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陕西省师大附中2013届高三第四次模拟考试数学(文)试题


陕西师大附中高三 2013 届第四次模拟考试 数学试题(文科)
第Ⅰ卷 选择题(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. i 为虚数单位,则 ( (A) ?i 2.已知 f (x) ? ? (A) 2

1 ? i 2013 ) =( 1?

i
x ?0 x?0

) (C) ?1 ,则 f (?1) =( (C) 0 ) (D) 4 ) (D) 1

(B) i

?log 2 x ?f (x ? 1)
(B) 1

3.若 a , b 是两个非零向量,则“ a ? b ? a ? b ”是“ a ? b ”的( (A)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (B)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

4.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3 ,它的三视图中的俯视图如右图所 示.左视图是一个矩形.则这个矩形的面积是( (A) 4 (C) 2 (B) )

3
俯视图

(D) 2 3

5.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x (万元) 销售额 y (万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

根据上表可得回归方程 y ? bx ? a 中的 b 为 9.4 ,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额 为( ) (B) 65.5 万元 (D) 72.0 万元

(A) 63.6 万元 (C) 67.7 万元

6.设 α、β 是两个不同的平面,l、m 为两条不同的直线,命题 p:若 α∥β,l?α,m?β 则 l∥m;命题 q:l∥α,m⊥l,m?β,则 α⊥β.则下列命题为真命题的是( (A) p 或 q (C)非 p 或 q (B)p 且 q (D) p 且非 q
1

)

7. 数列 ?a n ? 的通项公式为 a n ? 2n ? 49 , 当该数列的前 n 项和 Sn 达到最小时, 等于( n (A) 24 8.函数 y ? sin (A) 10 (B) 25 (C) 26 (D) 27 )

)

?
3

x 在区间 ?0,t ? 上至少取得 2 个最大值,则正整数 t 的最小值是(
(B) 9 (C) 8 (D) 7

9.已知函数 f (x) ? x ? 4 ? 图象为(

9 1 x ?b , x ? ?0, 4? ,当 x ? a 时, f (x) 取得最小值 b ,则函数 g ( x ) ? ( ) 的 a x ?1


10.如图,已知圆 M :( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 ,四边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形, E 、

F 分别为边 AB 、 AD 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心
转动时, ME ? OF 的取值范围是( (A) [?6 2 ,6 2 ] (C) [?3 2 ,3 2 ] )

y C D F M B A E x

M

(B) [?6,6] (D) [?4,4]
O

(第 10 题)

2

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上. 11.在区间 ? ?1 2? 上随机取一个数 x ,则 x ??0,1? 的概率为 , 12.下面程序框图,输出的结果是________. .

13.方程

x2 y2 ? ? 1 表示曲线 C ,给出以下命题: 4 ? t t ?1

①曲线 C 不可能为圆; ②若 1 ? t ? 4 ,则曲线 C 为椭圆; ③若曲线 C 为双曲线,则 t ? 1 或 t ? 4 ; ④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 1 ? t ?

5 . 2

其中真命题的序号是_____(写出所有正确命题的序号).

? 2 x ? y ? 5, ? 14.我校计划招聘男教师 x 名,女教师 y 名, x 和 y 须满足约束条件 ? x ? y ? 2, 则我校招 ? x ? 6, ?
聘的教师人数最多是 名.

15.本题 A、B、C 三个选答题,请考生任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. A.(不等式选讲)不等式

1 1 ? 1 ? ? 2 ? 3 的解集是 x x

.

B. (坐标系与参数方程) 在极坐标中, ? ? 4 cos ? 的圆心 C 到直线 ? sin(? ? 圆 距离为 .

?
4

)?2 2的

C. (几何证明选讲)圆 O 是 ?ABC 的外接圆,过点 C 的圆
B

A

的切线与 AB 的延长线交于点 D , CD ? 2 7 ,

O D C

AB ? BC ? 3 ,则 AC 的长为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 某地三所高中校 A 、 B 、 C 联合组织一项活动,用分层抽样方法从 三所学校的相关人员 中,抽取若干人组成领导小组,有关数据如下表(单位:人)

3

(Ⅰ)求 x , y ; (Ⅱ)若从 B 、 C 两校抽取的人中选 2 人任领导小组组长, 求这二人都来自学校 C 的概率.

17.(本题满分 12 分)如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上,矩形 ABCD 所在的 平面和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB ? 2 , AD ? EF ? 1 . (Ⅰ)求证: AF ? 平面 CBF ; (Ⅱ)求三棱锥 C ? OEF 的体积.
C

D

B E

O
A F

4

18.(本题满分 12 分)如图, A 、 B 是单位圆上的动点, C 是单位圆与 x 轴的正半轴的交 点,且 ?AOB ?

