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高中力学竞赛模拟题竞赛题二答案

时间:2012-07-03


1、提示—— (1)参看图 6 ,将圈分成 n 段,且令 n → ∞ ,每小段对应圆心角θ ,θ → 0 ,对 于这一小段,受力 ? F = 0
x

即 Gtgφ = 2Tsin 而 G = m′g = 计算时应用极限

? 2

? 2?

m·g
sin x x
<

br />lim

x?0

=1

(2)设长度 2π b′,代入第(1)问的一般关系 可得 b′= R 答案: (1)
( 2 ? 1 mg ) 2? R
2

; (2)不能在球上平衡。

2、提示—— 连接四球体的球心,得图 8 所示的正四面形(三维图) ,并可求得
(2 r ) ? ( 3 r ?
2

2 3

)

2

tgθ =
3r ?

2 3

=

2

再参见图 9(竖直平面图) ,可得上球对下球的压力的水平分量 N′= 最后参见图 10(水平平面图) ,有 答案:
6 18

P 3

ctgθ =

2 6

P

3

T = N′

P 。

3、提示—— 本题考查圆周运动动力学 。 参见下图, 为求法向加速度 an1 和 an2 , 先看切向速度 vτ 1 =
v cos ?

=

v sin( ? ? ? )

,vτ 2 = vtgθ = vctg(α +β ) ,即有 an1 =

v ?1 a

2

,an2 =

v ?2 b

2



左边动力学方程:T1 - mgsinα - T2cos(α +β )= m an1 左边动力学方程:T2 - mgsinβ - T1cos(α +β )= m an2 约束方程:
a sin ?

① ②

=

b sin ?

解①②,经艰苦化简后,得 T2 的表达式? 答案:
cos ? sin( ? ? ? )

mg +

cos( ? ? ? ) ? sin ? cos( ? ? ? ) ? mv 4 ?1 ? ? sin ( ? ? ? ) ? sin ? ? a

2

4、提示—— C→D 过程能量守恒
1 2

mv

2 D

= mgR(1-cos30°)
vD R
2

在 D 位置动力学方程 mg cos30°-ND = m 从这两式可以解得:ND =
3 3 ? 4 2

mg

对拱架,以 A 为转轴 Σ M = 0(注意 B 处只能提供竖直向上的作用力) ,即—— NB2R = MgR + NDRcos cos30°,这样 NB 就解决了。 解 NA 还得对拱架用Σ Fx = 0 和Σ Fy = 0 ,即—— NAx = NDx = NDsin30°= ? ≈ 1495N NAy = Mg + NDy-NB = ? ≈ 6295N 最后 NA =
N Ax ? N Ay
2 2

,NA 和竖直方向夹角 θ = arctg

N Ax N Ay



答案:A 处的作用力大小大小约 6470N ,方向竖直偏右 13.4°斜向上;B 处作用力大 小约 6295N ,方向竖直向上。 5、提示:牛顿第二定律是相对惯性系的定律! m2 相对非惯性系 m1 有加速度 m2 相对惯性系 O 有加速度—— a绝 =a相 +a牵 = 答案:m2g + m2(
v0 l2
2

v0 l2

2

(向上) 1 相对惯性系 O 有加速度 ,m

v0 l1

2

(向上) ,故

v0 l2

2

+
v0 l1
2

v0 l1

2

+

) 。

6、提示:这是一个综合动力学途径、动量能量途径解题的复杂事例。 设相关参量如右图。 动量关系: mvB + m(-vx) = 0 ①

能量关系: mgL(1-sinθ) = m( v + v ) + m v
2

1

2

1

2 B

2

x

y

② ③ , vy =

2

约束方程:vBcosθ = vysinθ - vxcosθ 解 ① ② ③ 得 vx = vB = 2
gL (1 ? sin ? ) 2 ? tg ?
2

gL (1 ? sin ? ) 1 ? 2 ctg ?
2

以 B 为参照(非惯性系) 做圆周运动,动力 ,A 学方程为: T + mgsinθ + F*cosθ = m
( v y 相 cos ? ? v x 相 sin ? ) L
2



为求惯性力 F* ,隔离 B ,得 a =

T cos ? m

,故 F* = ma = Tcosθ

而且 vy 相 = vy ,vx 相 = vx + vB = 2vx ,它们代入④式后,得—— T=
4 ? 6 sin ? ? sin ?
3

(1 ? cos ? )
2

2

mg

最后看 B 球,Σ Fy = 0 ,即可求得 N 。 答案:
4 ? 4 sin ? ? 2 sin ?
3

(1 ? cos

2

?)

2

mg 。

5、提示—— (1) (2)问常规,C 至最低点时 AB 分离,考查 C 下滑至最低点过程:
m C ( ? v C ) ? ( m A ? m B ) v AB ? 0 ? ? 1 1 ? 2 2 m gR ? m C v C ? ( m A ? m B ) v AB ? C 2 2 ?

解得 vAB =

gR 3

考查 C“上爬”的过程,对 AC 系统:
m C ( ? v C ) ? m A v AB ? ( m C ? m A )( ? v AC ) ? ? 1 1 ?1 2 2 2 m v ? m A v AB ? ( m A ? m C ) v AC ? m C gH ?2 C C 2 2 ?

解得 H = R ,C 距平台高度 h′= h-R + H
4

3

第(3)问物理思想较难:A 虽做变加速运动,但 AC 整体水平动量恒定,整体质心水 ..... L 平速度恒定,且为 vAC ;另据题意 R<<L ,故可认为滑下的位移 S ≈ ? .....
2

答案: (1)

gR 3

; (2)H-

R 4

; (3)左边,L

3 gR




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