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第二章基本初等函数、导数及其应用第4课时

时间:2014-07-29


第二章

基本初等函数、导数及其应用

第4课时 函数的奇偶性与周期性

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基本初等函数、导数及其应用

教材回扣夯实双基
基础梳理
1.函数的奇偶性

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基本初等函数、导数及其应用

奇偶性

定义

图象特点

如果对于函数f(x)的定 关于 义域内任意一个x,都 y轴 ______对 偶函数 f ( - x ) = f ( x ) 有____________,那 称 么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定 关于 义域内任意一个x,都 原点 对 ______ 奇函数 f ( - x ) =- f ( x ) 有______________,那 称 么函数f(x)是奇函数
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基本初等函数、导数及其应用

思考探究 奇、偶函数的定义域有何特点? 提示:若函数f(x)具有奇偶性,则f(x) 的定义域关于原点对称.反之,若函 数的定义域不关于原点对称,则该函 数无奇偶性.

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基本初等函数、导数及其应用

2.周期性 (1) 周期函数:对于函数 y = f(x) ,如果 存在一个非零常数 T ,使得当 x 取定义 域 内 的 任 何 值 时 , 都 有 f(x + T ) = f(x) ,那么就称函数 y = f(x) 为周期 ______ 函数,称T为这个函数的周期.

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(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)

存在一个最小 的所有周期中________________ 的正
数,那么这个________ 最小 正数就叫做f(x)

的最小正周期.

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基本初等函数、导数及其应用

课前热身 1.对任意实数x,下列函数为奇函数 的是( ) B.y=-3x2 D.y=-|x|cosx

A.y=2x-3 C.y=ln5x 答案:C

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基本初等函数、导数及其应用

2 . (2012· 漳州调研 ) 已知 f(x)= ax2+ bx 是定义在 [a- 1,2a]上的偶函数,那么 a +b 的值是( 1 A.- 3 1 C. 2 ) 1 B. 3 1 D.- 2

答案:B
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1 3.函数 f(x)= -x 的图象( x A.关于原点对称 B.关于直线 y=x 对称 C.关于 x 轴对称 D.关于 y 轴对称

)

1 解析:选 A.因为函数 f(x)=x-x 为奇函 数.所以 f(x)的图象关于原点对称.

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4 . (2012· 三明质检 ) 已知 f(x) 在 R 上是

奇 函 数 , 且 满 足 f(x + 4) = f(x) , 当
x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(2011)=( A.-2 C.-98 B.0 D.98 )

答案:A

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基本初等函数、导数及其应用

5.(教材习题改编)设f(x)是定义在R上

的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,
则f(-2)=________.

答案:-1

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基本初等函数、导数及其应用

考点探究讲练互动
考点突破 具体函数奇偶性的判定
判断函数的奇偶性,应该首先分析函
数的定义域,在分析时,不要把函数 化简,而要根据原来的结构去求解定

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基本初等函数、导数及其应用

义域,如果定义域不关于原点对称, 则一定是非奇非偶函数.若定义域关 于原点对称了,再分析f(-x)与f(x)的 关系,必要时可对函数的解析式进行 化简等价变形.

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判断下列各函数的奇偶性: 1 2 (1)f(x)=lgx +lg 2; x 1+x (2)f(x)=(x-1) ; 1-x
例1
?x2+x,x<0, (3)f(x)=? 2 ?-x +x,x>0;

lg?1-x2? (4)f(x)= 2 . |x -2|-2

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基本初等函数、导数及其应用

【思路分析】

可从定义域入手,在

定义域关于原点对称的情况下,考查 f(-x)与f(x)的关系.

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基本初等函数、导数及其应用

【解】 (1) 函数的定义域: ( -∞, 0) ∪ (0 ,+∞) 关于原点对称,且 f(x) = 2 1 lg(x ·2)=0(x≠0). x ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. 1+x (2)由 ≥0 得定义域为[-1,1),关于 1-x 原点不对称, 故 f(x)为非奇非偶函数.

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基本初等函数、导数及其应用

(3)当x<0时,-x>0,则

f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x);
当x>0时,-x<0,则

f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).
综上,对x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f( -x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数.
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?1-x2>0, (4)由? 2 得定义域为(-1,0) ?|x -2|-2≠0

lg?1-x2? ∪ (0,1) ,这时 f(x) = =- 2 -?x -2?-2 lg?1-x2? . x2 lg[1-?-x?2] 因 为 f( - x) = - =- 2 ?-x? lg?1-x2? =f(x),所以 f(x)为偶函数. 2 x
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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】 对于(1)的结论不能只说 奇函数或偶函数.对于(2)若化简为 f(x) =- 1-x2或者 f(x)= 1-x2都导致错 误判断.对于(3)要分段研究,不能只研 究一段.对于(4)化简为等价变形.