?
6

,记 ?COA? ? , ?

? (0, ? ) , ?AOC 的面积为 S .

(Ⅰ)若 f (? ) ? OB? OC ? 2 S ,试求 f (? ) 的最大值以及此时 ? 的值.
2 ?? 3 4 (Ⅱ)当 A 点坐标为 (? , ) 时,求 BC 的值. 5 5

?? ? ?? ?

19. (本题满分 12 分) 已知公差不为零的等差数列 {an } 的前 10 项和 S10 ? 55 , a2,a ,a 且 4 8 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? (?1)n an ? 2n ,求 {bn } 的前 n 项和 Tn .

5

20.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 10 , (I)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 ? 2, f ? 2? ? 处的切线方程; (II)在区间 ?1,2? 内至少存在一个实数 x ,使得 f (x)<0 成立,求实数 a 的取值范围.

21.(本题满分 13 分)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 y 轴上,且过点 (2, 1) . (Ⅰ)求抛物线的标准方程; (Ⅱ)与圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1相切的直线 l : y ? kx ? t 交抛物线于不同的两点 M , N 若抛物 线上一点 C 满足 OC ? ?(OM ? ON) (? ? 0) ,求 ? 的取值范围.

6

数学(文科)参考答案
一、选择题(本题共10小题,每题5分,共50分)
题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 D 5 B 6 C 7 A 8 C 9 B 10 B

二、填空题(本题共5小题,每题5分,共25分)
11.

1 3

1 12. 2010

13. ③④

14. 10

15. A. ? x ?1 ? x ? 0或0 ? x ? ?

? ?

1? 2?

B.

2

C.

3 7 2

三、解答题(本题共5小题, 每题12分,共60分)
16. 解: (Ⅰ)∵分层抽样 ∴18∶x=36∶2 54∶y=36∶2 x=1 y=3 ?????????2 分 ????????? 4 分

(Ⅱ)设从 B 校抽取的 2 人为 B1、B2,从 C 校抽取的 3 人为 C1、C2、C3,从这 5 个人中选 2 人任组长的选法共有: 1,B2)(B1,C1)(B1,C2)(B1,C3)(B2,C1)(B2,C2)(B2, (B , , , , , , C3)(C1,C2)(C1,C3)(C2,C3)10 种.而两人都来自 C 校的有(C1,C2)(C1,C3)(C2, , , , , , C3)3 种. ∴所求概率为 ?????????10 分

3 . 10

?????????12 分

C

17.(Ⅰ)证明:平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB , 平面 ABCD I 平面 ABEF ? AB ,
D B E
O

? CB ? 平面 ABEF ,
∵AF 在平面 ABEF 内,∴ AF ? CB , ????? 3 分 又 AB 为圆 O 的直径,∴ AF ? BF , ∴ AF ? 平面 CBF . ?????????? 6 分 (Ⅱ)解:由(1)知 CB ? 面ABEF 即 CB ? 面OEF , ∴三棱锥 C ? OEF 的高是 CB , ∴ CB ? AD ? 1 ,??? 8 分 连结 OE 、 OF ,可知 OE ? OF ? EF ? 1
7

A

F

∴ ?OEF 为正三角形,∴正 ?OEF 的高是

3 ,???10 分 2

∴ C ?OEF ? V

1 1 1 3 3 ,……12 分 CB ? S?OEF ? ? 1 ? ? ?1 ? 3 3 2 2 12

1 18. 【解】 (Ⅰ) S ? sin? ????????????2 分 2
?? ? ? ? ? ?? ? ? OB ? ? cos( ? ), sin( ? ) ?, OC ? (1,0) ? ? 6 6 ? ?

??? ??? ? ? 则 f (? ) ? OB? OC? 2S ? cos( ? ) ? sin? ? sin( ? ) , ????4 分 ? ? 6 3

?? ? (0, ? ) ,故 ? ?

?
6

时, f (? ) max ? 1 ???????6 分

3 4 ? (Ⅱ)依题 cos? ? ? , sin? ? , 在Δ BOC中?BOC ? ? ? 5 5 6

由余弦定理得:

( | BC | ? 1 ? 1 ? 2 ?1?1? cos ? ?
19. 解(Ⅰ) 由已知得:

?? ? 2

?
6

) 2 ? 3 cos? ? sin? ? ?

