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2012年高一数学竞赛解答10


2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

平面几何竞赛基础 10

── 圆内接四边形与四点共圆
姓名:

爱因斯坦曾说:如果平面几何不能激起一个人的好奇心,那么这个人在科学上的发展也不会很远诶. 自学处理方法:先阅读完成例题解答,再独立完成练习并将解答回发 jyl

ingbin@163.com 邮箱,以便批阅反馈. 注意要求目的: 要求独立完成, 可以参阅资料. 目的是开学后考试选拔 100 名思维好且钻研能力强的竞赛选手.

一、基本知识 性质定理:圆内接四边形的对角互补,圆内接四边形的外角等于内对角. 判定定理:平面上的四个点如果具备下列条件之一,则四点共圆: (1)对角互补(或一个外角等于内对角)的四边形,四个顶点共圆; (2)具有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆; (3)有公共底边且顶点在公共边的同侧的两个三角形的顶角相等,则它们的四个顶点共圆. 二、重要例题 例 1.两个角的边交于点 A、B、C、D,已知这两个角的平分线互相垂直, 求证:点 A、B、C、D 四点共圆.(提示:用外角等于内对角) ∵∠BAD=180°-∠AEM-∠AME=180°-
1 2


1 2
A M N D

AEB-∠FMN=180°- ∠BFC)=90°-
∠BCD=
1 2
1 2

1 2

∠AEB-(90°-
1 2

∠AEB+
1 2

∠BFC
1 2
E

∠BFC+∠FPC=
1 2

∠BFC+(90°-
1 2

B

∠AEB)= 90°-

∠AEB+

∠BFC

P

C

∴∠BAD=∠BCD ∴点 A、B、C、D 四点共圆 例 2.如图,如果在凸五边形 ABCDE 中,∠ABC= ∠ ADE 且 ∠ AEC= ∠ ADB , 求 证 : ∠ BAC= ∠ DAE.(提示:连 AF ,先证 A、B、C、F 四点
C

F

共圆)

D B F E

∵∠AEC=∠ADB ∴A,F,D,E 四点共圆 ∴∠AFE=∠ADE,而∠ADE=∠ABC ∴∠AFE=∠ABC

1
A

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教练员 凌彬

∴A,B,C,F 四点共圆 ∴∠BCA=∠BFA=∠DEA ∵∠ABC=∠ADE, ∠BCA=∠DEA ∴∠BAC=∠DAE 例 3.如图,两圆 O1,O2 相交于 A,B,圆 O1 的弦 BC 交 圆 O2 于 E,圆 O2 的弦 BD 交圆 O1 于 F;求证: (1)若 ∠DBA=∠CBA, DF=CE; 若 DF=CE, 则 (2) 则∠DBA= ∠CBA.(提示:按图中辅助线,用好所标的角) (1)∵∠1=∠2 ∴AD=AE ∵四边形 AFBC 为⊙O1 的内接四边形 ∴∠6=∠5,同理∠3=∠4 ∴△ADF≌△AEC(AAS) ∴DF=EC (2) ∵四边形 AFBC 为⊙O1 的内接四边形 ∴∠6=∠5,同理∠3=∠4 又∵DF=CE ∴△ADF≌△AEC(ASA) ∴AD=AE ∴∠DBA=∠CAE 例 4.梯形 ABCD 中(BC∥AD)对角线交点为 O,在线段 AO 和 DO 上取点 M 和 N,使得:∠BMD= ∠ANC;求证:B、M、N、C 四点共圆.(提示:过 B、C、M 画圆) 过 B,C,M 画圆,交 BD 于 N′ ∴∠CBN=∠CMN′ N′ ∵BC∥AD ∴∠CBN=∠BDA ∴∠CMN′=∠BDA ∴M,N′,D,A 四点共圆 ∴∠CAN′=∠BDM ∵B,M,N′,C 四点共圆 ∴∠MBD=∠N′CA ∴∠BMD=∠CN′A ∵∠BMD=∠ANC ∴∠ANC=∠AN′C ∴N,M,B,C 四点共圆 例 5.在以 C 为圆心,以 MN 为直径的半圆上有 A、B 两个不同的点,点 P 在 CN 上,而且∠CAP=
? ? ∠CBP= 10? ,如果 MA ? 40? ,求 BN 的度数.(提示:连结 AB )

连接 AB ∵∠CAP=∠CBP ∴A,C,P,B 四点共圆 ∴∠ABP=∠ACM=40° ∴∠ABC=30° ∵AC=BC ∴∠ACB=100°

A B

M C P

N

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教练员 凌彬

∴∠BCM=20° ? ∴ BN =20° 例 6.四边形 ABCD 内接于圆,通过 M 和 N 分别表示直线 AB 和 CD,BC 和 AD 的交点;设 B1 是已 知圆同过点 B、M、N 三点的圆异于 B 的交点;求证:直线 B1D 平分线段 MN.(提示:先平行四
边形 NDMK , KD 与过 A B C 三点的圆交于 B1 ,连结 、、
BB1 )

过N作CM的平行线与过M作DN的平行线交于K ∴NDMK 为平行四边形 ∴∠NKM=∠NDM=∠ADC ∵∠B+∠ADC=180° ∴∠B+∠NKM=180° ∴B,N,K,M 四点共圆 又∵∠BB1D=∠BCD, ∠BB1K=∠BNK=∠BCD ∴∠BB1D==∠BCK ∴B1,D,K 共线 ∴B1D 与 BK 重合于平行四边形 NKMD 的对角线 DK 上, ∴B1D 平分 MN 三、巩固练习 10 (以下两道题的解答要回发到邮箱 jylingbin@163.com) 1.P 是△ABC 的外接圆上一点,由 P 向各边 BC、CA、AB 引垂线 PD、 PE、PF,求证:三个垂足 D、E、F 共线. 连接 PC ∵∠BFP=∠BDP=90° ∴F,B,P,D 四点共圆 ∴∠FDB=∠FPB 同理 D,P,E,C 四点共圆 ∴∠CDE=∠CPE ∵四边形 ABPC 为内接四边形 ∴∠FBP=∠PCE 又∵∠BFP=∠E=90° ∴∠BPF=∠EPC ∴∠FDB=∠CDE ∵∠FDB+∠FDC=180° ∴∠CDE+∠FDC=180° ∴D,E,F 共线 2.设在△ABC 三边 BC、CA、AB 所在直线上各任取一点 X、 Y、Z,求证:三个圆 ? AYZ 、 ? BZX 、 ? CXY 共点. 设⊙AYZ 与⊙BZX 交于异于 Z 点的 O,连结 OX,OZ,OY

∵四边形OZBX为⊙BZX内接四边形 ∴∠OXC=∠BZO 同理∠BZO=∠AYO ∴∠OXC=∠AYO
3

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教练员 凌彬

∴O,X,C,Y四点共圆 ∴O在⊙CXY上 即⊙AYZ, ⊙BZX, ⊙CXY共点

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