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上海市闵行区2016届高三数学质量调研考试(二模)试卷 理(含解析)


闵行区 2015-2016 学年第二学期高三年级质量调研考试 数 学 理试 卷
考生注意: 1.本试卷共 4 页,23 道试题,满分 150 分。考试时间 120 分钟。 2.本考试分设试卷和答题纸。试卷包括三大题,第一大题为填空题,第二大题为选择题, 第三大题为解答题。 3.答卷前,务必在答题纸上填写学校、姓名、准考证号。 4.作答必须涂或写在答题纸上,在试卷上作答一

律不得分。第二大题的作答必须涂在答题 纸上相应的区域,第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内 直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 y ? log 3 ( x ?1) 的定义域是 .

2.集合 A ? x | x 2 ? 3 x ? 0 , B ? x x ? 2 ,则 A ? B 等于 3.若复数

?

?

?

?

. .

1? i 1 ? b ( i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则实数 b 的值为 1? i 2

4.已知函数 f ( x) ?

log3 x 1 ?1 ,则 f (0) ? 2 1
?

. 倍. . .

5.若一个圆锥的母线长是底面半径的 3 倍,则该圆锥的侧面积是底面积的 6.平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ? , a ? 1 , b ? (3,0) ,则 2a ? b ? 7.已知 △ ABC 的周长为 4 ,且 sin A ? sin B ? 3sin C ,则 AB 边的长为

?

?

?

?

?

1 ? ? 3 8.若 ? x ? ? 的展开式中的 x 项大于 15 ,且 x 为等比数列 ?an ? 的公比, x? ?
则 lim

6

a1 ? a2 ? ? ? an ? n ?? a ? a ? ? ? a 3 4 n

.

9.若 m ? 0 , n ? 0 , m ? n ? 1 ,且

t 1 ? ( t ? 0 )的最小值为 9 ,则 t ? m n

.

10 . 若 以 x 轴 正方 向 为始边 , 曲 线上 的点 与 圆心的 连 线 为终 边的 角 ? 为 参数 , 则 圆

x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 的参数方程为

.?

? x ? 1 ? cos ? ( 0 ? ? ? 2? ) ? y ? sin ?
??? ? ????

2 2 11 . 若 AB 是 圆 x ? ( y ? 3) ? 1 的 任 意 一 条 直 径 , O 为 坐 标 原 点 , 则 OA? OB的 值

1





12 . 在 极 坐 标 系 中 , 从 四 条 曲 线 C1 : ? ? 1 , C2 : ? ?

? ( ? ?0) , C3 : ? ?c o s ?

?,

C4 : ? sin ? ? 1中随机选择两条,记它们的交点个数为随机变量 ? ,则随机变量 ? 的数学期
望 E? = . 13.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sn = n2 + 2a | n - 2016 | ( a ? 0 ) ,则使得 an ? an?1 ( n ? N )恒成立的 a 的最大值为
*

.

14. (理科) 若两函数 y ? x ? a 与 y ? 1 ? 2 x 2 的图像有两个交点 A 、B ,O 是坐标原点,

△OAB 是锐角三角形,则实数 a 的取值范围是

.

二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题 纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.如果 a ? b ,那么下列不等式中正确的是( (A) ).

1 1 ? a b

(B) a ? b
2

2

(C) lg a ? 1 ? lg b ? 1

?

?

?

?

(D) 2 ? 2
a

b

16.若 l、 m 是两条直线, m ? 平面 ? ,则“ l ? m ”是“ l // ? ”的( (A) 充要条件 (C) 必要不充分条件 件 (B) 充分不必要条件 (D) 既非充分又非必要条

).

E P为 17.如图,在正方体 ABCD ? A 1 的中点, 1B 1C1D 1 中, 是 AA
底面 ABCD 内一动点, 设 PD1、PE 与底面 ABCD 所成的角分别为

?1、?2 ( ?1、?2 均不为 0 ) .若 ?1 ? ?2 ,则动点 P 的轨迹为哪种曲
线的一部分( (A)直线 ). (B)圆 (C) 椭圆 (D) 抛物线

18.将函数 f ( x) ? 2sin 2 x 的图像向右平移 ? ( 0 ? ? ? ? )个单位后得到函数 g ( x) 的图像 .若对满足 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 4 的 x1、x2 ,有 x1 ? x2 的最小值为 (A)

? .则 ? ? ( ?

).

? ?

(B)

? ?

(C)

? ?? 或 ? ?

(D)

? ?? 或 ? ?

