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高中数学经典解题技巧和方法--导数及其应用(跟踪训练题)

时间:2011-10-29


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导数及其应用——练习
一、选择题(共 6 小题,每小题 6 分,总分 36 分)

f ? x ? ? x ? 2 f ? ? 2? x ? 3 1.若函数 f ( x ) 在 R 上可导,且 ,则(C)
2

A.

f ? 0? ? f ? 6?

B.

f ? 0? ? f ? 6?

C.

f ? 0? ? f ? 6?

D.无法确定

? 2.函数 f (x) 在定义域 R 内可导,若 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且当 x ? (??,1) 时, ( x ? 1) f ( x) ? 0 ,设

1 b? f( ) a ? f (0) , 2 , c ? f (3) ,则(D)
A. a ? b ? c 3.设函数 A. C. B. b ? c ? a 在 C. c ? b ? a D. c ? a ? b

f ? x ?、g ? x ?

? a, b? 上可导,且 f ' ? x ? ? g ' ? x ? ,则当 a ? x ? b 时有(A)
B.

f ? x? ? g ? a? ? g ? x? ? f ? a? f ? x? ? g ? x?
D.

f ? x? ? g ? x?

f ? x ? ? g ?b ? ? g ? x ? ? f ?b ?

4.设 f '(x)是函数 f(x)的导函数,y=f '(x)的图像如右图所示,则 y=f(x)的图像最有可能的是(C)

, 5. f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间 [ ?11] 上的最大值是(
3 2

C )

A. ?2

B.0

C.2

D.4 ) .

? 6.如图,函数 y ? f (x) 的图象在点 P 处的切线是 l ,则 f (2) ? f (2) =( C

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9 A. 2

B.0

9 C. 8

D.不确定

二、填空题(共 3 小题,每小题 6 分,总分 18 分) 7.过原点作函数 y ? e 的图像的切线,则切点坐标是
x

8.函数 y=x (x>0)的图像在点(ak,ak )处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+1, 其中k ? N ,若 a1=16,则
2 2

?

a1+a3+a5 的值是________ 9.函数 f ( x) ? x ?15x ? 33x ? 6 的单调减区间为
3 2



三、解答题(10、11 小题各 15 分,12 题 16 分) 10.已知函数 f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x=-1 处取得极值,直线 y=m 与 y=f(x)的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围. 11. (2010·安徽安庆高三二模(文) )已知函数 ⑴当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的最小值; ⑵若 f ( x) 在 [1, e ] 上是单调函数,求 a 的取值范围. 12. (2010 届·北京市朝阳区高三一模(文) )已知函数 f ( x) ? mx ? 3x ? 3x , m ? R .
3 2

f ( x) ? ax ?

s ? 3ln x x .

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极值,试求 m 的值,并求 f ( x ) 在点 M (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)设 m ? 0 ,若函数 f ( x ) 在 (2, ? ?) 上存在单调递增区间,求 m 的取值范围.

参考答案

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1.C

2.D

3.A

4.C

5.C

6.C

7. (1, e)

8. 【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。 【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数 y=x (x>0)的图像在点(ak,ak )处的切线的斜率,然后求得切线 方程,再由 y ? 0 ,即可求得切线与 x 轴交点的横坐标。
2 2

? 2 2 2 【 规 范 解 答 】 由 y=x (x>0) 得 , y ? 2 x , 所 以 函 数 y=x (x>0) 在 点 (ak,ak ) 处 的 切 线 方 程 为 :

y ? ak ? 2ak ( x ? ak ), 当 y ? 0 时,解得
2

x?

ak 2 ,

所以

ak ?1 ?

ak , a1 ? a3 ? a5 ? 16 ? 4 ? 1 ? 21 2 .【答案】21

9. 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。

f ?( x) ? 3x2 ? 30 x ? 33 ? 3( x ? 11)( x ? 1) ,


( x ? 11)( x ? 1) ? 0 得单调减区间为 (?1,11) 。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 (?1,11)

【答案】

10. 【解析】(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a), 当 a<0 时,对 x∈R 有 f′(x)>0.∴当 a<0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞).

