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山东省2015年高考数学模拟试卷文科

时间:2015-10-19


山东省 2015 年高考模拟冲刺卷(二)

文科数学
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.若集合 A ? { y | 0 ? y ? 2}, B ? {x | ?1 ? x ? 1} ,则 A ? (? R B) ? A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | ?1 ? x ? 0} B. {x |1 ? x ? 2} D. {x | 0 ? x ? 1} ( ) ( )

2.已知复数 z ? (1 ? i)(1 ? 2i) ,其中 i 为虚数单位,则 z 的实部为 A. ? 3 C. ?1 B. 1 D. 3

3.数列 {an } 为等差数列, a1 , a2 , a3 为等比数列, a1 A. 5 C. 0 B. ?1 D. 1

? 1 ,则 a10 ?
y





0 ? ? ? ? )的图象如图 4 .函数 f ( x )=A sin(? x+? ) ( A ? 0,? ? 0,
所示,则 f (0) 的值为 A. 1 C. B. 0 ( )

2

O

? 6

11? 12

x

2

D.

3
2

?2

第 4 题图

5. 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点, 直线 l : x ? ky ? 1 ? 0 与圆 C : x 两点, OM A. ?2 C. 0

? y 2 ? 4 相交于 A, B
( )

???? ?

??? ? ??? ? ? OA ? OB .若点 M 在圆 C 上,则实数 k ?
B. ?1 D. 1

6.如图是一个算法的流程图.若输入 x 的值为 2 ,则输出 A. 0 C. ?2 B. ?1 D. ? 3

y 的值是
开始





7.某防疫站对学生进行身体健康调查,欲采用分层抽样的办法抽 取样本.某中学共有学生 2000 名,抽取了一个容量为 200 的 样本,已知样本中女生比男生少 6 人,则该校共有女生( A. 1030 人 C. 950 人 B. 97 人 D. 970 人 )

输入 x

y ? 1 x ?1 2
| y ? x |? 1
是 输出 否

x ? 2y

8.已知点 P ( a, b) 与点 Q(1, 0) 在直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的两侧,且

a ? 0, b ? 0 , 则 w ? a ? 2b 的取值范围是
A. [ ?





y

2 1 , ] 3 2
1 2

B. ( ? D. ( ?

2 , 0) 3
2 1 , ) 3 2

结束

C. (0, )

9.已知三棱锥 D ? ABC 中, AB ? BC ? 1 , AD ? 2 , BD ? 则关于该三棱锥的下列叙述正确的为 A.表面积 S ?

5 , AC ? 2 , BC ? AD ,
( )

1 ( 5 ? 2 2 ? 3) 2 1 ( 5 ? 2 2 ? 2) 2

B.表面积为 S ? C.体积为 V ? 1 D.体积为 V ?

2 3

10 . 已 知 定 义 在 实 数 集

R 上 的 偶 函 数 f ( x) 满 足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1), 且 当 x ?[0,1]时 ,
1 | x | 在 [?1, 2] 上根的个数是 2
C. 6 D. 8 ( )

f ( x) ? x2 ,则关于 x 的方程 f ( x ) ?
A. 2 B. 4

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.抛物线 x 12.已知
2

? 4 y 的焦点坐标为



y 与 x 之间具有很强的线性相关关系,现观
x

测得到 ( x, y ) 的四组观测值并制作了右边的对照 表,由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为

18

13

10

?1

y

24

34

38


64

? 的值没有写上.当 x 等于 ?5 时,预测 y 的值为 ? ? ? 60 ,其中 b y ? bx
13.已知 | a |? 2,

?

? ? ? ? ? ? | b |? 4 , a 和 b 的夹角为 ,以 a, b 为邻边作平 3


y
5 3

l
(4 , 5)

行四边形,则该四边形的面积为

14. 如图,y ? f ( x) 是可导函数, 直线 l 是曲线 y ? f ( x) 在 x ? 4 处 的切线,令 g ( x ) ?

y ? f ( x)

f ( x) ,则 g ?(4) ? x



O

4

x

15 .对于下列 命题: ①函数 f ( x) ? ax? 1 ? 2 a在区间 (0,1) 内有零点的充分不必要条件是

1 2 ? a ? ;②已知 E , F , G, H 是空间四点,命题甲: E , F , G, H 四点不共面,命题乙: 2 3
直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙成立的充分不必要条件; ③“ a ? 2 ”是“对任意的实数 x , | x ? 1| ? | x ? 1|? a 恒成立”的充要条件; ④“ 0 ? m ? 1 ”是“方程 mx 其中所有真命题的序号是
2

? (m ?1) y 2 ? 1 表示双曲线”的充分必要条件.


三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 2 sin

?
8

x cos

?
8

x ? 2 2 cos 2

?
8

x? 2 , x?R .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 图象上的两点 P, Q 的横坐标依次为 2, 4 , O 为坐标原点,求 ?OPQ 的外接 圆的面积.