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基本初等函数、导数及其应用

互动探究

lg?1-x2? 1.例 1 第(4)小题改为 f(x)= . |x-2|-2
解:易知 f(x)的定义域是(-1,0)∪(0,1), ∴函数定义域关于原点对称. lg?1-x2? ∴f(x)=- ,f(-x)=-f(x) . x ∴f(x)是奇函数.

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基本初等函数、导数及其应用

抽象函数奇偶性的应用
(1)奇函数的图象关于原点对称;偶函
数的图象关于y轴对称.

(2)奇函数在关于原点对称的区间上的
单调性相同,偶函数在关于原点对称

的区间上的单调性相反.

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基本初等函数、导数及其应用

例2

已知奇函数f(x)的定义域为[-

2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足:f(1

-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围.
【思路分析】

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基本初等函数、导数及其应用

【解】

∵f(x)的定义域为[-2,2].

?-2≤1-m≤2 ∴有? , 2 ?-2≤1-m ≤2

解得-1≤m≤ 3. ① 又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减, ∴在[-2,2]上递减, ∴ f(1 - m)< - f(1 - m2) = f(m2 - 1) ? 1 - m>m2-1, 即-2<m<1, ② 综合①②可知,-1≤m<1.
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【名师点评】

(1)奇函数f(x)在x=0

处有意义,一定有f(0)=0. (2)f(x)是偶函数?f(-x)=f(x)=f(|x|).

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互动探究

2.若本例为:设定义在[-2,2]上的偶
函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1

-m)<f(m).求实数m的取值范围.

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基本初等函数、导数及其应用

解:∵f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x)=f(|x|), ∴ 不 等 式 f(1 - m)<f(m) ? f(|1 - m|)<f(|m|). 又当 x∈[0,2]时,f(x)是减函数.
?|1-m|>|m| ? ∴?-2≤1-m≤2 ? ?-2≤m≤2

1 ,解得-1≤m< . 2

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例3

设函数f(x)的定义域为R,对于

任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y), 当x>0时,f(x)>0且f(2)=6. (1)求证:函数f(x)为奇函数; (2)求证:函数f(x)在R上是增函数; (3)在区间[-4,4]上,求f(x)的最值.

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基本初等函数、导数及其应用

【思路分析】

(1)只须证:f(-x)=

-f(x);抽象函数先赋值,再代换. (2)应用f(x2)=f[(x2-x1)+x1]= f(x2- x1)+ f(x1)求解; (3)结合前两问易知.

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基本初等函数、导数及其应用

【解】

(1)证明:令x=y=0,得f(0)

=f(0)+f(0), 所以f(0)=0, 令y=-x,有f(0)=f(x)+f(-x),所以 f(-x)=-f(x), 所以函数f(x)为奇函数.

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基本初等函数、导数及其应用

(2)证明:设x1,x2∈R,且x1<x2, 则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2- x1), 又x>0时,f(x)>0,所以f(x2)-f(x1) =f(x2-x1)>0,即f(x2)>f(x1), 所以函数f(x)在R上是增函数.

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基本初等函数、导数及其应用

(3)因为函数f(x)在R上是增函数, 所以f(x)在区间[-4,4]上也是增函数, 所以函数f(x)的最大值为f(4),最小值 为f(-4), 因为f(2)=6,所以f(4)=f(2)+f(2)=12,

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基本初等函数、导数及其应用

又f(x)为奇函数,所以f(-4)=-f(4)=

-12,
故函数f(x)在区间[-4,4]上的最大值为

12,最小值为-12.

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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

函数的最值问题,可

先通过判断函数的奇偶性、单调性,
再求区间上的最值.

遇到抽象函数的问题,应据题意:①
往往要用到“赋值法”;②怎么“脱去f” 的抽象符号;③脱去后注意单调性的 应用;④还要注意定义域的限制条件 的约束.
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基本初等函数、导数及其应用

函数的周期性
与奇函数、偶函数有关的求周期函数

解析式问题,求解时将x设在所求解析
式的区间上,将x加上或减去周期的倍

数,转化为已知解析式的区间,利用
奇、偶函数和周期函数的性质求出解 析式.
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基本初等函数、导数及其应用

例4 设f(x)是定义在R上的奇函数,

且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x). 当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式; (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2012).

