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山东省普通高中学生学业水平考试数学模拟试卷(三中)


山东省普通高中学生学业水平考试数学模拟试卷
本试题分第 I 卷和第 II 卷两部分。第 I 卷为选择题,45 分;第 II 卷为非选择题,55 分,共 100 分。考试时间为 90 分钟。 第 I 卷(选择题 共 45 分) 一. 选择题:本大题共 15 个小题;每小题 3 分,共 45 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个 符合题目要求。 1. tan ? 的值为(



7 3



A.

3 3

B.

?

3 3

C.

3

D.

? 3


2. 已知全集 I ? R,A ? x x ? 1 , B ? x x ? 4 , ,则 CR ? A ? B? 等于( A. C.

?

?

?

?

?x|1 ? x ? 4?
?x|1 ? x ? 4?

B. D.

? x x ? 1或x ? 4? ? x x ? 1或x ? 4?
) D. 19 C. 17 )
2

3. 在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 7, a6 ? 15, ,则 a8 的值为( A. 13 B. 15

4. 下列函数在(0,2)上为增函数的是( A. y ? ?3x ? 1 B.

y?

1 x

C. y ? x ? 4 x ? 3

D.

y ? ? log 1 x
2

5. 若

? ? ? ? ? ? ? 则 a ? 3, ? 4,与 b 的夹角为 , a ? b 等于( b a 3
B.



A. 5

13

C.

19


D.

31

6. 下列物体的正视图和俯视图中有错误的一项是(

7. a、b、c 为直线, ?、?、? 为平面,则下列结论中不正确的是(



第 1 页 共 6 页

1

A. a∥b,b∥c ,则 a∥c C. ?∥?,?∥? ,则 ?∥?

B. a⊥?,b⊥? ,则 a∥b D. a∥?,b∥? ,则 a∥b

8. 在两个袋内,分别有写着 1,2,3,4,5 五个数字的 5 张卡片,今从每个口袋中各抽出一张卡 片,则卡片上的数字之和为 6 的概率为( A. )

3 25

B.

4 25

C.

1 5

D.

7 25
a5 的值为( a2


9. 若数列 ?an ? 为等差数列且公差不等于零,又 a1 ,a3 ,a7 成等比数列,则

A.

1 2

B. 2

C.

1 3

D. 3

10. 如图,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站的距离都等于 a,灯塔 A 在观察站 C 的北 偏东 20°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( A. a
2 2



B.

3a

C.

2a


D. 2a

11. 不等式 x ? y ? 0 表示的平面区域是(

12. a,b ? R ,且 a ? b ,则( A. a ? b
2 2



B.

a ?1 b

C.

lg(a ? b) ? 0

D.

1 1 ( ) a ? ( )b 2 2


13. 过点 A(m,1), B(?1, m) 的直线与过点 P(1,2), Q(?5,0) 的直线垂直,则 m 的值是( A. 2 B. -2 C. 3 ) C. y ? ? x ? 5x
2

D. -3

14. 下列函数中,在(2,3)内有零点的是( A. y ? x ? 3x ? 2
2

B. y ? x ? 5x ? 4
2

D. y ? x ? 8x
3

15. 下列不等式中,正确的是(



第 2 页 共 6 页

2

A. 若 a ? b,c ? d ,则 ac ? bd

a b ? 2 2 c ,则 a ? b B. 若 c 1 1 ? D. 若 a ? b , ab ? 0 ,则 a b

C. 若 a ? b ,则 ac ? bc
2

2

第 II 卷(非选择题 共 55 分) 二. 填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上。 16. 某工厂生产产品,用传送带将产品送到下一工序,质检员在传送带某一位置,每隔 30 分钟取 一件检验,则这种抽样的方法为__________________________。 17. 若 f ( x) ? ( k ? 2) x ? ( k ? 1) x ? 3 是 偶 函 数 , 则 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 是
2

______________________。 18. 以( 2 3,0 )为圆心,且截直线 y ?

3x 得弦长为 8 的圆的方程为_____________。

? ? ? ? ? ? e1 , e2 是两个垂直单位向量,则 ( e1 ? e2 ) ·(3 e1 ? 2 e2 ) =_____________。 19. 设
20. 函数 y ? 2 sin x ? 2 sin x cos x 的最小正周期为_____________。
2

三. 解答题:本题共 5 小题,共 35 分,解答应写出文字说明或演算步骤。 21. (本小题满分 6 分) 已知 ?an ? 是各项为正数的等比数列,且 a1=1,a2+a3=6,求该数列前 10 项的和.