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ax ?

4 . x

(Ⅰ)从区间 (?2, 2) 内任取一个实数 a ,设事件 A ={函数 y ? f ( x) ? 2 在区间 (0, ??) 上有 两个不同的零点},求事件 A 发生的概率; (Ⅱ)若连续掷两次骰子(骰子六个面上标注的点数分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6 )得到的点数分 别为 a 和 b ,记事件 B ? {

f ( x) ? b2 在 x ? (0, ??) 恒成立},求事件 B 发生的概率.

18. (本小题满分 12 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 E ? ABC D中 , 底 面 A B C D为 正 方 形 ,

AE ? 平 面 C DE , 已 知
B A

AE ? DE ? 2 , F 为线段 DE 的中点.
(Ⅰ)求证: BE // 平面 ACF ; (Ⅱ)求四棱锥 E ? ABCD 的体积.

C

E
F

D

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , a2 ? 且

1 , 2

[3 ? (?1)n ]an?2 ? 2an ? 2[(?1)n ?1] ? 0 , n ? N* .

(Ⅰ)令 bn

? a2 n?1 ,判断 {bn } 是否为等差数列,并求出 bn ;

(Ⅱ)记 {an } 的前 2 n 项的和为 T2 n ,求 T2 n .

20. (本小题满分 13 分) 已知函数

f ( x) ? e x ? ax , g ( x) ? ax ? ln x ,其中 a ? 0 , e 为自然对数的底数.

(Ⅰ)若 g ( x) 在 (1, g (1)) 处的切线 l 与直线 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂直,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 在 x ? [0, 2] 上的最小值; (Ⅲ)试探究能否存在区间 M ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性?若能存 在,说明区间 M 的特点,并指出 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上的单调性;若不能存在, 请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知动圆 P 与圆 F 1 : ( x ? 3)
2

? y 2 ? 81 相切,且与圆 F2 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 相内切,记圆心

P 的轨迹为曲线 C ;设 Q 为曲线 C 上的一个不在 x 轴上的动点,O 为坐标原点,过点 F2 作
OQ 的平行线交曲线 C 于 M , N 两个不同的点.
(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)试探究 | MN | 和 | OQ | 的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数;若不能,请说 明理由; (Ⅲ)记 ?QMN 的面积为 S ,求 S 的最大值.
2

山 东 省 2015 年 高 考 模 拟 冲 刺 卷 参 考 答 案
1---5B D D A C 14. ? 6--10 C D D A B 11 . (0,1) 12 . 70 13 . 4

3

3 16

15.①②④

16.解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 2 sin

?
8

x cos

?
8

x ? 2(2 cos 2

?
8

x ? 1)

x ? ) ,…2 分 4 4 4 4 2? 所以,函数 f ( x) 的最小正周期为 T ? ? 8 . ………………3 分

? 2 sin

?

x ? 2 cos

?

x ? 2sin(

?

?

?

( k ? Z )得 8k ? 3 ? x ? 8k ? 1 ( k ? Z ) , 2 4 4 2 ? 函数 f ( x) 的单调递增区间是 ?8k ? 3 , 8k ?1? ( k ? Z )………………………………5 分 (Ⅱ)? f (2) ? 2sin(

由 2 k? ?

?

?

?

x?

?

? 2k? ?

?

4

?

f (4) ? 2sin(? ? ) ? ?2sin ? ? 2 , ……………7 分 ? P(2, 2), Q(4, ? 2) 4 4 ? | OP |? 6, | PQ |? 2 3, | OQ |? 3 2
??? ? ???? OP ? OQ 2 ? 4 ? 2 ? (? 2) 3 从而 cos ?POQ ? ??? ? ???? ? ? 3 | OP | ? | OQ | 6 ?3 2

?

? ) ? 2 cos ? 2 , 2 4 4

?

?

?

?sin ?POQ ? 1 ? cos 2 ?POQ ?
设 ?OPQ 的外接圆的半径为 R , 由

6 ,………………………………………………10 分 3

| PQ | | PQ | 2 3 3 2 ? 2R ? R ? ? ? sin ?POQ 2sin ?POQ 2 6 2? 3 9 ? ?OPQ 的外接圆的面积 S ? ? R 2 ? ? ………………………………………………12 分 2 17.解: (Ⅰ)? 函数 y ? f ( x) ? 2 在区间 (0, ??) 上有两个不同的零点,

? f ( x) ? 2 ? 0 ,即 ax 2 ? 2 x ? 4 ? 0 有两个不同的正根 x1 和 x2
? a?0 ? 1 ? x1 ? x2 ? 2 ? 0 1 1 ? a ? 0 ? a ? …4 分 ? P( A) ? 4 ? ?? 4 4 16 ? xx ? 4 ?0 1 2 ? a ?? ? 4 ? 16a ? 0 ?

