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2013《金版新学案》高三数学一轮复习 3-4 数列求和练习 (文) 全国.重庆专版


第3章

第4节

(本栏目内容,学生用书中以活页形式单独装订成册!) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.数列 9,99,999,9 999…的前 n 项和等于 ( A.10n-1 10 C. (10n-1) 9 【解析】 an=10n-1, ∴Sn=a1+a2+…+an=(10-1)+(102-1)+…+(10n-1) =(

10+102+…+10n)-n= 【答案】 B
? 1 ? 2.设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则数列?f(n)?(n∈N?)的前 n 项和是 ? ?

)

10 B. (10n-1)-n 9 10 D. (10n-1)+n 9

10(10n-1) -n. 9

( n A. n+1 n C. n-1 【解析】


)

n+2 B. n+1 n+1 D. n f′(x)=mxm 1+a=2x+1,

∴a=1,m=2, 1 1 1 1 ∴f(x)=x(x+1), = = - ,用裂项相消法求和得 f(n) n(n+1) n n+1 n Sn= ,故选 A. n+1 【答案】 A 3.设 an=-n2+17n+18,则数列{an}从首项到第几项的和最大 ( A.17 C.17 或 18 B.18 D.19 )

【解析】 令 an≥0,得 1≤n≤18. ∵a18=0,a17>0,a19<0, ∴到第 18 项或 17 项和最大. 【答案】 C
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4.已知数列{an}的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,若{log2an}是公差为-1 的等差数 3 列,且 S6= ,那么 a1 的值是 8 ( 4 A. 21 8 C. 21 6 B. 31 21 D. 31 )

【解析】 由题知:log2an-log2an-1=-1, an an 1 ∴log2 =-1,即 = , an-1 an-1 2 1 ∴{an}是以 a1 为首项, 为公比的等比数列, 2 1 a1[1-( )6] 2 3 4 ∴S6= = ,∴a1= . 1 8 21 1- 2 【答案】 A 1 9 5.数列{an}的通项 an= ,其前 n 项之和为 ,则在平面直角坐标系中,直线(n 10 n(n+1) +1)x+y+n=0 在 y 轴上的截距为 ( A.-10 C.10 B.-9 D.9 )

1 1 1 【解析】 数列的前 n 项和为 + +…+ 1×2 2×3 n(n+1) 1 n 9 =1- = = ,∴n=9, n+1 n+1 10 ∴直线方程为 10x+y+9=0. 令 x=0,得 y=-9,∴在 y 轴上的截距为-9. 【答案】 B 6.若{an}是等差数列,首项 a1>0,a2009+a2010>0,a2009·2010<0,则使前 n 项和 Sn>0 a 成立的最大自然数 n 是 ( A.4017 C.4019 B.4018 D.4020 )

【解析】 ∵a1>0,a2009+a2010>0,a2009·2010<0,且{an}为等差数列, a ∴{an}表示首项为正数, 公差为负数的单调递减等差数列, a2009 是绝对值最小的正数, 且 a2010 是绝对值最小的负数(第一个负数),且|a2009|>|a2010|. ∵在等差数列{an}中,a2009+a2010=a1+a4018>0,
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S4018=

4018(a1+a4018) >0, 2

∴使 Sn>0 成立的最大自然数 n 是 4018. 【答案】 B 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分)
? ?n,n为奇数, 7. 已知 f(n)=? 若 an=f(n)+f(n+1), a1+a2+…+a2 008=________. 则 ? ?-n,n为偶数,

【解析】 当 n 为奇数时,an=f(n)+f(n+1)=n-n-1 =-1.当 n 为偶数时, an=-n+n+1=1. ∴a1+a2+…+a2 008=0. 【答案】 0 8.已知 S=C1+2C2+…+nCn,则 S=________. n n n
0 【解析】 ∵S=0Cn+1C1+2C2+…+nCn n n n n 0 S=nCn+(n-1)Cn 1+…+0Cn n


∴2S=n(C0+C1+…+Cn)=n·n∴S=n·n 2 2 n n n 【答案】 n·n 2
-1

-1

9.(2008 年四川卷)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4≥10,S5≤15,则 a4 的最大 值为______. 【解析】 解法 1:
? ? ?S4=4a1+6a≥10 ?-2a1-3d≤-5 ? ?? ?d≤1 ?S5=5a1+10d≤15 ?a1+2d≤3 ? ? ?a4≤4.



