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浙江省金华十校2015届高三上学期期末联考数学(理)试题

时间:2016-07-26


金华十校 2014?2015 学年第一学期调研考试

高三数学(理科)试题卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间 120 分钟. 试卷总分为 150 分.请考生按规 定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
参考公式: 球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式 表示棱柱的高. V= 棱柱的体积公式 V=Sh 其中 S 表示棱柱的底面积

, h

4 3 πR 3

棱台的体积公式 V=

其中 R 表示球的半径 棱锥的体积公式 下底面积,h 表示棱 V=

1 h(S1+ S1S2 +S2) 3

其中 S1、S2 表示棱台的上、

1 Sh 3

台的高.

其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高.

第 Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 设集合 A={x|x2+3x<0},B={x| x<? 1},则 A∩B= A.{x| ? 3<x<? 1} B.{x| ? 3<x<0} 2. 若 a, b∈R,那么 A.a>b C.a<b<0 C.{x| x<? 1} D.{x|x>0}

1 1 ? 成立的一个充要条件是 a b
B.ab(a?b)<0 D.a<b
2 2

3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.2 C.4 A.若 m,n 与?所成的角相等,则 m∥n C.若 m⊥?,m⊥n,则 n∥?
2 2

3 正视图 1
5

1 侧视图

B.

4 3
D .5

俯视图

(第 3 题图)

4.对于平面?和共面的两条不同的直线 m,n,下列命题是真命题的是 B.若 m∥?, n∥?,则 m∥n D.若 m ??, n∥?,则 m∥n

5. 若直线 y=kx+1 与圆 x +(y ? 1) =4 的两个交点关于直线 2x ? y+a=0 对称,则 k,a 的值为

1 C. k ? , a ? 1 2 S S 1 6. 已知 Sn 表示等差数列{an}的前 n 项和,且 5 ? , 那么 5 S10 3 S20

1 A. k ? ? , a ? ?1 2

1 B. k ? , a ? ?1 2

1 D. k ? ? , a ? 1 2

A.

1 9

B.

1 10

C.

1 8

D.
y

1 3
C

7. 如图,F1,F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0) 的左、 a 2 b2

右焦点,P 为双曲线右支上一点,圆 A 与△P F1F2 三边所在直线都相切,切点分别为 B,C,D,若|PB|=a, 则此双曲线的离心率为 A.
2
F1 O

P A B F2 D x

(第 7 题图)

B. 2

C.

3

D.3

8. 已知 f ? x ? ? a x ? 2 ,若 f ? f ? x ?? ? f ? x ? 恒成立,则 a 的取值范围为 A. a ≤ ?1 B. ?2 ? a ? 0 C. 0 ? a ? 2 D. a ≥ 1

第 Ⅱ卷
二、填空题:本大题有 7 小题, 9-12 题每题 6 分,13-15 题每题 4 分,共 36 分.把答案填在答题 卷的相应位置. 9. 已知函数 f(x)=ln(4 ? x2),则 f(x)的定义域为 ▲ .
? x ? 3 y ? 3 ≤0, ? 10.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 1≥ 0, ,则点 P(x,y)构成的区域的面积为 ▲ ,2x+y 的最大 ? y ≥ -1 ? y



,当 x=



时,f(x)有最大值

值 为 ▲ . 11.已知函数 f(x)=2sin(? x+? )(?>0)的图像如图所示,则
?? ? ,若将函数 f(x)的图像向左平移? ? 0 ? ? ? ? 2? ? 个单位后得到一个偶函数,则?= ▲ . 12. 设平面向量组 ai(i=1,2,3,?)满足: ①|ai|=1; ②ai· ai+1=0, 则|a1+a2|= ▲ ,|a1+a2+a3|的 最 大 值 为 ▲ .

?

