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1.2.2 空间中的平行关系(1)——平行直线(人教B版必修2)

时间:2017-09-08


1.2.2

空间中的平行关系(1)——平行直线
自主学习

学习目标 能认识和理解空间平行线的传递性,会证明空间等角定理. 自学导引 1 . ____________________________ 的两条直线叫做平行线,过直线外一点有且只有 ________直线与这条直线平行. 2.基本性质 4:________________________________,用符号表述为 ________________________________. 3 . 等 角 定 理 : 如 果 一 个 角 的 两 边 与 另 一 个 角 的 两 边 ________________________________,那么这两个角相等. 4.顺次连接不共面的四点 A、B、C、D 所构成的图形叫做________________,四个点 叫做空间四边形的________, 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的______, 连接不 相邻的顶点的线段叫做空间四边形的__________. 对点讲练 知识点一 理解有关概念及性质 例 1 下列叙述是否正确,请说明理由. ①空间四边形的四个顶点不共面,它有四条边两条对角线. ②空间四边形不是平面图形, 可以把它看作同一平面内有一条公共底边的两个三角形沿 着公共底边适当翻折而成的空间图形. ③顺次连接空间四边形四条边的中点得到一个平行四边形. ④四边都相等的四边形都是菱形. ⑤有三个角都是直角的四边形是矩形.

点评 空间四边形是立体几何中的一个重要模型,应掌握其画法及特征. 变式训练 1 在空间四边形 ABCD 中,若 AC=BD,E、F、G、H 分别是 AB、BC、 CD、DA 的中点,则四边形 EFGH 是( ) A.菱形 B.矩形 C.梯形 D.正方形 知识点二 平行公理的应用 例2

如图所示,P 是△ABC 所在平面外一点,D、E 分别是△PAB、△PBC 的重心.求证: 1 DE∥AC,DE= AC. 3

点评 空间图形中的平行,往往转化到某一个平面中去,利用平面性质:如中位线、平 行截割定理等. 变式训练 2

如图所示,在空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点, AE AH CF CG 且 = = = ≠1,那么四边形 EFGH 是什么图形? EB HD FB GD

知识点三 等角定理的应用 例3

如图所示,两个三角形 ABC 和 A′B′C′的对应顶点的连线 AA′、BB′、CC′交 AO BO CO 2 于同一点 O,且 = = = . OA′ OB′ OC′ 3 (1)求证:A′B′∥AB,A′C′∥AC,B′C′∥BC; (2)求 S△ABC 的值. S△A′B′C′

点评 本题考查了等角定理, 等角定理的实质是由两个结论合成的: ①若一个角的两边 与另一个角的两边分别平行且方向相同, 那么这两个角相等; ②若一个角的两边与另一个角 的两边分别平行且一组边的方向相反,那么这两个角互补. 变式训练 3

如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、E1、F1 分别为所在边中点.求证: (1)EF E1F1; (2)∠EA1F=∠E1CF1.

? ?—共面,无公共点 ? ?—基本性质4—空间平行线 1.空间两条直线的位置关系—?—平行— ? 的传递性 ?—等角定理 ? ?—异面
—相交—共面,有一个公共点 2.注意:等角定理的逆命题不成立. 课时作业 一、选择题 1.已知 AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30° ,则∠PQR 等于( ) A.30° B.30° 或 150° C.150° D.以上结论都不对 2.若∠AOB=∠A1O1B1,且 OA∥O1A1,OA 与 O1A1 的方向相同,则下列结论中正确 的是( ) A.OB∥O1B1 且方向相同 B.OB∥O1B1 C.OB 与 O1B1 不平行 D.OB 与 O1B1 不一定平行 3.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P、Q 分别为 AA1、CC1 的中点,则四边形 D1PBQ 是 ( ) A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.空间四边形 4.如图所示,设 E、F、G、H 依次是空间四边形 ABCD

AE AH CF CG 边 AB、BC、CD、DA 上除端点外的点,且 = =λ, = =μ.则下列结论中不 AB AD CB CD 正确的为( ) A.当 λ=μ 时,四边形 EFGH 是平行四边形 B.当 λ≠μ 时,四边形 EFGH 是梯形 1 C.当 λ=μ= 时,四边形 EFGH 是平行四边形 2 1 D.当 λ=μ≠ 时,四边形 EFGH 是梯形 2 5. 已知空间四边形 ABCD 中, M、 N 分别为 AB、 CD 的中点, 则下列判断正确的是( )

1 A.MN≥ (AC+BD) 2 1 B.MN≤ (AC+BD) 2 1 C.MN= (AC+BD) 2 1 D.MN< (AC+BD) 2 题 答 号 案 1 2 3 4 5

二、填空题 6.下列命题中,正确的结论有________(填写序号). ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等; ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角) 相等; ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补; ④如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行. 7.在空间四边形 ABCD 中,点 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点,若 AC=BD,且 AC⊥BD,则四边形 EFGH 的形状为________. 8.

如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,判断下列直线的位置关系: (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________; (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________; (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________; (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________. 三、解答题 9.

如图所示,在一个长方体木块的 A1C1 面上有一点 P,过 P 点作一条直线和棱 CD 平行, 应怎样作?若要求过 P 点画一条直线和 BD 平行,又该怎样作?

10.

AE 如图所示,在三棱锥 A—BCD 中,E,F,G 分别是棱 AB,AC,AD 上的点,且满足 AB = AF AG = . AC AD 求证:△EFG∽△BCD.

