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2014-2015学年度下学期江苏省灌南高级中学高二文科数学周练试卷


江苏省灌南高级中学 2014-2015 高二数学周练试卷
出卷人:袁中飞 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。 1.计算 i ? i ? ? ? i
2 2015

审核人:杨银

的值为





2.已知全集 U ? R, A

? {x | x ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则集合 CU ( A 3.设复数 z 满足:2 i( z ? 1) ? 3 ? 2i ,则 z 的虚部是___▲____;

B) ? ________.

4. 若函数 f ( x ) = x ( x - c ) 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为

2

.

ln x 在点 (1, 0) 处的切线方程为 . x 6.设 x 是纯虚数 , y 是实数,且 2 x ? 1 ? i ? y ? (3 ? y)i ,则 | x ? y |? ....
5. 曲线 C : y ?
3 3 3 3



7.观察下列等式 2 =3+5,3 =7+9+11,4 =13+15+17+19,5 =21 +23+25+27+29, ,若类似上面各式方法将 m 分拆得到的等式右边最后一个数是 131,则正整数 m 等于 8.
3

. 1 3 7 13 5 9 11

把一个周长为 12 cm 的长方形围成一个圆柱, 当圆柱的体积最大时,
[来源:Z*xx*k.Com][来

该圆柱的底面周长与高的比为________.

9. 将正奇数按如图所示的规律排列:则第 n(n≥4) 行从左向右的第 3 个数为 . 10. 对于大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分 裂”:
?13 ?7 ? 3 3 ? .仿此,若 m 的“分裂数”中有一个是 2015, ? ?15 23 ? ? ,33 ? ?9 , 43 ? ? , …… ?5 ?11 ?17 ? ? ?19

15 17 19

第 9 题图 ??

则m?



11 直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x 的图像有相异的三个公共点,则 a 的取值范围是________. 12. 直线 y ? t 与函数 f ( x) ? 2x ( x ? 0), g (x) ? ex 的图像分别交于 A, B 两点,则线段 AB 的长度的最 小值为 ▲ ;

13.设平面点集 A ? ?( x, y) ( y ? x)( y ? ) ? 0? , B ? ( x, y) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ,则 A I B 所表示的

? ?

1 x

? ?

?

?

平面图形的面积 14 . 已 知 等 比 数 列 {an } 的 首 项 为

4 1 , 公 比 为 ? , 其 前 n 项 和 记 为 S , 又 设 3 3

?1 3 5 Bn ? ? , , , ?2 4 8

n2 ? ? 1 , n ? ? n ? N ? , n ? 2 ? , Bn 的 所 有 非 空 子 集 中 的 最 小 元 素 的 和 为 T , 则 2?


S ? 2T ? 2 0 1 的最小正整数 4 n为

1

二、解答题: 15.已知集合 A ? ? x | (1)求集合 A ;

? ?

2x ?1 ? ? 1, x ? R ? ,集合 B ? ? x x ? a ? 1, x ? R? . x ?1 ?

[来源:学科网 ZXXK]

(2)若 B ? CU A ? B ,求实数 a 的取值范围.

16.已知 z 是复数, z (1 ? 2i ) 、 (1)求复数 z

z ?i 均为实数, 2?i

(2)若复数 ( z ? a i )2 在复平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围。

2

17. 下面四个图案, 都是由小正三角形构成, 设第 n 个图形中有 n 个正三角形中所有小正三角形边上黑点 的总数为 f ( n) .

图1

图2

图3

图4

(Ⅰ)求出 f ( 2) , f (3) , f ( 4) , f (5) ; (Ⅱ)找出 f ( n) 与 f (n ? 1) 的关系,并求出 f ( n) 的表达式.

18. (本题满分 16 分)将一个长宽分别为 2 米和 2 k 米( 0 ? k ? 1 )的铁皮的四角切去相同的正方形,然 后折成一个无盖的长方体的盒子,记切去的正方形边长为 x(0 ? x ? k ) ,

5 ,求这个长方体盒子的容积的最大时的 x 的值; 8 (2)若该长方体的盒子的对角线长有最小值,求 k 的范围。
(1)若 k ?

3

19. 己知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x (1)若 f ( x ) 在区间 [1,??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x ? ? 是 f ( x ) 的极值点,求 f ( x ) 在 [1, a] 上的最大值; (3)在(2)的条件下,是否 存在实数 b,使得函数 g ( x) ? bx 的图象与函数 f ( x ) 的图象恰有 3 个交点, 若存在,请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由

1 3

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax , a 为常数. (1)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线与 x 轴平行,求 a 的值; (2)当 a =1 时,试比较 f ? m? 与 f ?

?1? ? 的大小; ?m?

(3)若函数 f ( x ) 有两个零点 x1 、 x2 ,试证明 x1 x2 ? e2 .

4

高二文科数学参考答案
1、 ?1;2、 (0, ?1) ;3、 ?3 ;4、6;5、 ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ;6、
2

29 ; 2

7、11;8、

1 1 1 1 a4 2 ;9、 n ? n ? 5 ;10、 W ? ;11、 ( , e ) ;12、 ;13、 3 或 ; 3 3 e 2 2

14、 {? 3, 3 ? 2}

?? ? m 2 ? 4 ? 0 2 15、解: 若方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两不等的负根,则 ? ?m ? 0
即命题 p : m ? 2 ,????4 分

解得 m ? 2

若方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,则 Δ =16(m-2) -16=16(m -4m+3)<0
2
2 2

解得:1<m<3.即命题 q :1<m<3. ????8 分 由题意知,命题 p、q 应一真一假, 即命题 p 为真,命题 q 为假或命题 p 为假,命题 q 为真. ????10 分