? 6

?? 12

O ? 2

x

?=



(第 11 题图)

D′ A′ D A C C′ B (第 14 题图)

13.已知正数 x,y 满足: x+4y=xy,则 x+y 的最小值为





14. 如图, 在矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1, 在平面内将矩形 ABCD 绕点 B 按顺时针方向旋转 60° 后得到矩形 A' BC' D', 则点 D' 到 直线 AB 的距离是
2





15.设 A,B 是抛物线 C:y =2px(p>0)上的两个动点,线段 AB 的中点为 M,F 为抛物线 C 的焦 AB 点,且?AFB=60?,过 M 作抛物线 C 的准线 l 的垂线,垂足为 N,则 的取值范围为 MN ▲ .

三.解答题:本大题共 5 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16. (本题满分 15 分) 已知在△ABC 中,角 A,B,C 对边分别是 a,b,c,若 B 为钝角, 且 (Ⅰ) 求角 A; ??? ? ???? (Ⅱ) 若 AB ? AC ? 3 ,且 a ? 5 ,求 b 和 c 的值.

1 1 ? ?2 2 . sin A cos A

17. (本题满分 15 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,?BAD=60?,侧棱 PA⊥ 底面 ABCD,E、F 分别是 PA、PC 的中点. P (Ⅰ)证明:PA∥平面 FBD; (Ⅱ)若二面角 E ? BD ? F 的大小为 60°,求 PA 的长.
F E

D A B

C

18. (本题满分 15 分) 1 x2 y 2 如图,椭圆 C: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 ,两个焦点恰好在圆 O:x2+y2=1 上. 2 a b (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过椭圆 C 左焦点 F 的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 G,线段 FG 的中点为 M,直线 MO 交椭圆 C 于 A,B 两点,且 AB ? 2 2 FG ,求直线 l 的方程。
A G M F O x y

19. (本题满分 15 分)

B

1 已知数列{an}是公比为正整数的等比数列,若 a2=2 且 a1 , a3 ? , a4 成等差数列, 2
(Ⅰ)求数列{an}的通项 an; (Ⅱ)定义:
n 为 n 个正数 P1,P2,P3,?,Pn( n∈N*)的“均倒数” , P 1 ? P 2 ?? ? P n 1 2 an ? 1

(ⅰ)若数列{bn}前 n 项的“均倒数”为 (ⅱ)试比较

(n∈N*) ,求数列{bn}的通项 bn;

1 2 n ? ? ? ? 与 2 的大小,并说明理由. b1 b2 bn

20. (本题满分 14 分)

?3x2 ? 2ax ? a ? 6, x ? 0 ? 已知函数 f(x)= ? 2 . ? ?3x ? (a ? 3) x ? a, x ≥ 0
(Ⅰ) 当 a=1 时,求 f(x)的最小值; ( Ⅱ ) 若 a ≤ 1 且存在三个不同的实数 x1,x2,x3 使得 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? f? x 3? ,求证:

2 ? ≤ x1 ? x2 ? x3 ? 0 . 3

金华十校 2014?2015 学年第一学期调研考试

高三数学(理科)卷评分标准与参考答案
一、选择题(5×8=40 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 D 5 D 6 B 7 B 8 A

二、填空题(9-12 题每题 6 分,13-15 题每题 4 分,共 36 分) 9.(?2,2), 0,ln4; 13.9; 三. 解答题(74 分) 16.解: (Ⅰ)∵ 10.8, 11; 14. 3 ? 11.2, 15. [1, 2)

? ; 3

12. 2 , 5 ;

1 2

1 1 ? ? 2 2 ,∴ sin A ? cos A ? 2 2 sin A cos A , sin A cos A



?? ? 2 sin ? A ? ? ? 2 sin 2 A 4? ?

?? ? 即 sin ? A ? ? ? sin 2 A 4? ?

∵ A

为 锐 角 , ∴

A?

? 4

????