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)

2

复数 z1 ? sin 2 x ? i ? cos 2 x ,z2 ? sin 2 x ? i ? cos x(其中 x ? R ,i 为虚数单位) . 在复平面上, 复数 z1 、 z2 能否表示同一个点,若能,指出该点表示的复数;若不能,说明理由.

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,每小题满分各 7 分. 如图,在直角梯形 PBCD 中, PB // DC , DC ? BC , PB ? BC ? 2CD ? 2 ,点 A 是 PB 的中点,现沿 AD 将平面 PAD 折起,设 ?PAB ? ? . (1)当 ? 为直角时,求异面直线 PC 与 BD 所成角的大小; (2)当 ? 为多少时,三棱锥 P ? ABD 的体积为

2 . 6

P P A D A B C B C D B P A C D

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 为了配合今年上海迪斯尼游园工作,某单位设计了统计人数的数学模型 (n ? N ) :
*

? 200 ? n ? 2000, (1 ? n ? 8) ? n ?8 ? 以 f (n) ? ?360 ? 3 12 ? 3000, (9 ? n ? 32) 表示第 n 个时刻进入园区的人数; ?32400 ? 720 ? n, (33 ? n ? 45) ? ?

3

0, (1 ? n ? 18) ? ? 以 g (n) ? ?500 ? n ? 9000, (19 ? n ? 32) 表示第 n 个时刻离开园区的人数. ? 8800, (33 ? n ? 45) ?
设定以 15 分钟为一个计算单位,上午 9 点 15 分作为第 1 个计算人数单位,即 n ? 1 ;9 点 30 分作为第 2 个计算单位, 即n ? 2; 依次类推,把一天内从上午 9 点到晚上 8 点 15 分分成 45 个计算单位(最后结果四舍五入,精确到整数) . ( 1 ) 试 计 算 当 天 14 点 至 15 点 这 一 小 时 内 , 进 入 园 区 的 游 客 人 数

f (21) ? f (22) ? f (23) ? f (24) 、离开园区的游客人数 g (21) ? g (22) ? g (23) ? g (24) 各为多
少? (2)从 13 点 45 分(即 n ? 19 )开始,有游客离开园区,请你求出这之后的园区内游客总 人数最多的时刻,并说明理由.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)(2)小题满分各 5 分,第(3)小题满分 6 分.

x2 y 2 已知椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点与短轴两端点构成一个面积 a b
为 2 的等腰直角三角形, O 为坐标原点. (1)求椭圆 ? 的方程; (2)设点 A 在椭圆 ? 上,点 B 在直线 y ? 2 上,且 OA ? OB , 求证:

1 1 ? 为定值; 2 OA OB 2

(3) 设点 C 在椭圆 ? 上运动,OC ? OD , 且点 O 到直线 CD 的距离为常数 d ? 0 ? d ? 2? , 求动点 D 的轨迹方程.

4

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 5 分,第(3) 小题满分 7 分.
* 已知 n ? N ,数列 ?an ? 、 ?bn ? 满足: an?1 ? an ? 1 , bn ?1 ? bn ?

1 an ,记 cn ? an 2 ? 4bn . 2

(1)若 a1 ? 1 , b1 ? 0 ,求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)证明:数列 ?cn ? 是等差数列; (3)定义 fn ( x) ? x2 ? an x ? bn ,证明:若存在 k ? N ,使得 ak 、 bk 为整数,且 fk ( x) 有
*

两个整数零点,则必有无穷多个 f n ( x) 有两个整数零点.

5

参考答案与评分标准 一、填空题(第 1 题至第 14 题)每题正确得 4 分,否则一律得 0 分. 1. ?1, ?? ? ; 4. 9 ; 7. 1 ; 10. ? 2. ? ?2,3? ; 5. 3 ; 8. 1 ; 3. 2 ; 6. 19 ; 9. 4 ; 12. 1

? x ? 1 ? cos ? ( 0 ? ? ? 2? ) 、 11. 8 ; y ? sin ? ?
1 2016
14. ?

13.

? 6 2 3? ? 3 , 3 ? ?、 ? ?

二. 选择题(第 15 题至 18 题)每题正确得 5 分,否则一律得 0 分. 15.D; 16.C; 17.B; 18. C

三、解答题(第 19 题至 23 题) 19.(本题满分 12 分) 解:设复数 z1 , z2 能表示同一个点,则 cos 2 x ? cos x 解得 cos x ? 1 或 cos x ? ?
2

????????3 分

1 , 2

????????????7 分 ?????9 分 ?????11 分

当 cos x ? 1 时,得 sin x ? 0 ,此时 z1 ? z2 ? i ; 当 cos x ? ?