…………………6 分

(Ⅱ)由已知: a ? 0, x ? 0 ,所以

4 f ( x) ? 2 ax ? ,即 f ( x) ? 4 a x

? f ?x? ? b 2 在 x ? ? 0, ??? 恒成立 ?4 a ? b2 …… (?) ……………………………8 分 当 a ? 1 时, b ? 1 适合 (?) ; 当 a ? 2,3, 4,5 时, b ? 1, 2 均适合 (?) ; 当 a ? 6 时, b ? 1, 2,3 均适合 (?) ; 满足 (?) 的基本事件个数为 1 ? 8 ? 3 ? 12 .…10 分 12 1 ? . …………12 分 而基本事件总数为 6 ? 6 ? 36 ,…………11 分 ? P ( B ) ? 36 3 18.证明: (Ⅰ) 连结 BD 和 AC 交于 O ,连结 OF ,…………………………………………1 分 ? ABCD 为 正 方 形 , ? O 为 BD 中 点 , ? F 为 DE 中 点 , B ? OF // BE , ………4 分 ? BE ? 平面 ACF , OF ? 平面 ACF A ? BE // 平面 ACF .……………………………5 分 O (Ⅱ) 作 EG ? AD 于 G G ? AE ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE ,? AE ? CD , E ? ABCD ? CD ? AD 为 正 方 形 , , C F ? AE ? AD ? A, AD, AE ? 平面 DAE , D ? CD ? 平 面 D A E , … … … … … 7 分 ? CD ? EG , ? AD ? CD ? D , ? EG ? 平面 ABCD ………8 分 ? AE ? 平面 CDE , DE ? 平面 CDE ,? AE ? DE ,? AE ? DE ? 2 ,
? AD ? 2 2 , EG ? 2
…10 分

? f ( x)min ? 4 a ,

1 1 8 2 ………12 分 ? 四棱锥 E ? ABCD 的体积 V ? S? ABCD ? EG ? ? (2 2)2 ? 2 ? 3 3 3 n n 19.解: (Ⅰ)? [3 ? (?1) ]an?2 ? 2an ? 2[(?1) ?1] ? 0 ,

?[3 ? (?1)2n?1 ]a2n?1 ? 2a2n?1 ? 2[(?1)2n?1 ?1] ? 0 , 即 a2n?1 ? a2n?1 ? 2 …………4 分 ? bn ? a2 n?1 ,?bn?1 ? bn ? a2n?1 ? a2n?1 ? 2 ?{bn } 是 以 b1 ? a1 ? 1 为 首 项 , 以 2 为 公 差 的 等 差 数 列 … … 5 分 bn ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1…………6 分
(Ⅱ)对于

[3 ? (?1)n ]an?2 ? 2an ? 2[(?1)n ?1] ? 0 ,
an ? 2 1 ? , an 2

当 n 为偶数时,可得 (3 ? 1)an?2 ? 2an ? 2(1 ?1) ? 0 , 即

? a2 , a4 , a6 , ? 是以 a2 ?

1 1 为首项,以 为公比的等比数列;………………………8 分 2 2 当 n 为奇数时,可得 (3 ?1)an?2 ? 2an ? 2(?1 ?1) ? 0 , 即 an? 2 ? an ? 2 ,

? a1 , a3 , a5 , ?是以 a1 ? 1 为首项,以 2 为公差的等差数列…………………………10 分 ?T2n ? (a1 ? a3 ? ? ? a2n?1 ) ? (a2 ? a4 ? ? ? a2n )

1 1 [(1 ? ( )n ] 1 1 2 ? n2 ? 1 ? n ? [n ?1 ? n(n ? 1) ? 2] ? 2 1 2 2 1? 2
20.解: (Ⅰ)? g ( x) ? ax ? ln x ,? g (1) ? a , g ?( x) ? a ?

…12 分

1 x

1 ? ? ?1 ? g ( x) 在 (1, g (1)) 处 的 切 线 l 与 直 线 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂 直 , ? g ?( 1 ) 3 1 ? (a ? 1) ? ? ?1 ? a ? ?2 ………3 分 3 x (Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 R ,且 f ?( x) ? e ? a .令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(?a) . …4 分 若 ln(?a) ? 0 , 即 ?1 ? a ? 0 时 , f ?( x )? 0, f ( x ) 在 x ? [0, 2] 上 为 增 函 数 , ? f ( x)min ? f (0) ? 1;…………5 分 2 若 ln(?a) ? 2 , 即 a ? ?e 时 , f ?( x )? 0 , f ( x ) 在 x ? [0, 2] 上 为 减 函 数 ,