又∵S5=a1+a2+a3+a4+a5=5a3≤15?a3≤3 故 a4 的最大值为 4. 解法 2:本题也可利用线性规划知识求解.
? ? ?4a1+6d≥10 ?2a1+3d≥5, 由题意得:? ?? ? ? ?5a1+10d≤15 ?a1+2d≤3.

? ? ?

a4=a1+3d.
? ?2a1+3d≥5 画出可行域? , ?a1+2d≤3 ?

求目标函数 a4=a1+3d 的最大值, 即当直线 a4=a1+3d 过可行域内(1,1)点时截距最大, 此时 a4=4. 【答案】 4 三、解答题(共 46 分) 10.(15 分)已知等差数列{an}中,Sn 是它前 n 项和,设 a6=2,S10=10.
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(1)求数列{an}的通项公式; (2)若从数列{an}中依次取出第 2 项,第 4 项,第 8 项,…,第 2n 项,…,按取出的顺 序组成一个新数列{bn},试求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【解析】 (1)设数列{an}首项,公差分别为 a1,d.则由已知得 a1+5d=2①

10×9 10a1+ d=10② 2 联立①②解得 a1=-8,d=2, 所以 an=2n-10(n∈N?) (2)bn=a2n=2·n-10=2n 1-10(n∈N?), 2


4(1-2n) + 所以 Tn=b1+b2+…+bn= -10n=2n 2-10n-4 1-2 1 1 2 1 2 3 1 2 2 010 11.(15 分)数列 1,1+ ,1+ + ,1+ + + ,…,1+ + +…+ ,…. 2 3 3 4 4 4 2 011 2 011 2 011 (1)写出它的通项 an,并说明数列{an}是等差数列; 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项之和. an·n+2 a 【解析】 n-1 1 2 (1)an=1+ + +…+ n n n

1+2+…+(n-1) n+1 =1+ = . n 2 n+2 n+1 1 因为 an+1-an= - = , 2 2 2 1 所以数列{an}是首项为 1,公差为 的等差数列. 2 1 4 (2)因为 bn= = an·n+2 (n+1)(n+3) a 1 1 =2?n+1-n+3?, ? ? 所以数列{bn}的前 n 项和为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2?2-4+3-5+4-6+…+n-n+2+n+1-n+3?

?

?

1 1 1 1 =2?2+3-n+2-n+3?.

?

?

12.(16 分)过点 P(1,0)作曲线 C:y=x2(x∈(0,+∞))的切线,切点为 M1,设 M1 在 x 轴上的投影是点 P1.又过点 P1 作曲线 C 的切线, 切点为 M2, M2 在 x 轴上的投影是点 P2, 设 …. 依此下去,得到一系列点 M1,M2…,Mn,…,设它们的横坐标 a1,a2,…,an,…,构成 数列为{an}. (1)求证:数列{an}是等比数列,并求其通项公式; n (2)令 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an
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【解析】

2 (1)证明:对 y=x2 求导数,得 y′=2x,切点是 Mn(an,an)的切线方程是 y

-a2=2an(x-an). n 当 n=1 时,切线过点 P(1,0),即 0-a2=2a1(1-a1), 1 得 a1=2; 当 n>1 时,切线过点 Pn-1(an-1,0),
2 即 0-an=2an(an-1-an),得

an =2 an-1

所以数列{an}是首项 a1=2,公比为 2 的等比数列. 所以数列{an}的通项公式为 an=2n,n∈N? n (2)an=2n,bn= n,数列{bn}的前 n 项和 2 1 2 3 n Sn= + 2+ 3+… n, 2 2 2 2 1 1 1 2 3 n 同乘以 ,得 Sn= 2+ 3+ 4+…+ n+1, 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n 两式相减,得 Sn= + 2+ 3+…+ n- n+1 2 2 2 2 2 2 1 1? 1- n? 2? 2 ? n 1 n = - n+1=1- n- n+1, 1 2 2 2 1- 2 n+2 所以 Sn=2- n . 2

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