3 1 1 3 2 时,得 sin x ? ,此时 z1 ? z2 ? ? i ; 4 2 2 4

6

综上,复平面上该点表示的复数为 i 或

3 1 ? i. 4 2

?????12 分

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,每小题满分各 7 分. 解: 理: (1) 当 ? 为直角时,即 AB, AD, AP 两两互相垂直, 以点 A 为坐标原点,AB, AD, AP 为坐标轴建立空间直角坐标系, ??????1 分 ??3 分

??? ? ??? ? 则 B(1,0,0) C (1,2,0) D(0,2,0) P(0,0,1) , PC ? (1,2, ?1) , BD ? (?1,2,0)
设异面直线 PC 与 BD 所成角为 ? ,则

z P

??? ? ??? ? PC ? BD 30 cos ? ? ??? ? ??? ? ? 10 PC ? BD

??????5 分

故异面直线 PC 与 BD 所成角为 arccos

30 .?7 分 10

A B x C P

D y

(2)? 沿 AD 将平面 PAD 折起的过程中,始终 有 PA ? AD , AB ? AD ,? AD ? 面PAB ,由

A B
????????12 分

D C

VP? ABD ? VD? PAB 得
?

????????9 分

1 1 2 1 2 ? ? S△ PAB ? DA ? ? 2 ? ?1?1? sin ? ,? sin ? ? 3 2 6 3 2

?? ?

?
4



3? . 4

???????????14 分

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 解: (1)当天 14 点至 15 点这一小时内进入园区人数为 f (21) ? f (22) ? f (23) ? f (24)

? 360 ? [3 ? 3 ? 3 ? 3 ] ? 3000 ? 4 ? 17460 (人)
离开园区的人数 g (21) ? g (22) ? g (23) ? g (24)=9000 (人)

13 12

14 12

15 12

16 12

???????3 分 ??????6 分

(2) (理)当 f (n) ? g (n) ? 0 时,园内游客人数递增;当 f (n) ? g (n) ? 0 时, 园内游客人数递减.
n?8

??????7 分

①当 19 ? n ? 32 时,由 f (n) ? g (n) ? 360 ? 3 12 ? 500n ? 12000 ? 0 ,可得: 当 19 ? n ? 28 时,进入园区游客人数多于离开园区游客人数,总人数越来越多;?9 分 当 29 ? n ? 32 时,进入园区游客人数少于离开游客人数,总人数将变少; ??11 分 ( f (28) ? g (28) ? 246.49 ? 0 ; f (29) ? g (29) ? ?38.13 ? 0 ) ②当 33 ? n ? 45 时,由 f (n) ? g (n) ? ?720n ? 23600 递减,且其值恒为负数. 进入园区游客人数少于离开游客人数,总人数将变少. 分 ??????13

7

综上,当天下午 16 点时( n ? 28 )园区内的游客人数最多,此时计算可知 园区大约共有 77264 人. 分 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)(2)小题满分各 5 分,第(3)小题满分 6 分. 解: (1)由条件可得 b ? c ? 椭圆 ? 的方程为 ??????14

2 ,a ? 2,

??????????3 分

x2 y 2 ? ? 1 .?????????????????????5 分 4 2

(2)设 A( x0 , y0 ) ,则 OB 的方程为 x0 x ? y0 y ? 0 ,由 y ? 2 得 B(?

2 y0 , 2) ?7 分 x0

?

4 ? x0 2 4 ? x0 2 1 1 1 1 1 ? .?10 分 ? = ? = ? 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 4( x0 ? y0 ) 4 y0 OA OB x0 ? y0 4( x0 2 ? 2 ? 0 ) ?4 2 2 x0


(3)设 C ( x0 , y0 ), D( x, y) ,由 OC ? OD 得 x0 x ? y0 y ? 0 又 C 点在椭圆上得:
2

x0 2 y0 2 ? ?1 4 2



4 y2 4 x2 2 联立①②可得 x0 ? , y0 ? 2 2 x2 ? y 2 2x ? y2



??????????12 分

由 OC ? OD 得 OC ? OD =CD ? d ,即 OC 2 ? OD2 =(OC 2 +OD2 ) ? d 2 可得 将

1 1 1 ? ? , 2 2 d OC OD 2


?????????????????????14 分 代 入 得 :

1 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 2 d OC OD x0 ? y0 x ? y2

?

1 4 x2 4 y2 ? 2 x2 ? y 2 2x2 ? y 2

?