7分

(Ⅱ)由题意可得: bc cos A ? 3 ,∴ bc ? 3 2 . 由余弦定理可得: b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 5 ,∴ b 2 ? c 2 ? 11 , ?b ? 3 ?c ? 3 ? ? ? ?b ? 3 联立解方程组可得 ? 或? ,因为 B 为钝角,所以 ? ??? 15 分 ? ? ?c ? 2 ? ?b ? 2 ?c ? 2 P 17.解: (Ⅰ)连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OF, ∵O、F 分别是 AC、PC 的中点, ∴FO∥PA. ???????????? 5 分 F ∵PA 不在平面 FBD 内, ∴PA∥平面 FBD. ????????? 7 分 E (Ⅱ) 解法一:连接 EO,∵PA⊥平面 ABCD, E ∴PA⊥AC,又∵ABCD 是菱形,∴AC⊥BD, ∴BD⊥平面 PAC,则 BD⊥EO,BD⊥FO, D O ∴ ? EOF 就是二面角 E ? BD ? F 的平面角 ? 11 分 A B 连接 EF,则 EF∥AC,∴EF⊥FO, ∵ EF ?
1 3 EF 1 AC ? ,在 Rt△OFE 中, FO ? ? ,故 PA=2FO =1.?? 2 2 tan 60? 2
P z

C

15 分

(Ⅱ)解法二:因为 FO∥PA,PA⊥底面 ABCD, ∴FO⊥底面 ABCD,又 AC⊥BD,以 O 为坐标原点, 如图所示,分别以射线 OA,OB,OF 为 x,y,z 轴的正半轴, 建立空间直角坐标系 O-xyz,设 PA=h,

F E E D x A C O B y

? 3 ? 由题意可知各点坐标如下:O(0,0,0),A ? ? 2 ,0,0 ? ?, ? ? ? 3 ? 1 ? ? 1 ? ? B ? 0, ,0 ? ,D ? 0, ? ,0 ? ,P ? ,0, h ? ? ?, 2 ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? 3 h? E? ? 2 ,0, 2 ? ? ? ?
??????? 11 分

???? ???? ???? ? 3 1 h ? ? ?m ? AD ? 0 设平面 EBD 的法向量为 m=(x,y,z),可算得 DB =(0,1,0), DE ? ? , ? ? 2 ,2,2? ? 由 ? m ? ??? AE ? 0 ? ? ? ?
y?0 ? ? 即? 3 可取 m ? h,0, ? 3 ,而平面 FDB 的法向量可取 n=(1,0,0) 1 h x? y? z?0 ? ? 2 2 2

?

?

由已知可得 cos m , n ?

h h ?3
2

?

1 ,∴h=1,即 PA=1.????????? 15 分 2

18.解: (Ⅰ)由题意:c=1, 又 ∴椭圆 C 的方程是:

c 1 ? ,故 a=2, b= 3 , a 2
?????????????????? 4 分
k 1? k2

x2 y 2 ? ?1. 4 3

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=k(x+1),则圆心 O 到 l 的距离是



所以 FG ? 2 1 ?

k2 2 .??????????????????? 7 分 ? 2 1? k 1? k2

而直线 AB 垂直于 l,所以直线 AB 的方程为 x=-ky. ???????????? 代入椭圆方程可得 3k 2 y 2 ? 4 y 2 ? 12 ,所以 y 2 ?
12 ? 12k 2 . 3k 2 ? 4

9分

12 12k , x2 ? 2 3k 2 ? 4 3k ? 4

2

所以 AB ? 2

?????????????????????? 12 分

由已知可得 2

12 ? 12k 2 2 5 ,化简得 k 4 ? .????????? 14 分 ?2 2? 2 2 3k ? 4 3 1? k

5 ? x ? 1? . ??????????????????15 分 3 1? 2 ? 19.解: (Ⅰ)设数列{an}是公比为 q,由題意有: 2 ? 2q ? ? ? ? 2q 2 ,???? 2 分 2? q ?

所以直线 l 的方程是 y ? ? 4

即: (2q2 ? 1)(q ? 2) ? 0 ,∵q 为正整数,∴q=2,故 an=2n (Ⅱ) (ⅰ)由题意有:

?1

.

