 b ? 0 ,二次函数 y ? a x ? b x ? a ? a ? 1 的图像为下列之一,则 a 的值为(

A、 1

B、 -1

C、

5

D、

5

二、填空题: 1、函数 y ? 2 x ? 5 x ? 2 的图像与 y 轴交点的坐标是
2
2

;当 x ?

时, y 有最小值 。 象限。

2、不等式 x ? 5 x ? m ? 0 的解集是 ? x ? 7 ? x ? 2 ? ,则 m ? 3、函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0, b ? 0, c ? 0 ) 的图像的顶点位于第
2

4 、 二 次 函 数 f ? x ? 满 足 f ? 2 ? x ? ? f ? 2 ? x ? , 又 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上 是 增 函 数 , 且
f

?a? ?

f ? 0 ? ,那么 a 的取值范围为

。 。

5、二次函数 y ? f ? x ? 的图像过原点,且顶点为 ? ? 2 , 8 ? ,则 f ? x ? ?
2

6、函数 f ( x ) ? a x ? 2 a x ? 2 ? b ( a ? 0 ) 在 ? 2, 3 ? 上有最大值 5,最小值 2,则 a , b 的值为 7、已知二次方程 a x ? b x ? c ? 0 的两个实根是 ? 2 , 3 ,且 a ? 0 ,那么 a x ? b x ? c ? 0 的 解集为 。
2 2

8、二次不等式 a x ? b x ? 2 ? 0 的解集是 ? ?
2

? ?

1 1 , 2 3

? ? ,则 a ? b ? ?



9、函数 f ? x ? ? x ? 2 a x ? a ? 2 a 在区间 ? ? ? , 3 ? 上单调递减,则实数 a 的取值范围
2 2




2
2

10、 函数 f ? x ? ? ? x ? 2 a x ? 0 ? x ? 1 ? 的最大值是 a , 那么实数 a 的取值范围是 11、 设函数 f ? x ? ? x ? x ? a ( a ? 0 ) , f ? m ? ? 0 , f ? m ? 1 ? 与 0 的关系为 若 则
2

。 。

12、方程 mx
2

2

? 2 mx ? 1 ? 0 有一根大于 1,另一根小于 1,则实根 m 的取值范围是_______
2

13、函数 y ? x ? ( a ? 2 ) x ? 3 , x ? ?a , b ? 的图像关于直线 x ? 1 对称,则 b=________ 14、方程 x ? 2 ax ? 4 ? 0 的两根均大于 1,则实数 a 的取值范围是
2



15、 不等式 ( a ? 2 ) x ? 2 ( a ? 2 ) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立, a 的取值范围是________ 则 16、二次函数 y ? ax
2

? bx ? c 的图像如图所示,记 N ? a ? b ? c ? 2 a ? b ,

M ? a ? b ? c ? 2 a ? b ,则 M 与 N 的大小关系是_________________

三、解答题: 1、已知二次函数 f ( x ) 的二次项系数为 a ,且不等式 f ( x ) ? ? 2 x 的解集为 (1, 3 ) 。 (1)若方程 f ( x ) ? 6 a ? 0 有两个相等的根,求 f ( x ) 的解析式; (2)若 f ( x ) 的最大值为正数,求 a 的取值范围。

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2、不等式 x ? 2 x ? a ? a ? 2 ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。
4 2 2

3、已知 f ( x ) 为二次函数,且 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 x ? 4 x ,求 f (1 ?
2

2 ) 的值。

4、设函数 f ( x ) ? ax

2

? 2 ax ? 1 在 ?? 3 , 2 ? 上有最大值 4,求实数 a 的值。

5、已知函数 f ( x ) 和 g ( x ) 的图象关于原点对称,且 f ? x ? ? x ? 2 x
2

(Ⅰ)求函数 g ( x ) 的解析式; (Ⅱ)解不等式 g ( x ) ≥ f ( x ) -| x -1|; (Ⅲ)若 h ? x ? = g ( x ) - ? f ( x ) +1 在[-1,1]上是增函数,求实数 ? 的取值范围.

参考答案: 一、选择题:1-7、DACDCDC 二、填空题: 1、 0 , 2 ? , , ? ?
4 5 9 8
? ? ; 2、 1 4 ; 3、 四; 4、 0 , 4 ? ; 5、 2 x ? 8 x ; 6、 ? ?
2

?a ? 1 ?a ? ?1 ,? ; ?b ? 0 ?b ? 3

7、 ? x x ? ? 2 或 x ? 3? ; 8、? 1 4 ; 12、 ? ?
? ? 1 ? ,0?; 3 ?
1 5

9、? ? ? , ? 3 ? ;
5? ?

10、? ? 1, 0 ? ; 11、 f ? m ? 1 ? ? 0 。 16、M<N

13、6; 14、 ? 2 , ? ; 2
?
2

?

15、 ? ? 2 , 2 ?