1 2 x2 ? y 2 ? 4 , ? x2 ? y 2 4( x 2 ? y 2 )
1 1 2 1 1 ? ) x ? ( 2 ? ) y 2 ? 1 .??????????16 分 2 d 2 d 4

化简得 D 点轨迹方程为: (

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 5 分,第(3) 小题满分 7 分. 解: (1) an ? n , ????????????????????????2 分

1 n ? bn ?1 ? bn ? an ? bn ? , 2 2

? 由累加法得 bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ???? ? (bn ? bn?1 )

???????4 分

8

1 n(n ? 1) ? 0 ? [1 ? 2 ? ??? ? (n ? 2) ? (n ? 1)] ? .??????????????6 分 2 4
(2) cn?1 ? cn ? an?12 ? 4bn?1 ? (an 2 ? 4bn ) ?????????????????8 分

1 ? (an ? 1) 2 ? 4( an ? bn ) ? (an 2 ? 4bn ) ? 1 2

? ?cn ? 是公差为 1 的等差数列.????????????????????11 分
(3)由解方程得: x ?

?an ? cn ?ak ? ck ,由条件, f k ( x) ? 0 两根 x ? 2 2
????12 分

为整数,则 ? ? ck 必为完全平方数,不妨设 ck ? m2 (m ? N) , 此时 x ?

?ak ? ck ?ak ? m 为整数,? ak 和 m 具有相同的奇偶性,???13 分 ? 2 2

由(2)知 ?cn ? 是公差为 1 的等差数列,取 n ? k ? 2m ? 1

? ck ? 2 m ?1 ? ck ? 2m ? 1 ? m 2 ? 2m ? 1 ? ? m ? 1?
此时 x ?

2

????????????15 分

?ak ?2m?1 ? ck ?2m?1 ?(ak ? 2m ? 1) ? (m ? 1) ? 2 2

? ak 和 m 具有相同的奇偶性,? ak ? 2m ? 1和 m ? 1 具有相同的奇偶性, ?17 分
所以函数 f k ?2m?1 ( x) 有两个整数零点. 由递推性可知存在无穷多个 f n ( x) 有两个整数零点.????????????18 分

2016 年闵行区高考数学二模卷 一、填空题 1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知 识. 【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的有关概念. 【参考答案】 (1, ??) 【试题分析】 依题意可知,x ? 1 ? 0 , 即 x ?1, 所以函数 y ? log3 ( x ?1) 的定义域为 (1, ??) , 故答案为 [1, ??) . 2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知
9

识. 【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集,并集,补集;方程与代数/不等式/一元二次不 等式(组)的解法、含有绝对值的不等式的解法. 【参考答案】 (?2,3) 【试题分析】 集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 0} ? {x | 0 ? x ? 3} , B ? {x || x |? 2} ? {x | ?2 ? x ? 2} , 所以 A ? B ? {x | ?2 ? x ? 3},故答案为 (?2,3) . 3. 【测量目标】 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复数的概念、复数的四则运算. 【参考答案】2 【试题分析】复数 则有 1 ?

1? i 1 (1 ? i)2 1 1 ? b? ? b ? i ? b ,因为复数的实部与虚部相等, 1? i 2 (1 ? i)(1 ? i) 2 2

1 b ,解得 b ? 2 ,故答案为 2. 2

4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知 识. 【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/反函数;方程与代数/矩阵与行列式初步/ 二阶、三阶行列式. 【参考答案】9 【试题分析】函数 f ( x) ?

log3 x 1 ? log3 x ? 2 ,令 f ( x) ?0 ,解得 x ? 9 .根据互为反函 2 1
?1

数的两个函数之间的关系可知 f

(0) ? 9 ,故答案为 9.

5.【测量目标】空间想象能力/能根据图形想象出直观形象. 【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体. 【参考答案】3 【试题分析】设圆锥的母线长为 l,底面半径为 r,依题意有, l ? 3r ,则圆锥的底面积为

S底 ? πr 2 ,圆锥的侧面积为 S侧 ?
S侧 3πr 2 ? ? 3 ,故答案为 3. S底 πr 2

1 ? l ? 2 π r ? 3π r2 ,所以圆锥的侧面积与底面积的比为 2

6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知 识. 【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算. 【参考答案】 19 【试题分析】因为 b ? (3,0) ,所以 | b |? 3 ,又因为 | a |? 1 , | a | 与 | b | 的夹角为 60°,所以

?

?

?

?

?