【答案解析】 自学导引 1.在同一平面内不相交 一条 2.平行于同一条直线的两条直线互相平行 如果 a∥b,c∥b,那么 a∥c 3.分别对应平行,并且方向相同 4.空间四边形 顶点 边 对角线 对点讲练 例1 解

由空间四边形的定义知命题①②③都是真命题. 空间四边形的四条边可相等, 故命题④ 为假命题.关于命题⑤可构造正方体 ABCD—A1B1C1D1,如图,∠D1AB=∠ABC=∠BCD1

=90° ,但∠AD1C=60° ,四边形 ABCD1 不是矩形,故⑤为假命题. 变式训练 1 A 例 2 证明 连接 PD 并延长交 AB 于 M,连接 PE 并延长交 BC 于 N,则 M 为 AB 的 中点,N 为 BC 的中点,

PD PE 2 ∴MN∥AC,又 = = , DM EN 1 ∴DE∥MN,∴DE∥AC. 又 DE PD 2 = = , MN PM 3

2 1 ∴DE= MN,又因 MN= AC, 3 2 1 ∴DE= AC. 3 变式训练 2 解 四边形 EFGH 是平行四边形. AE AH CF CG 因为 = = = , EB HD FB GD 所以△AEH∽△ABD,△CFG∽△CBD. 设 AE AH CF CG k k = = = =k(k≠1), 则利用相似三角形的性质, 知 EH= BD, FG= BD, EB HD FB GD k+1 k+1

且 EH∥BD,FG∥BD,所以 EH FG,所以四边形 EFGH 是平行四边形. 例 3 (1)证明 ∵AA′与 BB′交于点 O, 且 AO BO 2 = = ,∴AB∥A′B′. OA′ OB′ 3

同理 AC∥A′C′,BC∥B′C′. (2)解 ∵A′B′∥AB,AC∥A′C′且 AB 和 A′B′、AC 和 A′C′方向相反, ∴∠BAC=∠B′A′C′. 同理∠ABC=∠A′B′C′. 因此△ABC∽△A′B′C′,且 ∴ 2?2 4 =? = . ? S△A′B′C′ 3? 9 S△ABC AB AO 2 = = . A′B′ OA′ 3

变式训练 3 证明 (1)连接 BD、B1D1. E、F 分别为 AD、AB 的中点, 1 则在△ABD 中有 EF∥BD 且 EF= BD. 2

同理,E1、F1 分别为 B1C1、C1D1 的中点, 1 则在△C1D1B1 中有 E1F1∥B1D1 且 E1F1= B1D1. 2 而在正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,BB1 DD1. ∴四边形 BB1D1D 为平行四边形, ∴BD∥B1D1 且 BD=B1D1,∴EF E1F1. (2)取 A1B1 的中点 M,连接 BM, 1 则 BF=A1M= AB, 2 又 BF∥A1M,∴BF A1M, ∴四边形 A1FBM 为平行四边形. ∴A1F∥BM,而 M、F1 分别为 A1B1、C1D1 的中点, 则 F1M C1B1,而 C1B1 BC. ∴F1M∥BC 且 F1M=BC. ∴四边形 F1MBC 为平行四边形, ∴BM∥F1C,又 BM∥A1F,∴A1F∥CF1. 同理取 A1D1 的中点 N, 连接 DN,则 A1N DE, 所以四边形 A1NDE 为平行四边形. ∴A1E∥DN,又 E1N∥CD 且 E1N=CD. ∴E1NDC 为平行四边形,∴DN∥CE1. 由基本性质 4,A1E∥CE1. ∴∠EA1F 与∠E1CF1 的两边分别对应平行, 即 A1E∥CE1,A1F∥CF1 且方向都相反. ∴∠EA1F=∠E1CF1. 课时作业 1.B [由等角定理知空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或 互补.] 2.D [等角定理的实质是角的平移,其逆命题不一定成立,OB 与 O1B1 有可能平行, 也可能不在同一平面内,位置关系不确定.] 3.B [设正方体棱长为 2,直接计算可知四边形 D1PBQ 各边均为 行四边形,所以四边形 D1PBQ 是菱形.] 4.D [当 λ=μ 时 EH FG,∴EFGH 为平行四边形, 故 D 中结论不正确.] 5.D 5,又 D1PBQ 是平

[如右图所示,取 BC 中点 E,连接 ME,NE

? ? 1 1 ? 而ME= AC,NE= BD? 2 2 ?
则MN<ME+NE 1 ?MN< (AC+BD).] 2 6.②④ 7.正方形 解析 E、F、G、H 分别为所在边的中点, 由中位线性质知 EF 1 1 AC,GH AC, 2 2

∴EF GH.∴四边形 EFGH 为平行四边形. 又 AC=BD,AC⊥BD,∴EF=FG,且 EF⊥FG. ∴四边形 EFGH 为正方形. 8.(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面 9.解 如图所示,(1)过点 P 作 EF∥C1D1 分别

交 B1C1、A1D1 于点 E、F 即可.因为 CD∥C1D1,所以 EF∥CD. (2)过点 P 作 GH∥B1D1 分别交 B1C1、 C1D1 于点 G、 H 即可. 因为 BD∥B1D1, 所以 GH∥BD. 10.证明 在△ABC 中,∵ EF AE ∴EF∥BC 且 = . BC AB 同理,EG∥BD 且 EG AE = . BD AB AE AF = , AB AC

又∵∠FEG 与∠CBD 的对应两边方向相同, EF EG ∴∠FEG=∠CBD.∵ = , BC BD ∴△EFG∽△BCD.


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