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函数的奇偶性2


练习:

判断下列函数的奇偶性:

2x ? 2x (1) f ( x ) ? x ?1
2

(2) f ( x) ? x ? 2 x
3

(3) f ( x ) ? a( x ? R)
2

9? x ( 4) f ( x ) ? x?4 ? x


2

(5) f ( x ) ? x ? 4 ? 4 ? x

2

先看定义域是否关于原点对称,再化简解析式

练习1:已知定义在R上的偶函数 y ? f ( x),当x ? 0时,f ( x) ? x ? 3x ? 1.
2

求函数f ( x)的解析式。
“问啥设啥”

变式:若R上的奇函数f ( x)和偶函 数g ( x)满足方程f ( x) ? g ( x ) ? x +x,
2

求f ( x)和g( x)的解析式。

练习2:

已知y ? f ( x)是奇函数,它在(0, ??) 1 上是增函数,且f ( x)?0,试问F ( x) ? f ( x) 在(??, 0)上是增函数还是减函数?证 明你的结论。

例1.已知函数y ? f ( x)是R上的偶 函数, 且在(??, 0]上是减函数, 若 f (a) ? f (2), 求实数a的取值范围 ?
若函数f(x)为偶函数,则f(|x|)=f(x) =f(-x)

练习3:

设定义在 [?2, 2]上 的 偶 函 数 f ( x )在 区 间 [0, 2]上 单 调 递 减 , 若 f (1 ? m ) ? f ( m ), 求实数 m的 取 值 范 围 。

ax ? b 例2.函数f ( x) ? 是定义在(?1,1)上的奇函数, 2 1? x 1 2 且f ( ) ? , 2 5 (1)确定函数f ( x)的解析式; (2)用定义证明f ( x)在( ?1,1)上是增函数; (3)解不等式f (t ? 1) ? f (t ) ? 0.
练习4. 已知函数f ( x)为定义在 ? 0, +? ? 上的 x 增函数,且f ( ) ? f ( x) ? f ( y ), f (2) ? 1, y 1 解不等式f ( x) ? f ( ) ? 2. x ?3

1 练习5.设f ( x)( x ? R)为奇函数, f (1) ? , 2 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2), 求f (5) ? ______
赋值法

例3.函数f ( x), x ? R, 若对于任意实数x, y都有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ).(1)求证 : f ( x)为奇函数. 1 (2)如果x ? 0, f ( x) ? 0, 且f (1) ? ? , 2 求f ( x)在区间[?2,上的最值。 6]

例4.已知f ( x)的定义域是x ? 0的一切实数, 对定义域x1 , x2都有f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ), 且当x ? 1时, f ( x) ? 0, f (2) ? 1, (1)求证 : f ( x)是偶函数; (2)求证 : f ( x)在(0, ??)上是增函数; 5 7 (3)试比较f (? )与f ( )的大小. 2 4

图像定理:

一个函数为奇函数
称 一个函数为偶函数

它的图象关于原点对 ? ?

它的图象关于y轴对称
2

练习:作出函数 y ? ? x ? | x | ?1的 草 图 , ( 1) 求 函 数 值 域 (2) 指 出 函 数 单 调 区 间


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