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2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练09 导数的几何意义以及应用


考点 9 导数的几何意义以及应用
【考点分类】 热点一 导数的几何意义
4 2

1.【2013 年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】已知曲线 y ? x ? ax ? 1 在点 ? -1,a ? 2 ? 处切线的斜率为 8, a= ( (A) 9 )
[来源:学科网 ZXXK]

(B) 6
<

br />(C) -9

(D) -6

2.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理】若曲线 y ? kx ? ln x 在点 ?1, k ? 处的切线平行于 x 轴, 则 k ? ______.

3.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科】若曲线 y ? x? (? ? R) 在点(1,2)处的切线经过坐标 原点,则 ? = .

4.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】设函数 f ( x) 在 (0, ??) 内可导,且 f (e ) ? x ? e , 则
x x

f ?(1) =__________.

5.(2012 年高考(课标文) )曲线 y ? x(3ln x ?1) 在点(1,1)处的切线方程为________

【答案】 4 x ? y ? 3 ? 0

【方法总结】
求曲线的切线方程有两种情况,一是求曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线方程,其方法如下: (1)求出函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数,即曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率. (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为 y=y0+f′(x0)(x-x0).如果曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线平行于 y 轴,由切线定义可知,切线方程为 x=x0. 二是求曲线 y=f(x)过点 P(x0,y0)的切线方程,其方法如下: (1)设切点 A(xA,f(xA)),求切线的斜率 k=f′(xA),写出切线方程. (2)把 P(x0,y0)的坐标代入切线方程,建立关于 xA 的方程,解得 xA 的值,进而写出切线方程.

热点二

导数的几何意义的应用

7.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】已知函数 f ( x) ? x ? a ln x( a ? R ) (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值.

8.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理】已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (Ⅰ) 若直线 y=kx+1 与 f (x)的反函数的图像相切, 求实数 k 的值; (Ⅱ) 设 x>0, 讨论曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx 2 (m ? 0) 公共点的个数. (Ⅲ) 设 a<b, 比较
f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) 与 的大小, 并说明理由. 2 b?a

g ( x)min ? g (2) ?

e2 e2 () 1 m ? 时,两曲线有2个交点; ,所以 4 4

(2)m=
(Ⅲ)

e2 e2 时,两曲线有1个交点; (3)m ? 时,两曲线没有交点。 4 4

f (a ) ? f (b) f (b) ? f (a) e a ? eb e a ? eb 1 ? eb?a 1 ? eb ?a ? ? ? ? ea ( ? ) 2 b?a 2 b?a 2 b?a (b ? a )(1 ? eb ? a ) ? 2(1 ? eb ? a ) ? ea 2(b ? a ) ? a ? b, 令b ? a ? t ? 0 t (1 ? et ) ? 2(1 ? et ) e a ? 上式 ? e ? ?? (t ? 2)et ? t ? 2 ? ? ? 2t 2t 令g (t ) ? (t ? 2)et ? t ? 2,则g '(t ) ? (t ? 3)et ? 1 ? 0恒成立
a

? g (t ) ? g (0) ? 0 而

ea ea ?0 ? ?? (t ? 2)et ? t ? 2 ? ??0 2t 2t ? f (a ) ? f (b) f (b) ? f (a) 故 ? . 2 b?a
3 2

9.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)理】已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x ? 3x ? 3ax ? 3a ? 3. (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 x ? [0,2] 时,求 | f ( x) | 的 最大值.



2 3 ? a ? 时, 3 ? 4a ? 0 ,所以 f ( x1 ) ?| f (2) | ,所以此时 | f ( x) |max ? f ( x1 ) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a ; 3 4

1 0.【2013 年全国高考新课标(I)理科】已知函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x) 都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2.

(Ⅰ)求 a,b,c,d 的值 (Ⅱ)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围.

11.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理】 设 l 为曲线 C: y ? (I)求 l 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 l 的下方. [解析] 利用导数的几何意义求出切线的斜率,写出点斜式方程,最后化为一般式.要证曲线 C 在直线 l 的下方,只

ln x 在点(1,0)处的切线. x

1 2.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)文科】已知函数 f ( x) ? x ? 1 ?

a ( a ? R, e 为自然对数的 ex

底数) (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f ( x) ? 处的切线 平行于 x 轴,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值; (Ⅲ)当 a ? 1 时,若直线 l : y ? kx ? 1与曲线 y ? f ( x) 没有公共点,求 k 的最大值.

? k ? 1? x ?

