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数学必修三 变量之间的相关关系&2.3.2 两个变量的线性相关


2.3 变量间的相关关系
2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关

1.理解两个变量的相关关系的概念.(重点) 2.会作散点图,并利用散点图判断线性相关关系.(难点) 3.了解最小二乘法的思想及回归方程系数公式的推导过程.

4.通过实例加强回归直线方程含义的理解,能够对实际问题
进行分析和预测

.

城 门 失 火 殃 及 池 鱼

世界是一个普遍联系的整体,任何事物都与其他事

物相联系.
我们曾经研究过两个变量之间的函数关系:一个自 变量对应着惟一的一个函数值,这两者之间是一种确定 关系.生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢? 请同学们举例说明.

数学学习与物理学习 商业销售收入与广告之间 粮食产量与施肥量之间 人体脂肪含量与年龄之间

生活中相关成语:
“名师出高徒” , “强将手下无弱兵” “瑞雪兆丰年” “虎父无犬子”

变量之间的相关关系 当自变量一定时,因变量的取值带有一定的随机性的

两个变量之间的关系称为相关关系.
例:(1)商品销售收入与广告支出经费之间的关系; (2)粮食产量与施肥量之间的关系;

(3)人体内脂肪含量与年龄之间的关系.

相关关系是一 种非确定关系

相关关系与函数关系的异同点: 相同点:均是指两个变量的关系. 不同点:1.函数关系是一种确定的关系,是两个非随机变量 之间的关系;而相关关系是一种非确定关系,是非随机变量

与随机变量之间的关系.
2.两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随 机因素的影响. 3.需要通过样本来判断变量之间是否存在相关关系.

在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获 得了一组样本数据:
年龄 脂肪 年龄 脂肪 23 9.5 53 29.6 27 17.8 54 30.2 39 21.2 56 31.4 41 25.9 57 30.8 45 27.5 58 33.5 49 26.3 60 35.2 50 28.2 61 34.6

其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平 均数.以x轴表示年龄,y轴表示脂肪含量,你能在直角坐标系中 描出样本数据对应的图形吗?

在平面直角坐标系中,表示具有相关关系的两个变量

的一组数据图形,称为散点图.

这些点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个

变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.

如果两个变量呈负相关,从整体上看这两个变量的变化

趋势如何?
一个变量随另一个变量的变大而变小,散点图中的点 散布在从左上角到右下角的区域.

例1 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积

的数据:
房屋面积 61 (平方米) 销售价格 (万元)

70

115

110

80

135

105
22

12.2 15.3 24.8

21.6 18.4 29.2

画出数据对应的散点图,并指出销售价格与房屋面积这两
个变量是正相关还是负相关.

解:
售价 售价/万元

35 30 25 20 15 10 5 0 0 20 40 60 80 100 120 140 面积 /平方米

正相关

在下列两个变量的关系中,哪些是相关关系?

①正方形边长与面积之间的关系;
②作文水平与课外阅读量之间的关系; ③人的身高与年龄之间的关系; ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系. 答案:②③④

回归直线

年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分
布有什么特点?
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

这些点大致分布在一条直线附近.

我们再观察它的图象发现这些点大致分布在一条直线附 近,像这样,如果散点图中点的分布从整体上看大致在一

条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关
系,这条直线叫做回归直线,该直线所对应的方程叫做回 归方程. 那么,我们该怎样求出这个回归方程呢? 请同学们展开讨论,能得出哪些具体的方案?

方案1.先画出一条直线,测量出各点与它的距离,再移 动直线,到达一个使距离的和最小的位置时,测出它的斜 率和截距,得到回归方程.如图:
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0

年龄 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

方案2.在图中选两点作直线,使直线两侧的点的个数基 本相同.
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65

方案3.如果多取几对点,确定多条直线,再求出这些直线的 斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距而得到回归 方程. 如图:
脂肪含量 40

35
30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65

最小二乘法

求回归直线,使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的
方法叫做最小二乘法. 对一组具有线性相关关系的样本数据:(x1,y1),(x2,y2),

?,(xn,yn),如何求回归方程?

? ?a ? ? ? bx y

? ?a ? ? ? bx y
? ? b

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( yi ? y )

2 ( x ? x ) ? i i ?1

?

?x
i ?1 n

n

i

yi ? nx y

?
i ?1

xi 2 ? nx 2

? ? ? y ? bx a

一组样本数据的平均数是样本数据的中心,那么散点 图中样本点的中心如何确定?

脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45

(x , y )
50 55 60 65 年龄

例2

有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对

热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出的饮料杯数

与当天气温的对比表:
摄氏温度

/℃

-5

0

4 132

7 128

12 130

15 116

19 104

23 89

27 93

31 76

36 54

热饮杯数 156 150

(1)画出散点图; (2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规 律; (3)求回归方程; (4)如果某天的气温是2 ℃,预测这天卖出的热饮杯数.