10

? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 3 a ? b ?| a | ? | b | cos 60? ? . 因为 | 2a ? b |2 ? 4a ? 4a ? b ? b ? 19 ,所以 | 2a ? b |? 19 , 2
故答案为 19 . 7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知 识. 【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理. 【参考答案】1 【 试 题分 析】 因为 sin A ? sin B ? 3sin C , 所 以 a ? b ? 3 c , 又 △ABC 的 周 长为 4 , 即 a ? b ? c ? 4 ,所以 4 ? c ? 3, AB ? c ? 1. 8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理: 方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限. 【参考答案】1
3 6? r ? 1 ? r 6? r ? 1 ? r x 2 ,令 【试题分析】 ?x? ? ?C 6 ? 的 展 开 式 中 第 r 项 为 Tr ?1 ? C 6x ? ? x x ? ? ? ? 3 2 3 6 ? r ? 3 得 r ? 2 ,所以展开式的第 2 项为 C6 x ? 15x3 ? 15 , x ? 1 ,因为 x 为等比数列 2 ? a1 (1 ? x n ) ? a ? a ? …+an 1? x 1 ? xn ? lim ? ? = lim {an } 的公比,所以 lim 1 2 ? n ?? a ? a ? …+a n ?? ? a1 x 2 (1 ? x n ? 2 ) ? n?? x 2 ? x n 3 4 n ? 1? x ? x2 ?1 ? ?1. = lim ?1 ? n 2 ? n ?? x ? x ? ? 6 r

9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知 识. 【知识内容】方程与代数/不等式/基本不等式. 【参考答案】4 【试题分析】因为 m ? n ? 1 ,所以

t 1 t 1 nt m ? ? ( ? )(m ? n) ? t ? 1 ? ? ≥t ? 1 ? m n m n m n

2

t 1 nt m ? ? t ? 1 ? 2 t ? ( t ? 1)2 ,当 m2 ? nt 2 时,取等号,又因为 ? 的最小值为 9, m n m n

即 ( t ? 1)2 ? 9 ,所以 t ? 4 ,故答案为 4. 10. 【测量目标】 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知 识. 【知识内容】图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程和几何性质; 图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程. 【参考答案】 ?

? x ? 1 ? cos ? (0≤? ≤2π) ? y ? sin ?
2 2 2 2

【试题分析】圆 x ? y ? 2 x ? 0 化为标准方程为 ( x ?1) ? y ? 1 ,所以圆心(1,0),半径

? , sin ? , ) (0≤? ≤2π) , 所 以 圆 的 参 数 方 程 为 为 1 , 所 以 圆 上 的 点 的 坐 标 为 (1? cos

? , ? x ? 1 ? cos ? x ? 1 ? cos ? (0≤? ≤2π) . ( ? 为参数),故答案为 ? ? ? y ? sin? ? y ? sin ?
11

11. 【测量目标】 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知 识. 【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积. 【参考答案】8 【试题分析】由圆的标准方程知,圆的圆心在 y 轴上且圆心坐标为(0,3) ,半径为 1, 因为 AB 是圆的任意一条直径, 不妨假设 AB 是位于 y 轴上的一条直径, 则 A(0, y1 ) , B(0, y2 ) , 所以 OA? OB ? (0, y1 )? (0, y2 ) ? y1 y2 ,又因为当 x ? 0 时, y1 ? 2, y2 ? 4 , 所以 OA? OB ? y1 y2 ? 8 ,故答案为 8. 12. 【测量目标】 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知 识. 【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/极坐标: 数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】1 【 试 题 分 析 】 曲 线 C1 , C2 , C3 , C4的 极 坐 标 方 程 化 为 普 通 方 程 分 别 为 x 2 ? y 2 ? 1 ,

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

1 1 y ? 3x ( x≥0) , ( x ? ) 2 ? y 2 ? , y ? 1 ,从四条曲线中随机选取两条,可能的结果及 2 4 它 们 的 交 点 个 数 为 : (C1 , C2 ) ,1; (C1 , C3 ) ,1; (C1 , C4 ) ,1; (C2 , C3 ) ,1; (C2 , C4 ) ,1; 1 ? 1 ? 1 ? ?1 ? 1 ?1. (C3 , C4 ) ,1;所以 E? ? 6
13.【测量目标】运算能力/能通过运算,对问题进行推理和探求. 【知识内容】方程与代数/数列和数学归纳法/简单的递推数列. 【参考答案】

1 2016
2 2 ? ?n ? 2an ? 4032a,1≤n≤2016 ,所以 2 n ? 2 an ? 4032 a , n ≥ 2017 ? ?

【 试 题 分 析 】 因 为 S n ? n ? 2a | n ? 2016 |? ?