1 ex

(*)

在 R 上没有实数解. ①当 k ? 1 时,方程(*)可化为

1 ? 0 ,在 R 上没有实数解. ex

13.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】 已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (Ⅰ) 求 f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

1 2 x ? x ? 1 有唯一公共点. 2 f (b) ? f (a) ?a?b? (Ⅲ) 设 a<b, 比较 f ? 的大小, 并说明理由. ?与 b?a ? 2 ?
(Ⅱ) 证明: 曲线 y = f (x) 与曲线 y ? 【解析】本题涉及函数与导数,为压轴题.本题第一问涉及了求导与指数函数的反函数.属于导函数的基本应用,体 现了压轴题的低切入点特征.本题第二问考查曲线与曲线的公共点个数,到了第二问,考查难度平稳提升.第三问比 较大小可采用作差构造,再求导,并综合考察基本不等式的应用.第三问考查细致入微,需要思考分析.具有一定的 区分度.本题命题常规,难度大.

14.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)文科】 知 a ? R ,函数 f ( x ) ? 2 x (Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y (Ⅱ)若 | a |? 1 ,求
3

? 3(a ? 1) x 2 ? 6ax

? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程.
[来源:学.科.网]

f ( x) 在闭区间 [0,2 | a |] 上的最小值.

【答案】 (Ⅰ)当 a ? 1 时,

f ( x) ? 2 x3 ? 6 x 2 ? 6 x ? f (2) ? 16 ? 24 ? 12 ? 4 ,所以

f ?( x) ? 6 x 2 ? 12 x ? 6 ? f ?(2) ? 24 ? 24 ? 6 ? 6 ,所以 y ? f ( x) 在 (2, f (2)) 处的切线方程是:

15.【2013 年全国高考新课标(I)文科】 已知函数 f ( x) ? e (ax ? b) ? x ? 4 x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处切线方程为 y ? 4 x ? 4 .
x 2
[来源:Zxxk.Com]

(Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性,并求 f ( x) 的极大值. 【答案】 (1) f (0) ? 4 , f ( x) ? e (ax ? b) ? ae ? 2 x ? 4 ,故 ?
' x x x 2 ' x x

? f ' (0) ? 4 ? f (0) ? 4

,解得 a ? b ? 4 ;
x

(2) f ( x) ? e (4 x ? 4) ? x ? 4 x , f ( x) ? e (4 x ? 4) ? 4e ? 2 x ? 4 ? ( x ? 2)(4e ? 2) ;令 x ? 0 ,所以 x ? ?2 或 x ? ln

1 ? ? ln 2 ,所以当 x 变化时, f ' ( x) 、 f ( x) 变化如下表所示: 2
(??, ?2)
+ 单调递增

x
f ' ( x)
f ( x)
所以极大值 f (?2) ? 4 ?

?2
0 极大值

(?2, ? ln 2)
单调递减

? ln 2
0 极 小值

(? ln 2, ??)
+ 单调递增

4 . e2

16.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文】 已知函数 f ( x) ? x ? x sin x ? cos x .
2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (a, f (a)) 处与直线 y ? b 相切,求 a 与 b 的值. (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? b 有两个不同的交点,求 b 的取值范围.

17.(2012 年高考(重庆理) )设 f ( x) ? a ln x ?

1 3 ? x ? 1, 其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直 2x 2

于 y 轴. (Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x) 的极值.

18.(2012 年高考(山东文) )已知函数 f ( x) ?

ln x ? k (k 为常数,e=2.71828 是自然对数的底数),曲线 y ? f ( x) 在点 ex

(1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行.

(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调 区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? xf ?( x) ,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 .[

19.(2012 年高考(湖北文) )设函数 f ( x) ? ax (1 ? x) ? b( x ? 0) , n 为正整数, a, b 为常数,
n

曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 . (1)求 a, b 的值; (2)求函数 f ( x) 的最大值; (3)证明: f ( x) ?

1 . ne

所以 (

nn 1 n ? 1 n?1 ? ) ? e ,即 n ?1 (n ? 1) ne n nn 1 ? ,故所证不等式成立. n ?1 (n ? 1) ne
2

由(2)知, f ( x) ?

20.(2012 年高考(北京文) )已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ( a ? 0 ), g ( x) ? x ? bx .
3

(1)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点(1, c )处具有公共切线,求 a, b 的值; (2)当 a ? 3, b ? ?9 时,求函数 f ( x) ? g ( x) 在区间 [k , 2] 上的最大值为 28,求 k 的取值范围.