22. (本小题满分 6 分) 如图,在三棱锥 S—ABC 中,AB=AC,SB=SC,求证:BC⊥SA。

第 3 页 共 6 页

3

23. (本小题满分 7 分) 已知 a

?

? ?? ? ? ? 2 ? (cos 2? ,sin ? ), b ? (1,2sin ? ? 1),? ? ? , ? ? , a ? b ? , 求 cos(? ? ? ) 的值。 5 ?2 ? 4

24. (本小题满分 8 分) 设 f ( x) ? x ? ax 是 R 上的偶函数
2

(1)求实数 a 的值 (2)用定义证明: f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数。

25. (本小题满分 8 分) 已知圆 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 P、Q 两点,O 为原点,且
2 2

? ? OP · OQ ? 0 ,求实数 m 的值。

第 4 页 共 6 页

4

【试题答案】
一. 选择题(每小题 3 分,共 45 分) 1. C 2. B 3. D 4. D 5. B 6. D 7. D 8. C 9. B 10. B 11. B 12. D 13. B 14. D 15. B 二. 填空题(每小题 4 分,共 20 分) 16. 系统抽样 17.

???,0?

x ? 2 3? 18. ?

2

? y 2 ? 25

19. 1

20.

?

三. 解答题(共 35 分,本大题的每小题只给出一种解法,考生的其他解法,只要步骤合理,解答正 确,均应参照下述评分说明,给予相应的分数) 21. (本小题满分 6 分) 解:设数列 ?an ? 的公比为 q,由 a1=1,a2+a3=6 得:q+q2=6,即 q2+q-6=0,解得 q=-3(舍去)或

a1 (1 ? q10 ) 1 ? 210 q=2∴S10= ? ? 210 ? 1 ? 1023 1? q 1? 2
22. (本小题满分 6 分) 证明:取 BC 的中点 M ∵SB=SC ∴SM⊥BC(2 分) ∴BC⊥面 SAM(5 分) ∴BC⊥SA(6 分)

又∵AB=AC ∴AM⊥BC(3 分) 23. (本小题满分 7 分)

2 2 解: a · b ? cos 2? ? sin ? ?2 sin ? ? 1? ? 2 cos ? ? 1 ? 2 sin ? ? sin ? ? 1 ? sin ? (2 分)
? ?

?

?



a·b ?

2 2 3 1 ? sin ? ? , sin ? ? 5 ,得 5 5 (3 分)

?? ? ∵? ? ? ,? ? ?2 ?
∴ cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 4 5 (5 分)

?? 2 2 2 ? 4? 2 3 7 2 ? ∴ cos? ? ? ? ? cos? ? sin ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? 4? 2 2 2 ? 5? 2 5 10 (7 分)
24. (本小题满分 8 分)
2 2 (1)因为函数 f ( x) ? x ? ax 是偶函数, f (? x) ? x ? ax ? f ( x) ,即 x ? ax ? x ? ax ,所以
2 2

a ? 0.

第 5 页 共 6 页

5

( 2 ) 证 明 : 由 ( 1 ) 知 f ( x) ? x 2 , 任 设 两 个 变 量 x1 , x2 ? (0,??) , 不 妨 设 x1 ? x2 , 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ,因为 x1 ? x2 ,所以 x1 ? x2 ? 0 ,又 x1 , x2 ? (0,??) ,
2 2

所以 x1 ? x2 ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即函数 f ( x ) 在

(0, ??) 上为增函数.
25. (本小题满分 8 分) 解:设 P x1,y1 ,Q x2 ,y2

?

?

?

?

? ? k ? ·k ? ? ?1 OP · OQ ? 0 ,得: OP OQ 由

y1 y · 2 ? ?1 x2 即 x1 ,即 x1 ·x2 ? y1 ·y2 ? 0

? 1 ? (2 分)

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 2 2 另, ? x1,y1 ?,? x2 ,y2 ? 是方程组 ? x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 的实数解
即 x1 ,x 2 是 5x ? 10x ? 4m ? 27 ? 0
2

? 2 ? 的两个实数根
?3?

∴x1 ? x 2 ? 2 ,x1 ·x 2 ?

4m ? 27 5

(4 分)

又 P、Q 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上

∴y1 ·y 2 ?

1 1 ?3 ? x1 ?· ?3 ? x2 ? 2 2 1 9 ? 3? x1 ? x 2 ? ? x1 ·x 2 4 (6 分) y1 ·y 2 ? m ? 12 5 ?4?

?

?

?

将<3>代入得:

将<3><4>代入<1>知: m ? 3 (7 分) 代入方程<2>检验△>0 成立。

∴m ? 3 (8 分)

第 6 页 共 6 页

6


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