解:(1)散点图如下:
180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 -10 0 10 20 30 y = -2.3517x + 147.767 40 温度 /℃
热饮杯数

(2)从散点图看到,各点散布在从左上角到右下角的 区域里,因此,气温与热饮销售杯数之间成负相关,即 气温越高,卖出去的热饮杯数越少. (3)从散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线的附 近,因此利用公式求出回归方程的系数.得回归方程. ? = -2.352x+147.767 y
? =143.063.因此,某天的气温为2 ℃ (4)当x=2时, y 时,这天大约可以卖出143杯热饮.

1.下列说法中正确的是(

)

(A)任何两个变量都具有相关关系
(B)球的体积和球的半径具有相关关系

(C)农作物的产量和施肥量之间是一种确定关系
(D)某商品的产量和该商品的价格之间是一种非确定关系

解:选D.A的说法是错误的;球的体积和球的半径具有 函数关系,故B错误;C中农作物的产量和施肥量之间是 一种相关关系,故C错误;D是正确的.

2.已知回归直线的斜率的估计值是1.23,样本点的中心
为(4,5),则回归直线的方程是( C )

? =1.23x+4 (A) y ? =1.23x+0.08 (C) y

? =1.23x+5 (B) y ? =0.08x+1.23 (D) y

解:当x=4时,y=1.23×4+0.08=5,故选C.

3.已知x,y的取值如下表所示:

? ? 7 ,则 如果y与x线性相关,且线性回归方程为 y ? ? bx

? b

2

=( B )
1 (B) 2

1 (A) ? 2

(D) 1 10 10 2?3? 4 5? 4?6 7 解:∵ x ? ? 3, y ? ? 5, 又 a ?? , 3 3 2 (C) ? 1
7 1 ? ? ? ? 5 ? 3b,? b ? . 2 2

4.(2011·山东高考)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的 统计数据如下表:

? ?a ? 为 9.4,据此模型 ? ? bx ? 中的 b 根据上表可得回归方程 y

预报广告费用为 6 万元时销售额为( (A)63.6 万元 (B)65.5 万元 (C)67.7 万元 (D)72.0 万元



【思路点拨】本题可先利用公式求出回归直线方程,再 求广告费用为6万元时的销售额.

解:选
y?

4? 2?3?5 7 ? , B.由表可计算 x ? 4 2

49 ? 26 ? 39 ? 54 7 ? 42 ,因为点 ( , 42) 在回归直线 4 2

? ?a ? ? bx ? y

7 ? ? 9.1 ,故回归方 ? ? 42 ? 9.4 ? ?a a 上,且 b 为 9.4,所以 , 解得 2

? ? 9.4 x ? 9.1 , 令 x=6 得 y ? ? 65.5,故选 B. 程为 y

5.为分析初中升学的数学成绩对高一学生学习情况的影响, 在高一年级学生中随机抽取了10名学生,他们的入学成绩与 期末考试成绩如下表: 学生编号 入学成绩x 期末成绩y 1 2 3 45 52 4 5 6 7 8 9 10

63 67 65 78

88 81 71 52 99 58 76 82 92 89 73 98 56 75

(1)若变量之间具有线性相关关系,求出回归直线的方程; (2)若某学生的入学成绩为80分,试估计他的期末成绩.

【解析】 (1) x ?

1 y ? (65 ? 78 ? 52 ? 82 ? 92 ? 89 ? 73 ? 98 ? 56 ? 75) ? 76 10
?? ∴b

1 (63 ? 67 ? 45 ? 88 ? 81 ? 71 ? 52 ? 99 ? 58 ? 76) ? 70 10

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

? ? 22.410 8 ? ? y ? bx ? 0.765 56 a

y ? 22.410 8 ? 0.765 56 x . 故所求线性回归直线方程是 ?
y ? 84 ,即这个学生期末 (2)某学生入学成绩为 80 分,代入上式可求得 ?

成绩的预测分值约为 84 分.

1.在研究两个变量之间是否存在某种关系时,必须从散 点图入手,对于散点图,可以作如下判断:

(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,变量之
间就是函数关系; (2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近,变 量之间就有相关关系;

(3)如果所有的样本点都落在某一直线的附近,变量之 间就有线性相关关系; (4)如果散点图中的点的分布几乎没有什么规则,则这 两个变量之间不具有相关关系,即两个变量之间是相互 独立的.

2.对于任意一组样本数据,利用上述公式都可以求得“回 归方程”,如果这组数据不具有线性相关关系,即不存在

回归直线,那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.
因此,对一组样本数据,应先作散点图,在具有线性相关 关系的前提下再求回归直线方程.

3.求样本数据的线性回归方程,可按下列步骤进行: 第一步,计算平均数

x ,y
n i ?1

;

第二步,求和

?x
i ?1

n

2

i

, ? xi yi ;
n i i i i

?? 第三步,计算 b

? ( x ? x )( y ? y ) ? x y ? nx y
i ?1 2 ( x ? x ) ? i i ?1 n

n

?

i ?1 n

2 2 x ? nx ?i i ?1

? ; ? ? y ? bx ,a

第四步,写出回归方程.

追赶时间的人,生活就会宠爱他;放弃时
间的人,生活就会冷落他.


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