21.(2012 年高考(北京理) )已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ( a ? 0 ), g ( x) ? x ? bx .
2

3

(1)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点(1, c )处具有公共切线,求 a, b 的值; (2)当 a 2 ? 4b 时,求函数 f ( x) ? g ( x) 的单调区间,并求其在区间 (??, ?1] 上的最大值.

2 2.(2012 年高考(安徽文) )设定义在(0,+ ? )上的函数 f ( x) ? ax ?

1 ? b(a ? 0) ax

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小值; (II)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ?

3 x ,求 a, b 的值. 2

f ?( x) ? a ?

1 1 3 ? f ?(1) ? a ? ? 2 ax a 2



由①②得: a ? 2, b ? ?1

【考点剖析】
一.明确要求
1.了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. 3. 能 利 用 给 出 的 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 和 导 数 的 四 则 运 算 法 则 求 简 单 函 数 的 导 数 .

4.[ 理 ] 能 求 简 单 的 复 合 函 数 ( 仅 限 于 形 如 f( ax+b) 的 复 合 函 数 ) 的 导 数 .

二.命题方向
1.导数的运算是导数的基本内容,在高考中每年必考,一般不单独命题,而在考查导数应用的同时 进行考查. 2.导数的几何意义是高考重点考查的内容,常与解析几何知识交汇命题. 3.多以选择题和填空题的形式出现,有时也出现在解答题中关键的一步.

三.规律总结
一个区别 曲 线 y= f(x)“ 在 ” 点 P(x0, y0)处 的 切 线 与 “ 过 ” 点 P(x0, y0)的 切 线 的 区 别 : 曲 线 y= f(x)在 点 P(x0, y0)处 的 切 线 是 指 P 为 切 点 , 若 切 线 斜 率 存 在 时 , 切 线 斜 率 为 k = f ′ ( x 0 ) ,是 唯 一 的 一 条 切 线 ;曲 线 y = f ( x ) 过 点 P ( x 0 ,y 0 ) 的 切 线 ,是 指 切 线 经 过 P 点 , 点 P 可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条. 两种法则 (1) 导 数 的 四 则 运 算 法 则 . (2) 复 合 函 数 的 求 导 法 则 . 三个防范 1. 利 用 公 式 求 导 时 要 特 别 注 意 除 法 公 式 中 分 子 的 符 号 , 防 止 与 乘 法 公 式 混 淆 . 2. 要 正 确 理 解 直 线 与 曲 线 相 切 和 直 线 与 曲 线 只 有 一 个 交 点 的 区 别 . 3. 正 确 分 解 复 合 函 数 的 结 构 , 由 外 向 内 逐 层 求 导 , 做 到 不 重 不 漏 .

【考点模拟】
一.扎实基础 1. 【湖南师大附中 2013 届高三第六次月考】曲线 y ? lg x 在 x ? 1 处的切线的斜率是(
A. )

1 ln10

B. ln10

C. ? lg e

D. ?

1 lg e

2 2. 【广东省惠州市 2013 届四月高三第一次模拟考试】 设 P 为曲线 C :y ? x ? 2 x ? 3 上的点, 且曲线 C 在点 P 处

切线倾斜角的取值范围为 ?0,

? ?? ,则点 P 横坐标的取值范围为 ( ? 4? ?

)

A . ? ?1, ?

? ?

1? 2? ?

B.

? ?1, 0?

C.

? 0,1?

D . ? ,1? ?2 ?

?1 ?

3. 【2013 年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】曲线 y ? x( x ? 1)( x ? 2) ? 3 ln x 在点 (1 , 0 ) 处的切线方程
为( ) (A) 4 x ? y ? 4 ? 0 (C) 3x ? y ? 3 ? 0 (B) 4 x ? y ? 4 ? 0 (D) 3x ? y ? 3 ? 0

1 4. 【广西百所高中 2013 届高三年级第三届联考】已知曲线 y1 ? 2 ? 与 y2 ? x3 ? x 2 ? 2 x 在 x
x ? x0 处切线的斜率的乘积为 3,则 x0 的值为(
A.-2 B.2 ) C.