2 ? ?(n ? 1) ? 2a(n ? 1) ? 4032a, 2≤n≤2017 Sn ?1 ? ? ,所以 an ? Sn ? Sn?1 ? 2 ( n ? 1) ? 2 a ( n ? 1) ? 4032 a , n ≥ 2018 ? ? ?a1≤a2 , ?2n ? 1 ? 2a, 2≤n≤2016, ? ? , a1 ? S1 ? 4030a ? 1 ,因为 an ≤an +1 恒成立, 所以 ? a2016 ≤a2017 , ?4033+2a, n ? 2017, ?2n ? 1 ? 2a, n≤2018 ? a ≤a , ? 2018 ? 2017

1 ? ? 4030a ? 1≤3 ? 2a, a≤ , ? 1 ? ? 2016 即 ? 4031 ? 2a≤4033+2a, 解得 ? ,又 a ? 0 ,所以 0 ? a≤ ,故答案为 2016 ? 4033+2a≤4035 ? 2a ?a≥- 1 , ? ? ? 2 1 . 2016
14.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思 想方法和适当的解题策略,解决有关数学问题. 【知识内容】图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.

12

【参考答案】 (

6 2 3 , ) 3 3 2 2 , ] ,值域为 [0, ??) ,联立两函数的方 2 2

【试题分析】函数 y ? 1 ? 2 x 2 的定义域为 [? 程?

? ? y ? x ? a,
2 ? ? y ? 1? 2x

消去 x 得 3 y 2 ? 4ay ? 2a2 ?1 ? 0 , y ?

2a ? 3 ? 2a 2 ,因为两函数的图 3

? ?? ? (4a ) 2 ? 4 ? 3(2a 2 ? 1) ? 0, ? 2 2 6 ≥0, 像 有 两 个 交 点 , 所 以 ? 2a ? 1 , 解 得 [ , ), 设 2 2 ? ?4a ?? ?0 ? 2?3 , 则 A( 1 x, 1 y ) ,B ( 2x , 2y )
4a 2a 2 ? 1 a2 ?1 2 , y1 y2 ? , x1 x2 ? ( y1 ? a)( y2 ? a) ? y1 y2 ? a ( y1 ? y2 ) ? a = ,因 3 3 3 ??? ? ??? ? ? OA ? OB ? 0, ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0, ? ?? 2 为 △OAB 是锐角三角形,所以 ? ??? 即 ? ??? ? 2 x ? x x ? y ? y y ? 0, OA ? BA ? 0 ? ? 1 1 2 1 1 2 ? y1 ? y2 =

? 3a 2 ? 2 ? 0, ? 3 ? ? 2 2 ? ? 2 ? 3a ? 1 ? ? a ? 3 ? 2a ? 3 ? 3 ? ?
故答案为 (

? ? ? ?

2

,解得

6 2 3 6 2 3 ,所以 a 的取值范围为 ( ?a? , ), 3 3 3 3

6 2 3 , ). 3 3

二、填空题 15. 【测量目标】 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知 识. 【知识内容】方程与代数/不等式/不等式的性质及其证明. 【正确选项】D 【试题分析】 选项 A 中, 若 a>b>1 , 则有 <
2 2

1 a

1 , 所以 A 不正确; 选项 B 中, 若 a>0>b , b

且 | a | <| b | ,则 a <b ,所以 B 不正确;同理选项 C 也不正确,选项 D 中,函数是 R 上的 增函数,所以有 2 >2 ,所以 D 正确,故答案为 D. 16. 【测量目标】 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知 识. 【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系; 方程与代数/集合与命题/充分条件,必要条件,充分必要条件. 【正确选项】C 【试题分析】 因为 m ? 平面 ? , 若l ? m , 则 l ∥? 或 l ? ? , 所以充分性不成立, 若 l ∥? , 则有 l ? m ,必要性成立,所以“ l ? m ”是“ l ∥ ? ”的必要不充分条件,故答案为 C. 17. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推
13
a b

理. 【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系; 图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念. 【正确选项】B

ABCD, D1D ∥ A1 A , 所以 【试题分析】在正方体 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1 中, D 1 D ? 平面
,因为 ?1 ? ?2 ,所以 tan ?DPD1 ? tan ?EPD ,即 ?1 ? ?DPD1,? 2 ? ? EPD 因为 E 为 A 1 A 的中点,所以

AE D1 D ? , AP DP

DP ? 2 ,设正方体边长为 2,以 DA 方向为 x 轴,线段 DA 的垂 AP DP ? 2 ,所以 直 平 分 线 为 y 轴 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 , 则 D(?1, 0), A(1, 0) , 因 为 AP 5 25 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 ,化简得 ( x ? ) 2 ? y 2 ? ,所以动点 P 的轨迹为圆的 3 9
一部分.