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基本初等函数、导数及其应用

【思路分析】

(1) 由f?x+2?=-f?x? →

f?x+4?=f?x? → f?x?是周期函数 (2) 由奇函数 → [-2,0]上的解析式 → 由周期性 → f?x?在[2,4]上的解析式 (3) 由周期性 → 和的值

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基本初等函数、导数及其应用

【解】

(1)证明:∵f(x+2)=-f(x),

∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数.

(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得
f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,

又f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2,

∴ f ( x ) = x 2+ 2 x .
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基本初等函数、导数及其应用

又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],
∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).

又f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2 -6x+8. 从而求得x∈[2,4]时, f(x)=x2-6x+8.
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基本初等函数、导数及其应用

(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.
又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6) +f(7) =…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+ f(2011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2012)=f(0)=

0.
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基本初等函数、导数及其应用

【误区警示】

(1)(2)中易找不到思路

而无法进行,原因是不能灵活运用函

数的奇偶性、周期性.
(3)中不会利用周期函数的性质将所求

值转化为f(0)、f(1)、f(2)、f(3)和的值.
还要注意计算此类具有周期性的连加 题时,应从后面算起,这样剩余的是 前面较小的数值较易求解.
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基本初等函数、导数及其应用

方法感悟
1.深化拓展奇函数和偶函数的定义 (1)定义域在数轴上关于原点对称是函 数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分 条件

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基本初等函数、导数及其应用

(2)f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域 上的恒等式.在利用定义时,可应用定义 的等价形式: f( - x) = ± f(x) ? f( - x)± f(x) f?-x? =0? =± 1(f(x)≠0). f?x? (3)函数 y=f(x+1)是奇函数?f(-x+1)= - f(x + 1) ? 函 数 f(x) 的 对 称 中 心 为 (1,0).函数 y=f(x+1)是偶函数?f(-x+ 1)=f(x+1)?函数 f(x)的对称轴为 x=1.
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2.奇函数的图象关于原点对称,偶函 数的图象关于y轴对称,反之也真.利 用这一性质可简化一些函数图象的画 法,也可以利用它去判断函数的奇偶 性.

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基本初等函数、导数及其应用

3.若对于函数 f(x)的定义域内任一个自 变量的值 x 都有 f(x+a)=-f(x)或 f(x+ 1 1 a) = 或 f(x + a) =- (a 是常数且 f?x? f?x? a≠0),则 f(x)是一个周期为 2a 的周期函 数. 4.函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对 称 ?f(a+x)=f(a-x)?f(2a-x)=f(x)
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基本初等函数、导数及其应用

失误防范 1.判断函数的奇偶性,首先应该判 断函数定义域是否关于原点对称.定 义域关于原点对称是函数具有奇偶性 的一个必要条件.

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基本初等函数、导数及其应用

2.判断函数f(x)是奇函数,必须对定 义域内的每一个x,均有f(-x)=-

f(x).而不能说存在x0使f(-x0)=-
f(x0).对于偶函数的判断以此类推.

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考向瞭望把脉高考
命题预测 从近几年的高考试题来看,函数的奇 偶性、周期性是高考命题的热点.主 要是奇偶性与单调性的小综合,周期

性的考查常以利用周期性求函数值,
以选择题、填空题的形式出现,这部
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基本初等函数、导数及其应用

分知识对学生要求很高,属中低档 题,要重视函数的奇偶性和周期性 综合的训练.

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基本初等函数、导数及其应用

预测 2013 年的福建高考中, 对这一知 识点的考查难度不大,以客观题型为 主,考查函数的奇偶性、周期性.特 别是抽象函数的赋值法和周期函数的 两个性质 f(x) =- f(x + a) , f(x) =- 1 值得关注. f?x+a?

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典例透析


( 2011· 高考大纲全国卷 )设 f(x)是周

期为 2 的奇函数, 当 0≤x≤1 时, f(x)=2x(1 ? 5? ? ? -x),则 f?- ?=( ) 2? ? 1 1 A.- B.- 2 4 1 1 C. D. 4 2
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【解析】 因为函数的周期为 2, 所以

?5? ? ? f? ? ?2?

? ?1 ? 1? 1 ? ? ? ? = f ?2+ ? = f ? ? = ,又函数是奇函数, 2 ? ?2 ? 2 ? ? ?5 ? 5? 1 ? ? ? ? ∴f?- ?=-f? ?=- . 2? 2 ? ?2 ?

【答案】

A

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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

此类题型是高考的热

点,但有些考生不会转化,其原因在
于不能把函数的周期性和奇偶性进行

较好结合.

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