1 2

D.1

5. 【广西百所高中 2013 届高三年级第三届联考】经过曲线 f ( x) ? x 2 ( x ? 2) ? 1上点 (1, f (1))
处的切线方程为( A. x ? 2 y ? 1 ? 0 ) B. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

1 6. 【山东省烟台市 2012-2013 学年度第一学期模块检测】曲线 y ? ( ) x 在 x ? 0 点处的切线方程是( 2
A. x ? y ln 2 ? ln 2 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 B. x ln 2 ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0



7. 【山 西 省 2012—2013 年度高三第二次诊断考试】曲线 y ? e x 在点(2, e 2 ) 处的切线与坐标轴所围成的三角形
的面积为( A. e 2 【答案】D
2 【解析】∵点 (2, e ) 在曲线上,∴切线的斜率 k ? y

) B. 2e2 C. 4e2 D.

e2 2

' x?2

? ex

x?2

? e2 ,∴切线的方程为 y ? e2 ? e2 ( x ? 2) ,即

1 e2 e2 x ? y ? e2 ? 0 ,与两坐标轴的交点坐标为 (0, ?e 2 ) , (1, 0) ,∴ S ? ?1? e2 ? 2 2

8.【北京东城区普通校 2012—2013 学年高三第一学期联考】 若曲线 y ?
平行,则切点坐标为 ,切线方程为 .

3 2 1 x ? x ? 的某一切线与直线 y ? 4 x ? 3 2 2

9.【广州市 2013 届高三年级 1 月调研测试】 若直线 y ? 2 x ? m 是曲线 y ? x ln x 的切线, 则实数 m 的值为

.

10. 【2013 安徽省省级示范性高中名校高三联考】函数 f ( x) ? e x ? cos x 的图像在点 A(0, f (0)) 处的切线方程
是 .

二.能力拔高

? ? 11. 【2013 年“江南十校”高三学生第二次联考(二模)测试】若曲线 y ? x sin x ? 1 在点 ( , ? 1) 处的切线与 2 2
直线 mx ? 2 y ? 1 ? 0 互相垂直,则实数 m=( A. ?2 B. ?1 C .2 D.1 )

12. 【河北省保定市 2013 年高三第一次模拟考试】设函数 f(x)=|sinx|的图象与直线 y=kx(k>0)有且仅
有三个公共点,这三个公共点横坐标的最大值为 ? ,则 ? 等于( A.-cos ? B. tan ? C. sin ? D. )

?

13. 【2013 年安徽省马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测】若 ? 是 f ( x) ? sin x ? x cos x 在 (0, 2? ) 内的一个
零点,则对 ?x ? (0, 2? ), 下列不等式恒成立的是( A. ) D. ? ? cos? ? x ? cos x

sin x sin ? ? x ?

B. cos ? ?

sin x x

C.

3? ? ? ? 2? 2

1 ? 4? 14. 【山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试】曲线 y ? x 3 ? x 在点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的三 3 ? 3?
角形面积为( A. ) B.

2 9

1 9

C.

1 3

D.

2 3

【答案】B

15. 【山东省烟台市 2012-2013 学年度第一学期模块检测】 ( 某厂将原油精炼为汽油,需对
原油进行冷却和加热,如果第 x 小时,原油温度(单位:℃)为

f ( x) ?
A.8

1 3 x ? x 2 ? 8(0 ? x ? 5), ,那么原油温度的瞬时变化率的最小值为( 3 20 B. C.-1 D.-8 3



16. 【云南玉 溪一中 2013 届第四次月考试卷】已知函 数 f ( x) ? x 2 ? (m ? 1) x ? 2m 是偶函数,且 f ( x) 在 x ? 1 处
的切线方程为 (n ? 2) x ? y ? 3 ? 0 ,则常数 m, n 的积等于__________.

17. 【天津市新华中学 2011-2012 学年度第一学期第二次月考】 已知点 P 在曲线 y ?
的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是__________.

4 上, ? 为曲线在点 P 处 e ?1
x

1350 ? ? ? 1800 .

18. 【北京市东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测】 (本小题共 13 分)
已知 a ? R ,函数 f ( x) ?

a ? ln x ? 1 . x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? 0, e ? 上的最小值.

19.【广东省揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模 拟】 (本小题满分 14 分)
已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? ax ? bx ,函数 g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平行于 x 轴.
2

(1)确定 a 与 b 的关系; (2)试讨论函数 g ( x) 的单调性; (3)证明:对任意 n ? N * ,都有 ln ?1 ? n ? ?

?
i ?1

n

i ?1 成立. i2

20. 【北京市东城区普通校 2012-2013 学年第二学期联考试卷】
已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x 2

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求函数 f ( x) 在(1, f (1) )处的切线方程; (Ⅱ)讨论函数 f ( x) 的单 调区间 解: (1)当 a ? 2 时, f ( x) ?