?m ? 2 ?m ? 2 ∴? 或? ?m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3

解得:m≥3 或 1<m≤2. ????14 分

16、解: (1)设 z ? x ? yi ( x, y ? R) ,

z(1 ? 2i) ? ( x ? yi)(1 ? 2i) ? x ? 2 y ? (2 x ? y)i ? R ,则 2 x ? y ? 0
z ? i [ x ? ( y ? 1)i ](2 ? i ) 2 x ? y ? 1 ? ( x ? 2 y ? 2)i ? ? ?R, 2?i 5 5
则 x ? 2y ? 2 ? 0 由①②解得: x ? ②

①??????3 分

??????????????????6 分

2 4 2 4 , y ? ? ,? z ? ? i ??????8 分 3 3 3 3 2 4 8 4 4 4 2 2 2 (2) ( z ? a i ) ? [ ? (a ? )i ] ? ?a ? a ? ? (a ? )i ??????11 分 3 3 3 3 3 3
在复平面上对应的点在第一象限,当且仅当:

4 ? 2 8 ?a ? a ? ? 0 ? 4 ? 3 3 解得: ? a ? 2 ??????14 分 ? 3 ?a ? 4 ? 0 ? 3 ?
17、解: (1) A ? {x | ? x ? x ? 2 ? 0} ? (?2,1) ,???2 分
2

B ? [2 6 ? 4,3) ???6 分,∵ 2 6 ? 1 ? 1 ∴ A B ? (?2,3) ????7 分
(2)由题意知,方程 x ? bx ? c ? 0 必有两个不等实根,记为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,
2

5

C ? (??, x1 ] [ x2 , ??) ;????8 分
( A B) C 为空集,则 x1 ? ?2, x2 ? 3 ????10 分

( A B) C ? R ,则 x1 ? ?2, x2 ? 3 ????12 分
所以 x1 ? ?2, x2 ? 3 ,得 b ? ?1, c ? ?6 ????14 分 18、解: (1) V ? 4(1 ? x)(k ? x) x ? 4[ x3 ? (1 ? k ) x2 ? kx] , x ? (0, k ) ,??3 分

V / ? 4[3x 2 ? 2(1 ? k ) x ? k ] ? 12 x 2 ? 13x ?
得x ?

5 5 ? 0 , x ? (0, ) ??5 分 8 2

5 1 舍去, x ? ;??7 分,列表(略) ,??9 分 6 4

(2)记长方体的盒子的对角线长度为 l 米,

l ? (2 ? 2 x) 2 ? (2k ? 2 x) 2 ? x 2 ? 9 x 2 ? 8(1 ? k ) x ? 4(1 ? k 2 ) x ? (0, k ) ??12 分
l 有最小值,当且仅当
19

4(1 ? k ) 4 ? (0, k ) ??14 分,解得 ? k ? 1 ??16 分 9 5

g ( x) ? bx 的图象与函数 f ( x) 的图象恰有 3 个交点,即 x 3 ? 4 x 2 ? 3x ? bx 恰有 3 个不等实根,注意到

x ? 0 是其中一个根,只需 x 2 ? 4 x ? 3 ? b ? 0 有两个不等零的不等实根. ,可由二次方程得
?? ? 16 ? 4(3 ? b) ? 0 ,从而可求的实数 b 的取值范围. ? ? 3 ? b ? 0 ?

6

1 ? a ,由题 f ?(1) ? 1 ? a=0 ,? a ? 1 .………………………………………4 分 x 1 1? x (2)当 a =1 时, f ( x) ? ln x ? x ,? f ( x) ? ? 1 ? ,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增, x x 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减. 1 1 1 ?1? 由题,令 h ? m ? ? f ? m ? ? f ? ? ? ln m ? m ? (ln ? ) ? 2ln m ? m ? , m m m ?m?
20.解: (1) f ?( x) ?

2 1 ? m 2 ? 2m ? 1 ? m ?1 ? 则 h? ? m ? ? ? 1 ? ………………………………………………7 分 = ? ?? ? ?0. 2 2 m ? m ? m m 又 h ?1? ? 0 , ?1? ①当 0 ? m ? 1 时, h ? m ? ? 0 ,即 f ? m ? ? f ? ? ; ?m? ?1? ②当 m =1 时, h ? m ? =0 f ? m ? =f ? ? ; ?m? ?1? ③当 m ? 1 时,h ? m ? ? 0 即 f ? m ? ? f ? ? .………………………………………………………………10 分 ?m?
(3) ln x1 ? ax1 ? 0 , ln x2 ? ax2 ? 0 ,?ln x1 ? ln x2 ? a ? x1 ? x2 ? , ln x1 ? ln x2 ? a ? x1 ? x2 ? ,

2

7

?

ln x1 ? ln x2 ……………………………………………………………………………………………12 分 =a , x1 ? x2

欲证明 x1 x2 ? e2 ,即证 ln x1 ? ln x2 ? 2 , 因为 ln x1 ? ln x2 ? a ? x1 ? x2 ? , 所以即证 a ?

2 ? x1 ? x2 ? ln x1 ? ln x2 x 2 2 ? ,所以原命题等价于证明 ,即证:ln 1 ? ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x2 x1 ? x2
2

2 ? t ? 1? ? t ? 1? ? 0 x 1 4 ? 令 1 =t ,则 t ? 1 ,设 g ? t ? ? ln t ? , ?t ? 1? , g ? ? t ? ? ? 2 2 t ?1 t ? t ? 1? x2 t ? t ? 1?
所以 g ? t ? 在 ?1, +? ? 单调递增,又因为 g ?1? =0 ,所以 g ? t ? ? g ?1? ? 0 , 所以 ln t ?

2 ? t ? 1? t ?1

,所以 x1 x2 ? e2 …………………………………………………………………………16 分

8