山东省普通高中学生学业水平考试数学模拟试卷(三中)

山东省普通高中学生学业水平考试数学模拟试卷
本试题分第 I 卷和第 II 卷两部分。第 I 卷为选择题，45 分；第 II 卷为非选择题，55 分，共 100 分。考试时间为 90 分钟。 第 I 卷（选择题 共 45 分） 一. 选择题：本大题共 15 个小题；每小题 3 分，共 45 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个 符合题目要求。 1. tan ? 的值为（

7 3

）

A.

3 3

B.

?

3 3

C.

3

D.

? 3
）

2. 已知全集 I ? R，A ? x x ? 1 , B ? x x ? 4 , ，则 CR ? A ? B? 等于（ A. C.

?

?

?

?

?x|1 ? x ? 4?
?x|1 ? x ? 4?

B. D.

? x x ? 1或x ? 4? ? x x ? 1或x ? 4?
） D. 19 C. 17 ）
2

3. 在等差数列 ?an ? 中， a2 ? 7, a6 ? 15, ，则 a8 的值为（ A. 13 B. 15

4. 下列函数在（0，2）上为增函数的是（ A. y ? ?3x ? 1 B.

y?

1 x

C. y ? x ? 4 x ? 3

D.

y ? ? log 1 x
2

5. 若

? ? ? ? ? ? ? 则 a ? 3， ? 4，与 b 的夹角为 ， a ? b 等于（ b a 3
B.

）

A. 5

13

C.

19
）

D.

31

6. 下列物体的正视图和俯视图中有错误的一项是（

7. a、b、c 为直线， ?、?、? 为平面，则下列结论中不正确的是（

）

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1

A. a∥b，b∥c ，则 a∥c C. ?∥?，?∥? ，则 ?∥?

B. a⊥?，b⊥? ，则 a∥b D. a∥?，b∥? ，则 a∥b

8. 在两个袋内，分别有写着 1，2，3，4，5 五个数字的 5 张卡片，今从每个口袋中各抽出一张卡 片，则卡片上的数字之和为 6 的概率为（ A. ）

3 25

B.

4 25

C.

1 5

D.

7 25
a5 的值为（ a2
）

9. 若数列 ?an ? 为等差数列且公差不等于零，又 a1 ，a3 ，a7 成等比数列，则

A.

1 2

B. 2

C.

1 3

D. 3

10. 如图，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站的距离都等于 a，灯塔 A 在观察站 C 的北 偏东 20°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为（ A. a
2 2

）

B.

3a

C.

2a
）

D. 2a

11. 不等式 x ? y ? 0 表示的平面区域是（

12. a，b ? R ，且 a ? b ，则（ A. a ? b
2 2

）

B.

a ?1 b

C.

lg(a ? b) ? 0

D.

1 1 ( ) a ? ( )b 2 2
）

13. 过点 A(m,1), B(?1, m) 的直线与过点 P(1,2), Q(?5,0) 的直线垂直，则 m 的值是（ A. 2 B. -2 C. 3 ） C. y ? ? x ? 5x
2

D. -3

14. 下列函数中，在（2，3）内有零点的是（ A. y ? x ? 3x ? 2
2

B. y ? x ? 5x ? 4
2

D. y ? x ? 8x
3

15. 下列不等式中，正确的是（

）

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2

A. 若 a ? b，c ? d ，则 ac ? bd

a b ? 2 2 c ，则 a ? b B. 若 c 1 1 ? D. 若 a ? b ， ab ? 0 ，则 a b

C. 若 a ? b ，则 ac ? bc
2

2

第 II 卷（非选择题 共 55 分） 二. 填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上。 16. 某工厂生产产品，用传送带将产品送到下一工序，质检员在传送带某一位置，每隔 30 分钟取 一件检验，则这种抽样的方法为__________________________。 17. 若 f ( x) ? ( k ? 2) x ? ( k ? 1) x ? 3 是 偶 函 数 ， 则 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 是
2

______________________。 18. 以（ 2 3，0 ）为圆心，且截直线 y ?

3x 得弦长为 8 的圆的方程为_____________。

? ? ? ? ? ? e1 ， e2 是两个垂直单位向量，则 ( e1 ? e2 ) ·(3 e1 ? 2 e2 ) ＝_____________。 19. 设
20. 函数 y ? 2 sin x ? 2 sin x cos x 的最小正周期为_____________。
2

三. 解答题：本题共 5 小题，共 35 分，解答应写出文字说明或演算步骤。 21. （本小题满分 6 分） 已知 ?an ? 是各项为正数的等比数列，且 a1=1，a2+a3=6，求该数列前 10 项的和.