当a ? 0时,由f'(x)>0,解得x<- a或x ? a ; 由f'(x)<0解得- a <x< a , ?当a ? 0时,f(x)的单调增区间为(-?,- a ),( a , ??); f(x)的单调减区间为(- a , a ).
(2)∵f(x)在 x=-1 处取得极值,∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1. ∴f(x)=x3-3x-1.f′(x)=3x2-3, 由 f′(x)=0 解得 x1=-1,x2=1, 由(1)中 f(x)的单调性可知,f(x)在 x=-1 处取得极大值 f(-1)=1,在 x=1 处取得极小值 f(1)=-3. ∵直线 y=m 与函数 y=f(x)的图象有三个不同的交点, f(-3)=-19<-3.f(3)=17>1,结合 f(x)的单调性可知, 又 m 的取值范围是(-3,1).

11.解析: (1)当 a ? 2 时,

f ( x) ? 2 x ?

2 ? 3 ln x x

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f ?( x) ? 2 ?

2 3 2 x 2 ? 3x ? 2 ? ? x2 x x2
? 1 2 (? x ? 0 ,舍去负值) 。

………2 分

? 令 f ( x) ? 0 得 x ? 2 或

……… 3 分

? 函数 f (x) 及导数 f (x) 的变化情况如下表:

∴当 a ? 2 时,函数 f (x) 的最小值是 5 ? 3 ln 2

……… 6 分

ax2 ? 3x ? a f ?( x) ? x2 (2)? , h( x) ? ax2 ? 3x ? a ? a( x ?


………7 分

3 2 9 ? 4a 2 ) ? 2a 4a

? ? 要使 f (x) 在 ?1, e? 上为单调函数,只需对 ?x ? (1, e) ,都有 f ( x) ? 0 或 f ( x) ? 0
2 ? h(1) ? ?3 ? 0 ,∴ h(e) ? ae ? 3e ? a ? 0 ,∴

a?

3e e ?1
2

………8 分

0?a?
①当

3e e ? 1 时, h( x) ? 0 恒成立即 f ?( x) ? 0 恒成立;
2

……… 10 分

②当 a ? 0 时,

x?

3 ? 0 ?1 ? 2a ,∴ h( x) ? h(1) ? 0 ,∴ f ( x) ? 0 恒成立;……12 分

a?
综上所述:当

3e e ? 1 时, f (x) 在 ?1, e? 上为单调函数
2

………13 分

2 ? 12.解析: (Ⅰ) f ( x ) = 3mx ? 6 x ? 3 .

? 因为函数 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极值,所以 f (?1) ? 0 ,解得 m ? 3 .

? 于是函数 f ( x) ? 3x ? 3x ? 3x , f (1) ? 3 , f ( x) ? 9 x ? 6 x ? 3 .
3 2 2

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? 函数 f ( x ) 在点 M (1,3) 处的切线的斜率 k ? f (1) ? 12 ,
则 f ( x ) 在点 M 处的切线方程为 12 x ? y ? 9 ? 0 .
2

…………………………6 分

? ? (Ⅱ)当 m ? 0 时, f ( x) ? 3mx ? 6 x ? 3 是开口向下的抛物线,要使 f ( x ) 在 (2, ? ?) 上存在子区间使

? m ? 0, ? 1 ? m ? 0, ? ? ≥ 2, ? 1 ? ? m ?? ? 2, ? m 1 ? f ?( ? ) ? 0, ? ? f ?(2) ? 0. f ?( x) ? 0 ,应满足 ? m 或?
? 3 ? 1 3 1 ? ≤m?0 ? ?m?? ? ? , 0? 2 ,所以 m 的取值范围是 ? 4 ? .……14 分 解得 2 ,或 4


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