第 17 题图 apnn2 18.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、 判断和论述的能力. 【知识内容】函数与分析/三角函数/正弦函数和余弦函数的性质. 【正确选项】C 【试题分析】函数 f ( x) ? 2sin 2 x 的图像向右平移 ? 个单位得到函数 g ( x) ? 2sin 2( x ? ? ) 的图像,则 | f ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 2sin 2x1 ? 2sin 2( x2 ? ?)

= 4cos( x1 ? x2 ? ?)sin(?x1 ? x2 ? ?)) =4 ,所以 sin(?x1 ? x2 ? ?) =1 ,因为 | x1 ? x2 |?
所以 x1 ? x2 ? ?

π , 6

π π π 2 ,当 x1 ? x2 ? 时, sin(? ? ) ? 1 , ? ? 2kπ ? π(k ? Z) ,又因为 6 6 6 3 2π π π 2π π 0 ? ? ? π ,所以 ? = ,同理,可得 x1 ? x2 ? ? 时, ? = ,所以 ? ? 或 ,故答 3 6 3 3 3

案为 C. 三、解答题 19.(本题满分 12 分) 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】 数与运算/复数初步/复平面; 函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、 余弦、 正切. 【参考答案】设复数 z1 , z2 能表示同一个点,则 cos 2 x ? cos x , 解得 cos x ? 1 或 cos x ? ?
2

????????3 分

1 . 2

????????????7 分 ?????9 分

当 cos x ? 1 时,得 sin x ? 0 ,此时 z1 ? z2 ? i .

14

当 cos x ? ?

3 1 1 3 2 时,得 sin x ? ,此时 z1 ? z2 ? ? i . 4 2 2 4
3 1 ? i. 4 2

?????11 分 ?????12 分

综上,复平面上该点表示的复数为 i 或

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,每小题满分各 7 分. 【测量目标】 (1)空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. (2)空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. 【知识内容】 (1)图形与几何/空间向量及其应用/距离和角. (2)图形与几何/简单几何体的研究/锥体. 【参考答案】 ( 1 )当 ? 为直角时 , 即 AB, AD, AP 两两互相垂直,以点 A 为坐标原点,

AB, AD, AP 为坐标轴建立空间直角坐标系,

??????1 分

则 B(1,0,0) C (1,2,0) D(0,2,0) P(0,0,1) , PC ? (1,2, ?1) , BD ? (?1,2,0) 设异面直线 PC 与 BD 所成角为 ? ,则

??? ?

??? ?

??3 分

??? ? ??? ? PC ? BD 30 cos ? ? ??? ? ??? ? ? 10 PC ? BD

??????5 分

故异面直线 PC 与 BD 所成角为 arccos

30 .?7 分 10

MHLD1 第 19 题图(1) (2)? 沿 AD 将平面 PAD 折起的过程中,始终 有 PA ? AD , AB ? AD ,? AD ? 面PAB ,由

VP? ABD ? VD? PAB 得
?

????????9 分

1 1 2 1 2 ? ? S△ PAB ? DA ? ? 2 ? ? 1? 1? sin ? ,? sin ? ? 3 2 6 3 2

????????12 分

?? ?

π 3π 或 . 4 4

???????????14 分

MHLD2
15

第 19 题图(2) 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 【测量目标】 (1)分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型,解决有关社会生活、 生产实际或其他学科的问题,并能解释其实际意义. (2)分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型,解决有关社会生活、生产实际或其 他学科的问题,并能解释其实际意义. 【知识内容】 (1)函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用. (2)函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用. 【参考答案】 (1)当天 14 点至 15 点这一小时内进入园区人数为

f (21) ? f (22) ? f (23) ? f (24) ? 360 ? [312 ? 312 ? 312 ? 312 ] ? 3000 ? 4 ? 17460 (人)
???????3 分 离开园区的人数 g (21) ? g (22) ? g (23) ? g (24)=9000 (人) (2)当 f (n) ? g (n)≥0 时,园内游客人数递增; 当 f (n) ? g (n) ? 0 时,园内游客人数递减. ①当 19≤n≤32 时,由 f (n) ? g (n) ? 360 ? 3
n ?8 12

13

14

15

16

??????6 分

??????7 分

? 500n ? 12000≥0 ,可得:

