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2013年度高三一模考试数学文理合卷

时间:2014-02-25


黄浦区 2013 学年度第一学期高三年级期终调研测试

数学试卷(文理合卷)
(2014 年 1 月 9 日)
考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷上的解答一 律无效; 2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚; 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分;考试时

间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果, 每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 f ( x) ?

log 2 ( x ?1) 的定义域是 x?2



2 . 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ?? x | | ?x ?1 | ? 2x?,

? x?2 ? R ?? B , ? x | ? ? , 0x ,则 R x ? ?

(CU A) ? B =


?1

3.已知幂函数 f ( x) 存在反函数,且反函数 f

( x) 过点 (2, 4) ,则 f ( x) 的解析式是



7 ? 3x ? 2 的解是 x = 4.方程 x 9 ?2

. ( n? N ) .
*

5.已知数列 ? an ? 是公差为 2 的等差数列,若 a6 是 a7 和 a8 的等比中项,则 an ? 6.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (1, ?2) ,若 a || b ,则代数式

?

?

? ?

2sin ? ? cos ? 的值是 sin ? ? cos ?



? sin x
7.三阶行列式 6 cos x

0

?1

?5
值是

2 sin x ( x ? R )中元素 4 的代数余子式的值记为 f ( x) ,则函数 f ( x) 的最小 4 0

*

8 . 各 项 都 为 正 数 的 无 穷 等 比 数 列 ? an ? ( n ? N ) 满 足 a2 ? m, a4 ? t , 且 ?

? x ? m, 是增广矩阵为 ?y ? t
.

?a11 x ? a12 y ? c1 , ? 3 ?1 22 ? 的线性方程组 的解, 则无穷等比数列 ? an ? 各项的和的数值是 ? ? ? ?0 1 2 ? ?a21 x ? a22 y ? c2

【1】

1 ? ? 9. ? 3 x ? ? 的二项展开式中的常数项的值是 x? ?

15



10.把 4 个颜色各不相同的乒乓球随机地放入编号为 1、2、3、4 的四个盒子里,则恰好有一个盒子是 空盒的概率是 (结果用最简分数表示).

11.将某个圆锥体沿着母线和底面圆周剪开后展开,所得的平面图形是一个圆和扇形,已知该扇形的半 径为 24cm,圆心角为

4? ,则圆锥的体积是 3

cm3 .

12.从某项有 400 人参加的群众性运动的达标测试中,随机地抽取 50 人的成绩统计成如下表,则 400 人的成绩的标准差的点估计值是 分数 人数 5 5 4 15 .(保留小数点后两位小数) 3 20 2 5 1 5

13.设向量 ? ? (a, b), ? ? (m, n ) ,其中 a、b、m、n ? R ,由不等式 | ? ? ? |?| ? | ? | ? | 恒成立,可以 证明(柯西)不等式 (am ? bn) ? (a ? b )(m ? n ) (当且仅当 ? || ? , 即a 等号成立)恒成立. n ? b m 时,
2 2 2 2 2

? ?

??

? ? ??

? ?

??

? ? ??

? 已知 x、y ? R ,且不等式 x ? 3 y ? k ? x ? y 恒成立,利用柯西不等式,可求得实数 k 的取值范围




n *

14 . ( 理科 )已知数列 ? an ? 满足 an ?1 ? (?1) an ? n (n ? N ) ,则数列 ? an ? 的前 2016 项的和 S 2016 的值 是 .
n *

(文科) 已知数列 ? an ? 满足 a1 ? ?42 , an ?1 ? (?1) an ? n(n ? N ) ,则数列 ? an ? 的前 2015 项的和 S 2015 的值是 .

二.选择题(本大题满分 20 分) 本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的相 应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知实数 a、b 满足 ab ? 0 ,则“ A.充分非必要条件

1 1 ? 成立”是“ a ? b 成立”的 a b

[答] (

).

B.必要非充分条件 C.充要条件

D.非充分非必要条件

16.已知空间两条不同直线 m, n ,两个不同平面 ? , ? ,给出下面四个命题: ① m // n, m ? ? ? n ? ? ③ m // n, m // ? ? n // ? 其中真命题的序号是 A.①④ B.②③ C.①②④ D.①③④
【2】

② ? || ? , m ? ? , n ? ? ? m || n
? ?

④ ? // ? , m // n, m ? ? ? n ? ? [答] ( ).

17.某程序框图如图所示,现输入下列四个函数,则可以输出的函数是

[答] ( 开始

).