14 ? 3 3 ??12 分 5

10 ? 9d ? ? 55 ?2a1 ? 9d ? 11 ?10a1 ? ?? 2 2 ? ?d ? a1 d ? 0 ?(a ? 3d ) 2 ? (a ? d )(a ? 7d ) 1 1 ? 1
因为

d ? 0 所以 d ? a1

所以 2a1 ? 9a1 ? 11,所以 a1 ? 1, d ? 1 所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? n ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6 分

?? n ? 2n (n为奇数) ? (Ⅱ) bn ? ? ?n ? 2 n (n为偶数) ?
(ⅰ) 当 n 为奇数时

Tn ? ?1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ? (?1 ? 2) ? (?3 ? 4) ? ? ? n ? (2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ) 2 ? (1 ? 2 n ) n ?1 ?n? 2 1? 2 n 5 ? 2 n ?1 ? ? 2 2 ?
(ⅱ) 当 n 为偶数时
8

Tn ? ?1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ? (?1 ? 2) ? (?3 ? 4) ? ? ? (?n ? 1 ? n) ? (2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ) n 2 ? (1 ? 2 n ) ? 2 1? 2 n ? 2 n ?1 ? ? 2 2 ?
? n ?1 n 5 ?2 ? 2 ? 2 ? 所以 Tn ? ? ?2 n ?1 ? n ? 2 ? 2 ? (n为奇数)
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 12 分

(n为偶数)
???????2 分

20. 解: (I)当 a ? 1 时, f ?(x)=3x2 ? 2 x , f (2)=14 , 曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线斜率 k ? f ?(2)=8 ,

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 8 x ? y ? 2 ? 0 . (II)解 1: f ?(x)=3x ? 2ax ? 3x(x ?
2

????6 分

2 a ) (1 ? x ? 2) 3

2 3 a ? 1 ,即 a ? 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 在 ?1, 2? 上为增函数, 3 2 3 故 f (x)min =f (1) ? 11 ? a ,所以 11 ? a ? 0 , a ? 11 ,这与 a ? 矛盾???8 分 2 2 3 当 1 ? a ? 2 ,即 ? a ? 3 时, 3 2 2 若 1 ? x ? a , f ?(x) ? 0 ; 3 2 若 a ? x ? 2 , f ?(x) ? 0 , 3 2 所以 x ? a 时, f (x) 取最小值, 3 2 8 3 2 3 10 a ? a ? 10 ? ? a 3 ? 10 ? 0 ,解得 a ? 3 ,这与 因此有 f ( a) ? 0 ,即 3 27 3 27 3 ? a ? 3 矛盾; ??????12 分 2 2 当 a ? 2 , 即 a ? 3 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 在 ?1, 2? 上为减函数,所以 f (x)min =f (2) 3 9 ? 18 ? 4a ,所以 18 ? 4a ? 0 ,解得 a ? ,这符合 a ? 3 . 2 9 综上所述, a 的取值范围为 a ? . ??????14 分 2
当 解 2:有已知得: a ?

x 3 ? 10 10 ? x? 2 , 2 x x
9

??????8 分

设 g ?x ? ? x ?

10 ?1 ? x ? 2? , g ??x ? ? 1 ? 10 , 2 x x3

?????10 分 ?????12 分

?1 ? x ? 2 ,? g ??x? ? 0 ,所以 g ?x ? 在 ?1,2? 上是减函数.

g ? x ?min ? g ?2? ?

9 , 2

故 a 的取值范围为 a ?

9 2

????????????????14 分

21. 解(Ⅰ) 设抛物线方程为 x 2 ? 2 py , 由已知得: 2 2 ? 2 p 所以 p ? 2 ┈┈┈┈┈4 分

所以抛物线的标准方程为 x 2 ? 4 y (Ⅱ) 因为直线与圆相切, 所以

t ?1 1? k
2

? 1 ? k 2 ? t 2 ? 2t ┈┈┈┈┈ 6 分

把直线方程代入抛物线方程并整理得:

x 2 ? 4kx ? 4t ? 0
由 ? ? 16k ? 16t ? 16(t ? 2t ) ? 16t ? 0
2 2

得 t ? 0 或 t ? ?3

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 8 分

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? 4k

y1 ? y2 ? (kx1 ? t ) ? (kx2 ? t ) ? k ( x1 ? x2 ) ? 2t ? 4k 2 ? 2t
由 OC ? ? ( OM ? ON) ? ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? (4k? , (4k 2 ? 2t )? ) 得 C(4k? , (4k 2 ? 2t ) ? ) ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 10 分 因为点 C 在抛物线 x 2 ? 4 y 上, 所以, 16k
2

?2 ? 4(4k 2 ? 2t ) ?

?? ? 1?

t t 1 ? 1? 2 ? 1? 2 2t ? 4 2k 2t ? 4t

因为 t ? 0 或 t ? ?3 , 所以 2t ? 4 ? 4 或 2t ? 4 ? ?2 所以 ? 的取值范围为 ( , 1) ? (1,

1 2

5 ) 4

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 13 分

10


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