当 19≤n≤28 时,进入园区游客人数多于离开园区游客人数,总人数越来越多;?9 分 当 29≤n≤32 时,进入园区游客人数少于离开游客人数,总人数将变少; ??11 分 ( f (28) ? g (28) ? 246.49 ? 0 ; f (29) ? g (29) ? ?38.13 ? 0 ) ②当 33≤n≤45 时,由 f (n) ? g (n) ? ?720n ? 23600 递减,且其值恒为负数.进入园区游 客人数少于离开游客人数,总人数将变少. ??????13 分 综上,当天下午 16 点时( n ? 28 )园区内的游客人数最多,此时计算可知园区大约共 有 77264 人. ??????14 分 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)(2)小题满分各 5 分,第(3)小题满分 6 分. 【测量目标】 (1)数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本 知识. (2)逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程,能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的 正确性. (3)分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的 解题策略,解决有关数学问题. 【知识内容】 (1)图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. (2)图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. (3)图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念. 【参考答案】 (1)由条件可得 b ? c ? 椭圆 ? 的方程为

2,a ? 2,

??????????3 分

x2 y 2 ? ? 1 .?????????????????????5 分 4 2

16

(2)设 A( x0 , y0 ) ,则 OB 的方程为 x0 x ? y0 y ? 0 ,由 y ? 2 得 B(?

2 y0 , 2) ???7 分 x0

4 ? x0 2 4 ? x0 2 1 1 1 1 1 ? .?10 分 ? = ? = 2 ? ? 2 2 2 2 2 2 2 x 2 4 y0 4( x0 ? y0 ) OA OB x0 ? y0 4( x0 2 ? 2 ? 0 ) ?4 2 2 x0
(3)设 C ( x0 , y0 ), D( x, y) ,由 OC ? OD 得 x0 x ? y0 y ? 0 ①

x0 2 y0 2 ? ?1 又 C 点在椭圆上得: 4 2
联立①②可得 x0 2 ?



4 y2 4 x2 2 , y ? 0 2 x2 ? y 2 2x2 ? y 2



??????????12 分

由 OC ? OD 得 OC ? OD =CD ? d ,即 OC 2 ? OD2 =(OC 2 +OD2 ) ? d 2 可得

1 1 1 ? ? , 2 2 d OC OD 2

?????????????????????14 分

将③代入得:

1 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 2 d OC OD x0 ? y0 x ? y2

?

1 4 x2 4 y2 ? 2 x2 ? y 2 2x2 ? y 2

?

1 2 x2 ? y 2 ? 4 , ? x2 ? y 2 4( x 2 ? y 2 )
1 1 2 1 1 ? ) x ? ( 2 ? ) y 2 ? 1 .??????????16 分 2 d 2 d 4

化简得 D 点轨迹方程为: (

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 5 分,第(3) 小题满分 7 分. 【测量目标】 (1)数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本 知识. (2)逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程,能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的 正确性. (3)数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法,对问题进行探究, 寻求数学对象的规律和联系;能正确地表述探究过程和结果,并予以证明. 【知识内容】 (1)方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列. (2)方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列. (3)方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列;函数与分析/函数及其基本性质/函 数的基本性质. 【参考答案】 (1) an ? n , ????????????????????????2 分

17

1 n ? bn ?1 ? bn ? an ? bn ? , 2 2

? 由累加法得 bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ???? ? (bn ? bn?1 )

???????4 分

1 n(n ? 1) ? 0 ? [1 ? 2 ? ??? ? (n ? 2) ? (n ? 1)] ? .??????????????6 分 2 4
(2) cn?1 ? cn ? an?12 ? 4bn?1 ? (an 2 ? 4bn ) ?????????????????8 分

1 ? (an ? 1) 2 ? 4( an ? bn ) ? (an 2 ? 4bn ) ? 1 2

? ?cn ? 是公差为 1 的等差数列.????????????????????11 分
(3)由解方程得:x ?

?an ? cn ?ak ? ck , 由条件, f k ( x) ? 0 两根 x ? 为整数, 则 ? ? ck 2 2
????12 分

必为完全平方数,不妨设 ck ? m2 (m ? N) , 此时 x ?

?ak ? ck ?ak ? m 为整数,? ak 和 m 具有相同的奇偶性,???13 分 ? 2 2

由(2)知 ?cn ? 是公差为 1 的等差数列,取 n ? k ? 2m ? 1

? ck ? 2 m ?1 ? ck ? 2m ? 1 ? m 2 ? 2m ? 1 ? ? m ? 1?
此时 x ?

2

????????????15 分

?ak ?2m?1 ? ck ?2m?1 ?(ak ? 2m ? 1) ? (m ? 1) ? 2 2

? ak 和 m 具有相同的奇偶性,? ak ? 2m ? 1和 m ? 1 具有相同的奇偶性, ?17 分
所以函数 f k ?2m?1 ( x) 有两个整数零点. 由递推性可知存在无穷多个 f n ( x) 有两个整数零点.?????????18 分

18


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