三、解答题: 1、 (Ⅰ) f ( x ) ? ?
x ? 6 5 x? 3 5
3 ) ? (?2 ? 3 , 0 ).

.

(Ⅱ)当 f ( x ) 的最大值为正数时,实数 a 的取值范围是 ( ?? , ? 2 ? 2、 a ? 2 或 a ? ? 1 3、0; 4、-3 或
3 8


2

5、 (I)g(x)= ? x ? 2 x .

(II)原不等式的解集为[-1,
第 5 页(共 10 页)

1 2

];(III) ? ? 0

板块二、幂函数 知能点全解:
一、定义:一般地,我们把形如 y 二、性质:
1、所有的幂函数在 ? 0, ? ? ? 都有定义,并且图像都通过点 ? 1,1 ? ; 2、如果 a ? 0 ,则幂函数的图像经过原点,并且在区间 ? 0, ? ? ? 上为增函数;如果 a ? 0 , 则幂函数的图像不经过原点,并且在区间 ? 0, ? ? ? 上为增函数 3、幂函数的图像及其奇偶性: 令a ?
q p

? x

a

? a ? R ? 的函数叫做幂函数,其中 a 为常数。

(p、q 互质)

a ? 0

0 ? a ?1

a ?1

p、q 是奇数

q

y ? x (p、
p

q 互质)

p 是奇数、 是偶 q 数

p 是偶数、 是奇 q 数

y ? x

y ? x

0

三、如右图 a , b , c , d , e ,

f 的大小关系为:

a ? b ? c ? d ? e ? f

典型题型全解
题型一:幂函数的基本概念和性质的辨析
第 6 页(共 10 页)

及时演练: 1、下列函数中,定义域和值域不同的是( D )
1 1 5 2

A、 y ? x 3 B、 y ? x 2 2、下列命题中正确的是( C )
n

C、 y ? x 3

D、 y ? x 3 B、幂函数的图像都经过点 ? 0 , 0 ? , ? 1,1 ?

A、当 n ? 0 时,函数 y ? x 的图像是一条直线 C、幂函数的图像不可能出现在第四象限
n n

D、若幂函数 y ? x 是奇函数,则 y ? x 在其定义域上一定是增函数 3、下列函数中,不是幂函数的是( C ) A、 y ?
x
3

B、 y ? x

3

C、 y ? 2

x

D、 y ? x

?1

4、下列函数中,定义域为 R 的是( C ) A、 y ? x 2 5、若 ? x ? 1 ? 6、 f ? x ? ? x
? 1 3

B、 y ? x

3

C、 y ? 2

x

D、 y ? x 。

?1

有意义,则 x ? 的定义域为

?x
R

x ? ? 1或 x ? 1?

m ? m ?1

2



7、值域是 ? 0, ? ? ? 的函数是( B )
1

A、 y ? 5

2? x

?1? B、 y ? ? ? ?3?

1? x

2

C、 y ?

1? 2

x

D、 y ? x 3

题型二 :幂函数的图像
例 1:右图中是幂函数 y ? x 在第一象限的图像,已知 n 取 ? 2 , ?
n

1 2

四个值,

则相应于曲线 C 1 , C 2 , C 3 , C 4 的 n 依次为( B A、 ? 2 , ? C、 ?
1 2 1 1 , ,2 2 2 1 2


, ?2 1 2

B、 2 , D、 2 ,

1 2 1 2

,?

1 2

, ?2, 2,

, ?2, ?

及时演练:
1

1、将 y ? x 2 , y ? x , y ? x , y ? x , y ? x
3 2

?

1 2

1

, y ? x3, y ? x

?2

,y ? x

?1

填入对应图像下面。

n

2、 y ? x m ( m 为不为零的偶数, n 为奇数,且 m n ? 0 ) ,那么它的大致图像是( D
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(A)

(B)

(C)
1 a

(D)
的图像应是( B )

a 3、在同一坐标系内,函数 y ? x ( a ? 0 )和 y ? a x ?

(A)
4、函数 y ? x
? 1 n

(B)

(C)
A )

(D)

?n ?

N , n ? 2 ? 的图像大致形状是: (

(A)
m

(B)

(C)

(D)


5、幂函数 y ? x n ( m 、 n 为互质的正整数)图像如图,则 m 、 n 之间的关系为( C A、 m 、 n 为奇数, 0 ?
m n ?1
m n
1
3 6、函数 y ? x 与 y ? x 3 的图像关于

B、 n 为奇数, m 为偶数,
?1

m n

?1
m n ?1

C、 n 为奇数, m 为偶数, 0 ?

D、 n 为偶数, m 为奇数, 0 ?
y ? x

对称。 。

7、使 x ? x 成立的 x 的取值范围为
2 3

x ? 1且x ? 0

8、如果幂函数 y ? x 的图像,当 0 ? x ? 1 时,在直线 y ? x 上方,那么 a 的取值范围为
a

a ?1 。

9、幂函数 y ? x 与 y ? x 的图像都经过定点
p q

? 1,1 ?