22. （本小题满分 6 分） 如图，在三棱锥 S—ABC 中，AB＝AC，SB＝SC，求证：BC⊥SA。

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3

23. （本小题满分 7 分） 已知 a

?

? ?? ? ? ? 2 ? (cos 2? ,sin ? ), b ? (1,2sin ? ? 1),? ? ? , ? ? , a ? b ? , 求 cos(? ? ? ) 的值。 5 ?2 ? 4

24. （本小题满分 8 分） 设 f ( x) ? x ? ax 是 R 上的偶函数
2

（1）求实数 a 的值 （2）用定义证明： f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数。

25. （本小题满分 8 分） 已知圆 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 P、Q 两点，O 为原点，且
2 2

? ? OP · OQ ? 0 ，求实数 m 的值。

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4

【试题答案】
一. 选择题（每小题 3 分，共 45 分） 1. C 2. B 3. D 4. D 5. B 6. D 7. D 8. C 9. B 10. B 11. B 12. D 13. B 14. D 15. B 二. 填空题（每小题 4 分，共 20 分） 16. 系统抽样 17.

???，0?

x ? 2 3? 18. ?

2

? y 2 ? 25

19. 1

20.

?

三. 解答题（共 35 分，本大题的每小题只给出一种解法，考生的其他解法，只要步骤合理，解答正 确，均应参照下述评分说明，给予相应的分数） 21. （本小题满分 6 分） 解：设数列 ?an ? 的公比为 q，由 a1=1，a2+a3=6 得：q+q2=6，即 q2+q-6=0，解得 q=-3（舍去）或

a1 (1 ? q10 ) 1 ? 210 q=2∴S10= ? ? 210 ? 1 ? 1023 1? q 1? 2
22. （本小题满分 6 分） 证明：取 BC 的中点 M ∵SB＝SC ∴SM⊥BC（2 分） ∴BC⊥面 SAM（5 分） ∴BC⊥SA（6 分）

又∵AB＝AC ∴AM⊥BC（3 分） 23. （本小题满分 7 分）

2 2 解： a · b ? cos 2? ? sin ? ?2 sin ? ? 1? ? 2 cos ? ? 1 ? 2 sin ? ? sin ? ? 1 ? sin ? （2 分）
? ?

?

?

由

a·b ?

2 2 3 1 ? sin ? ? ， sin ? ? 5 ，得 5 5 （3 分）

?? ? ∵? ? ? ，? ? ?2 ?
∴ cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 4 5 （5 分）

?? 2 2 2 ? 4? 2 3 7 2 ? ∴ cos? ? ? ? ? cos? ? sin ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? 4? 2 2 2 ? 5? 2 5 10 （7 分）
24. （本小题满分 8 分）
2 2 （1）因为函数 f ( x) ? x ? ax 是偶函数， f (? x) ? x ? ax ? f ( x) ，即 x ? ax ? x ? ax ，所以
2 2

a ? 0.

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5

（ 2 ） 证 明 ： 由 （ 1 ） 知 f ( x) ? x 2 ， 任 设 两 个 变 量 x1 , x2 ? (0,??) ， 不 妨 设 x1 ? x2 ， 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ，因为 x1 ? x2 ，所以 x1 ? x2 ? 0 ，又 x1 , x2 ? (0,??) ，
2 2

所以 x1 ? x2 ? 0 ，所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0 ， f ( x1 ) ? f ( x2 ) ，即函数 f ( x ) 在

(0, ??) 上为增函数.
25. （本小题满分 8 分） 解：设 P x1，y1 ，Q x2 ，y2

?

?

?

?

? ? k ? ·k ? ? ?1 OP · OQ ? 0 ，得： OP OQ 由

y1 y · 2 ? ?1 x2 即 x1 ，即 x1 ·x2 ? y1 ·y2 ? 0

? 1 ? （2 分）

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 2 2 另， ? x1，y1 ?，? x2 ，y2 ? 是方程组 ? x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 的实数解
即 x1 ，x 2 是 5x ? 10x ? 4m ? 27 ? 0
2

? 2 ? 的两个实数根
?3?

∴x1 ? x 2 ? 2 ，x1 ·x 2 ?

4m ? 27 5

（4 分）

又 P、Q 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上

∴y1 ·y 2 ?

1 1 ?3 ? x1 ?· ?3 ? x2 ? 2 2 1 9 ? 3? x1 ? x 2 ? ? x1 ·x 2 4 （6 分） y1 ·y 2 ? m ? 12 5 ?4?

?

?

?

将<3>代入得：

将<3><4>代入<1>知： m ? 3 （7 分） 代入方程<2>检验△＞0 成立。

∴m ? 3 （8 分）

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