1 2 x ? 2 x ? ln x 2

三.提升自我 21. 【2013 年安徽省安庆市高三模拟考试(三模) 】
已知函数 f ( x) ? ax ? 8 x与g ( x) ? bx ? cx 的图像都过点 P(2,0),且它们在点 P 处有公共切线.
3 2

(1)求函数 f ( x) 和 g ( x) 的表达式及在点 P 处的公切线方程; (2)设 F ( x) ?

mg ( x) ? ln( x ? 1),其中m ? R,求F ( x) 的单调区间. 8x
3

解: (1)∵ f ( x) ? ax ? 8 x 过点 P(2, 0),

22. 【吉林市普通高中 2012—2013 学年度高中毕业班下学期期末复习检测】
已知定义在 (?

? ?

? , ) 的函数 f ( x) ? eax tan x (a ? 0) ,在 x ? 处的切线斜率为 6e ? 2 2 4
f ( x) 的单调区间;

(Ⅰ)求 a 及

(Ⅱ)当 x ? [0,

?
2

) 时, f ( x) ? mx 恒成立,求 m 的取值范围.

则对于任意 m ? 1 ,必存在 k ? ,使得 g (k ) ? 0 (0, )
'

?

2

必存在 x 0 ? (0, k ) 使得 g ( x0 ) ? 0 则 g ' ( x) 在 (0, x0 ) 为负数,
'

23. 【四川省成都高新区高 2013 届第 4 学月统一检测】
已知函数 f ( x) ? a ln( x ? b) , g ( x) ? ae x ? 1(其中 a ? 0 ,b ? 0 ) ,且函数 f ( x) 的图象在点 A(0, f (0)) 处的切线与函数
g ( x) 的图象在点 B(0, g (0)) 处的切线重合.

(Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)若 ?x0 ,满足
x0 ? m ? x0 ,求实数 m 的取值范围; g ( x0 ) ? 1

(Ⅲ)若 x2 ? x1 ? 0 ,试探究 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 与 g ( x2 ? x1 ) 的大小,并说明你的理由.

24. 【江西省南昌市 2013 届二模考试】
已知函数 g ( x) ? 2a ln( x ? 1) ? x ? 2 x
2

(1)当 a ? 0 时,讨论函数 g ( x) 的单调性:

[来源:Z|xx|k.Com]

(2)若函数 f ( x) 的图像上存在不同两点 A,B,设线段 AB 的中点为 P( x0 , y0 ) ,使得 f ( x) 在点 Q( x0 , f ( x0 )) 处的 切线 l 与直线 AB 平行或重合,则说函数 f ( x) 是“中值平衡函数” ,切线 l 叫做函数 f ( x) 的“中值平衡切线”.试判 断函数 g ( x) 是否是“中值平衡函数”?若是,判断函数 g ( x) 的“中值平衡切线”的条数;若不是,说明理由.

25. 【山东省济南市 2013 届高三高考第一次模拟考试】(本小题满分 14 分)
已知函数 f ( x) ? (ax ? x ? 1)e ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R .
2 x

(1)若 a ? 1 ,求曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (3)若 a ? ?1 ,函数 f ( x) 的图象与函数 g ( x) ?

1 3 1 2 x ? x ? m 的图象有 3 个不同的交点,求实数 m 的取值范围. 3 2

(3)由(2)知, f ( x) ? (? x ? x ? 1)e 在 (??,?1] 上单调递减,在 [?1,0] 单调递增,在 [0,??) 上单调递减,
2 x

所以 f ( x) 在 x ? ?1处取得极小值 f (?1) ? ?

3 ,在 x ? 0 处取得极大值 f (0) ? ?1 . e
???????10 分

由 g ( x) ?

1 3 1 2 x ? x ? m ,得 g ?( x) ? x 2 ? x . 3 2

【考点预测】
1.设函数 f(x)在 R 上是可导的偶函数,且满足 f (x-1)=-f (x+1),则曲线 y=f (x)在点 x=10 处的切线的斜率为 ( ) A.-1 B. 0 C. 1 D. 2

即切线 方程为 y ? 1 ? ?

1 ( x ? 1) , 2 1 1 2 即为 y ? ? x ? ,将 y ? ? x 改写成 x ? ? y , 2 2 1 1 将 y ? ? x ? 改写成 x ? 1 ? 2 y 2 2 1 1 1 1 因此 S ? ? [(1 ? 2 y ) ? (? y 2 )]dy ? ( y 3 ? y 2 ? y ) |1 ? ?1 ? 1 ? . 0 0 3 3 3

4 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? x ? ax ? bx ( a, b ? R )
3 2

的 图 象 如 下 图 所 示 ,它 与 x 轴 在 原 点 处 相 切 ,且 x 轴 与 函 数 图 象 所 围 区 域 ( 图 阴影
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部 分 )的 面 积 为

1 ,则 a 的值为 12




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