,若它们在第一象限部分关于直线

y ? x 对称,则 p , q 应满足的条件是

p?q ?1

题型三 :函数值的大小比较
例 2 :比较下列各组数的大小
7
3 2 3 2 7 8

3 (1)

?

和 3 .1

?

; 2) 8 ( ?
? 3 2

?

? 1 ?8 ? 2? 和 ? ? ? ; 3) ? ? ( ? ?9? ? 3?

?

2 3

? ? ? 和? ? ? ? 6 ?

?

2 3
2

; 4) .1 5 , 3 .8 ( 4
? 3 2 ? 3 2

?

2 3

和 ? ? 1 .9 ? 5

3

解: (1)函数 y ? x
? 7 8

在 ? 0, ? ? ? 上为减函数,又 3 ? 3 .1 ,所以 3
7

? 3 .1


7 7

7

(2) ? 8

1 1 ? 1 ?8 ? 1 ?8 ? 1 ?8 ? ? ? ? ,函数 y ? x 8 在 ? 0, ? ? ? 上为增函数,又 ? ,则 ? ? ? ? ? , 8 9 ?8? ?8? ?9?

第 8 页(共 10 页)

7

7

? 1 ?8 ? 1 ?8 所以 ? ? ? ? ? ? ? 。 ?8? ?9? ? 2? (3)? ? ? ? 3?
? 2 3

?2? ? ? ? ?3?

?

2 3

2

? 3 ?3 ? ? ? ? ? ? , ?? ? ?2? ? 6 ?
? 2

?

2 3

?? ? ? ? ? ? 6 ?

?

2 3

2

? 6 ?3 ? ? ? ,函数 y ? x 3 在 ? 0, ? ? ? 上为 ?? ?
? 2 3

2

? 3 ?? ? 6 ?3 ? 2? 增函数,又 ? ,则 ? ? ? ? ? ,所以 ? ? ? 2 ? ?2? ?? ? ? 3?

3

6

? ? ? ? ?? ? ? 6 ?
2

?

2 3


? 2 3

2

2

(4) 4 .1 5 ? 1 5 ? 1, 3 .8

?

2 3

?1

?

2 3

? 1 , ? ? 1 .9 ? 5 ? 0 ;所以 4 .1 5 ? 3 .8

3

? ? ? 1 .9 ? 5 。

3

及时演练: 1、比较下列各组数的大小 (1) ? a ? 1 ?
1 .5

?
2

a

1 .5

( a ? 0 ) (2) 0 .2 ;
2 3

?

2 3

?

?

2 3

0 .3

; (3) 0 .3
c ? b ? a

0 .4

?

0 .4

0 .3

2、 a ? ? ? 1 .2 ? 3 , b ? 1 .1 3 , c ? 0 .9 4 ,则它们的大小关系为
?3? 3、 a ? ? ? ?4?
? 1 3



?3? ,b ? ? ? ?4?

?

1 4

?3? ,c ? ? ? ?2?
?
a

?

1 4

,则它们的大小关系为 。

c ? b ? a



4、已知 0 ? a ? 1 ,则 a

a

?a ?

a

题型四 :综合运用
及时演练: 1、已知幂函数的图像经过 P ? 8 ,
? ? 1? ? ,求这个函数的解析式,并判断其奇偶性。 4?
2 3
? 2 3

解:设幂函数为 y ? x ,∴
a

1 4

? 8

a

解得: a ? ?
? 2 3

。所以函数的解析式为 y ? x
? 2 3

函数的定义域为 ? x x ? 0 ? ∴函数 y ? x
? 2 3

∵ f ??x? ? ??x?

? x

? f

?x?

为偶函数。
m ?2m ?3
2

2、已知幂函数 f ? x ? ? x

?m ?

Z ? 为偶函数且在区间 ? 0, ? ? ? 上是减函数。

(1)求 f ? x ? 的解析式;

(2)讨论 ? ? x ? ? a

f

?x?

? xf

b

?x?

的奇偶性。

解: (1)由幂函数在 ? 0, ? ? ? 上是减函数,可知 m ? 2 m ? 3 ? 0 , 解得 ? 1 ? x ? 3
2

∵ m ? Z ∴ x ? ? 0,1, 2 ? 由题意知, m ? 2 m ? 3 是偶数 ∴ m ? 1 所以 f ? x ? ? x
2

? 4

第 9 页(共 10 页)

(2)由(1)可知, ? ? x ? ? a

f

?x?

? xf

b

?x?

?

a x
2

? b x ,? ? ? x ? ?
3

a x
2

? bx

3

故①若 a ? 0, b ? 0 , f ? x ? 为非奇非偶函数;②若 a ? 0, b ? 0 , f ? x ? 为奇函数; ③若 a ? 0, b ? 0 , f ? x ? 为偶函数; ④若 a ? 0 , b ? 0 , f ? x ? 为即奇又偶函数

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