1 1 ? 2 ?1 2 x 1 C. f ( x ) ? x ? x 2 ?1 2
A. f ( x ) ?
x

B. f ( x) ? lg

1? x ? 2x 1? x 3 D. f ( x) ? ?2 x ? x
[答]( ).

输入函数 f ( x)

18.已知 z1、z2、z3 ? C ,下列结论正确的是 A.若 z1 ? z2 ? z3 ? 0 ,则 z1 ? z2 ? z3 ? 0
2 2 2

f ( x) ? f ( ? x) ? 0




B.若 z1 ? z2 ? z3 ? 0 ,则 z1 ? z2 ? ? z3
2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3

2

C.若 z ? z ? ? z ,则 z ? z ? z ? 0 D.若 z1 ? ? z1 ( z 为复数 z 的共轭复数),则 z1 是纯虚数

f ( x) ? 0 有实数根
是 输出函数 f ( x)



三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题 卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 结束 第 17 题图

19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.

A1 在底面 ABC 内的射影 O 为底面 ?ABC 的 已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱长和底面边长都是 2,
中心.如图所示. (理科)(1)联结 BC1 ,求异面直线 AA1 与 BC1 所成角的大小; (理科)(2) 求三棱锥 C1 ? BCA1 的体积 VC1 ? BCA1 .

C1 A1 B1

C

O

A

B

第 19 题图

(文科)(1) 联结 BC1 ,若 BC1 ? 2 2 ,求异面直线 AA1 与 BC1 所成角的大小; (文科)(2)求四棱锥 A1 ? BCC1 B1 的体积 VA1 ? BCC1B1 .

【3】

20.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? c ( ? ? 0, x ? R , c 是实数常数)的图像上的一个最高点是

? 2? ( ,1) ,与该最高点最近的一个最低点是 ( , ?3) . 6 3
(1)求函数 f ( x) 的解析式及其单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 AB ? BC ? ? 是区间 M .当 x ? M 时,试求函数 f ( x) 的取值范围. 21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分. 我国西部某省 4A 级风景区内居住着一个少数民族村,该村投资了 800 万元修复和加强民俗文化基 础设施.据调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个月内(每月按 30 天计)每天的旅游人数 f ( x) 与第 x 天近似地满足 f ( x) ? 8 ?

??? ? ??? ?

1 ac ,角 A 的取值范围 2

8 (千人) ,且参观民俗文化村的游客人均消费 g ( x) 近似地满足 x

g ( x) ? 143? | x ? 22 | (元).
(1)求该村第 x 天的旅游收入 p ( x) (单位千元, 1 ? x ? 30, x ? N )的函数关系;
*

(2)若以最低日收入的 20%作为每一天的纯收入的计量依据,并以纯收入的 5%的税率收回投资成 本,试问该村在两年内能否收回全部投资成本?

22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ?

ax 2 ? bx ? c (其中 a、b、c、d 是实数常数, x ? ?d ). x?d

(1)若 a ? 0 ,函数 f ( x) 的图像关于点 (?1,3) 成中心对称,求 b、d 的值; (2)若函数 f ( x) 满足条件(1),且对任意 x0 ? [3,10] ,总有 f ( x0 ) ? [3,10] ,求 c 的取值范围; (3) 若 b ? 0 , 函 数 f ( x) 是 奇 函 数, f (1) ? 0, f (?2) ? ?

3 , 且 对 任意 x ?[1, ??) 时 , 不 等 式 2

f ( mx) ? mf ( x)? 0恒成立,求负实数 m 的取值范围.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.

【4】

(理科)已知数列 ? an ? 满足 a2 ? 6 ,

an ?1 ? an ? 1 1 ? (n ? N * ) . an ?1 ? an ? 1 n

(1)已知 b1 =1,设 bn ?1 ?

an?1 (n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 所满足的递推公式; n(n ? 1)

(2)求数列 ? an ? 的通项公式; (3) 已知 lim

a n ? 0 ,设 cn ? n ( n ? N * ,常数 c ? 0, c ? R ) ,若数列 ?cn ? 是等差数列,记 n n ?? 2 n?c
n ??

Sn ? c1c ? c2c 2 ? c3c3 ? ? ? cn c n ,求 lim S n .
(文科)已知数列 ? an ? 满足 a2 ? 6 , (1)求 a1、a3、a4、a5 的值; (2)猜想数列 ? an ? 的通项公式 an ,并用数学归纳法证明你的猜想; (3) 已知 lim

an ?1 ? an ? 1 1 ? (n ? N * ) . an ?1 ? an ? 1 n

a n ? 0 ,设 bn ? n n (n ? N * ) ,记 Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ,求 lim S n . n n ?? n ?? 2 n?2

【5】


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