??????5 分

n 1 ? ,?????????????? 6 分 b1 ? b2 ? ? ? bn 2n ? 1

∴ b1 ? b2 ? ?bn ? n ? (2n ? 1)
b1 ? b2 ? ?bn?1 ? (n ? 1) ? (2n?1 ? 1), n ≥ 2

① ② ????????? 8 分

由①-②得: bn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 1 ( n ≥ 2 ) ,又 b1 ? 1 , ∴ bn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 1 (n∈N*). (ⅱ)判断: ??????????????????? 10 分 11 分

1 2 n ? ? ? ? <2,证明如下:???????????????? b1 b2 bn

由题意: n ≥ 2 ∴



n ?1 1 n n (n ? 1) ? 1 ? n ?1 , ? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 2 bn (n ? 1) ? 2 ? 1 (n ? 1) ? 2 ? 1 (n ? 1) ? 2

1 2 n 1 2 n ? ??? ? ??? = , 0 1 ( n ? 1) ? 2 n ?1 ? 1 b1 b2 bn 2 ? 2 ? 1 3 ? 2 ? 1

1 1? n 1 1 1 2 ? 2 ? 1 ? 2 .??????? 15 分 ? 0 ? 1 ? ? ? n ?1 ? 1 2 2 2 2n ?1 1? 2

20.解: (Ⅰ)∵ g1 ( x) ? 3x2 ? 2 x ? 7 , x ? 0 , g2 ( x) ? 3x2 ? 4 x ? 1 , x ≥ 0 ,
22 1 ? 1? ?2? 由于 g1 ( x)min ? g1 ? ? ? ? ? , g 2 ( x)min ? g 2 ? ? ? ? , 3 3 ? 3? ?3?

而?

22 1 22 ? ? ,所以 f ? x ?min ? ? . 3 3 3

????????????????? 4 分

(Ⅱ)不妨设 x1 ? x2 ? x3 , 记 g1 ( x) ? 3x2 ? 2ax ? a ? 6 , g2 ( x) ? 3x2 ? (a ? 3) x ? a ①当 a ≤ ?3 ,f(x)在 (??,0) 为单调递减函数,在 (0, ??) 为单调递增函数,所以不存在. ②当 ?3 ? a ≤ 0 , g2 (0) ? g1 (0) ? 2a ? 6 ? 0 ,且 g2 ( 由图像可知 x2 ? x3 ?
g1 ( x) ? a 解得 x ?

a?3 ?a2 ? 18a ? 63 ) ? g1 (0) ? ? 0, 6 12
6分

a?3 . ?????????????????????? 3

?2a ? 4a 2 ? 24a ? 72 , 6

?2a ? 3a 2 ? 18a ? 63 ? a ? 3? g1 ( x ) ? g 2 ? , ? 解得 x ? 6 ? 6 ? ?2a ? 4a 2 ? 24a ? 72 ?2a ? 3a 2 ? 18a ? 63 ≤ x1 ? 6 6 ? 4a 2 ? 24a ? 72 ? 3a 2 ? 18a ? 63 ? 1 ≤ x1 ? x2 ? x3 ? ? 1 . ?????? 10 分 6 6

所以

可得

? 2 ? 1≤ x1 ? x2 ? x3 ? 0 . ?????????????????????? 12 分
③当 0 ? a ≤ 1
?a 2 ? 18a ? 63 ? a ? 3? ? g (0) ? ?0 由 g2 (0) ? g1 (0) ? 2a ? 6 ? 0 , g 2 ? ? 1 6 ? 6 ?

由②同理可知

? 4a 2 ? 24a ? 72 ? 3a 2 ? 18a ? 63 (0 ? a ≤ 1) ? 1 ≤ x1 ? x2 ? x3 ? ?1 , 6 6

2 7 ?1 . 得 ? ≤ x1 ? x2 ? x3 ? ? 3 2

2 故 ? ≤ x1 ? x2 ? x3 ? 0 . 3

?? 14 分


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