? f ( x)min ? f (2) ? e2 ? 2a ;……6 分
n a ( 时) , ) f ?( x )? 0 若 0 ? ln(?a) ? 2 , 即 ?e ? a ? ?1 时 , 由 于 x ? [ 0 , l? ;
2

x ? (ln(?a), 2] 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x)min ? f (ln(?a)) ? a ln(?a) ? a
1, ?1 ? a ? 0 ? ? 2 e ? 2a , a ? ?e 2 ……… 8 分 (Ⅲ) g ( x) 的定义域为 综上可知 f ( x) min ? ? ? a ln(?a) ? a, ?e 2 ? a ? ?1 ? 1 ax ? 1 (0,?? ), ? g ?( x) ? 0 , ? g ( x) 在 (0, ? ?) 且 g ?( x ) ? a ? ? . ? a ? 0 时, x x
上单调递减.………9 分 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(?a)

), ?? ) 上 f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 单调递增,由于 ①若 ?1 ? a ? 0 时, ln(?a) ? 0 ,在 (ln( ?a
g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减,所以不能存在区间 M ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有
相同的单调性;……………10 分 ②若 a ? ?1 时, ln(?a) ? 0 ,在 (??, ln(?a)) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减; 在 (ln(?a), ??) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增.由于 g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减,? 存 在区间 M ? (0,ln(?a)] ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上均为减函数. 综上,当 ?1 ? a ? 0 时,不能存在区间 M ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单 调性;当 a ? ?1 时,存在区间 M ? (0,ln(?a)] ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上均为减函 数.………………13 分 21 解: (I)设圆心 P 的坐标为 ( x, y ) ,半径为 R 由于动圆 P 与圆 F 1 : ( x ? 3) 且与圆
2

? y 2 ? 81 相切,

F2 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 相 内 切 , 所 以 动 圆 P 与 圆 F1 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 81 只 能 内 切

?| PF |? 9? R ……2 分 ?| PF ? 8? | F ? 6 ?? 1 1 | ? | PF 2 | 1 F 2 | ?| PF2 |? R? 1
? 圆心 P 的轨迹为以 F1 , F2 为焦点的椭圆,其中 2a ? 8, 2c ? 6 ,

?a ? 4, c ? 3, b ? a ? c ? 7 故圆心 P 的轨迹 C :
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 ……………………4 分 16 7 (II)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), Q( x3 , y3 ) ,直线 OQ : x ? my ,则直线 MN : x ? my ? 3

? 2 ? 2 112m 2 112m 2 ? x ? my x ? x ? ? ? ? 3 ? 7 m 2 ? 16 , ? ? 7 m 2 ? 16 2 由 ? x2 可得: ? ? y ?1 ? y 2 ? 112 ? y 2 ? 112 ? ? ?16 7 3 2 ? ? 7 m ? 16 7 m 2 ? 16 ? ? 112m2 112 112(m2 ? 1) ? | OQ |2 ? x32 ? y32 ? ? ? ……………………………6 分 7m2 ? 16 7m2 ? 16 7m2 ? 16 ? x ? my ? 3 ? 2 2 由 ? x2 可得: (7m ? 16) y ? 42my ? 49 ? 0 y2 ?1 ? ? ?16 7 42m 49 ? y1 ? y2 ? ? , y1 y2 ? ? 2 7m ? 16 7m 2 ? 16

? | MN |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? [(my2 ? 3) ? (my1 ? 3)]2 ? ( y2 ? y1 ) 2
? m 2 ? 1 | y2 ? y1 | ? m2 ? 1 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2

42m 2 49 56(m2 ? 1) …8 分 ? m ? 1 (? 2 ) ? 4(? 2 )? 7m ? 16 7m ? 16 7m2 ? 16 56(m2 ? 1) 2 | MN | 16 ? 1 ? 7m ? ? 2 2 112(m ? 1) 2 | OQ | 7m2 ? 16 1 | MN | 和 | OQ |2 的比值为一个常数,这个常数为 ………9 分 2 (III)? MN / / OQ ,? ?QMN 的面积 ? ?OMN 的面积 ? O 到直线 MN : x ? my ? 3 的距离
2

1 1 56( m 2 ? 1) 3 84 m 2 ? 1 ? S ? | MN | ?d ? ? ? ? d? …11 分 2 2 2 7 m 2 ? 16 m 2 ? 1 7 m ? 16 m2 ? 1 84t 84t 84 2 2 2 令 m ? 1 ? t ,则 m ? t ? 1 (t ? 1) S? 2 ? 2 ? 7(t ? 1) ? 16 7t ? 9 7t ? 9 t 9 3 9 9 14 ,亦即 m ? ? 时取等号) ? 7t ? ? 2 7t ? ? 6 7 (当且仅当 7t ? ,即 t ? t 7 t t 7

3

?当 m ? ?

14 时, S 取最大值 2 7 …………14 分 7


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