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2012年高一数学竞赛解答14


2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

平面几何竞赛基础 14

── 梅涅劳斯定理及其逆定理
姓名:

爱因斯坦曾说:如果平面几何不能激起一个人的好奇心,那么这个人在科学上的发展也不会很远诶. 自学处理方法:先阅读完成例题解答,再独立完成练习并将解答回发 jyl

ingbin@163.com 邮箱,以便批阅反馈. 注意要求目的: 要求独立完成, 可以参阅资料. 目的是开学后考试选拔 100 名思维好且钻研能力强的竞赛选手.

一、基本知识 定理:若一条直线和 ΔABC 的三边或其延长线分别交于 P、Q、R 三点,则 其逆命题也成立,称梅涅劳斯逆定理;非常广泛. 证明:(提示:证明方法很多,通常中面积法,连结 AP 和 RC ;逆命题证明可也用面积法)

AR BP CQ ? ? ?1. RB PC QA

AR BP CQ ? ? RB PC QA S? ARP S? BPR S?CQP = ? ? S? RBP S? PCR S?QAP S? ARP S? BPR S? PCR = ? ? S? RBP S? PCR S? ARP 二、重要例题
例 1.如图在 ΔABC 中,AB>AC,AD 为∠ BAC 的平分线,点 E 在 ΔABC 的内部,且 EC⊥ AD,ED∥ AC;求证:射线 AE 平分 BC 边.(提示:考虑对称,延长 DE 交 AB 于 G ,延长 CE 交 AB 于 F ,两次使用梅氏定理,一次利用平
行,得到三个比式,从而得到 MB ? MC )

证明:设 AD,CE 交于 P,连结 MP 并延长交 AC 于 Q,延长 CE 交 AB 于F AE MD CQ ? ? ?1 由塞瓦定理可知: EM DC QA ∵DE∥AC AE CD ? ∴ EM MD

CQ ?1 ∴ QA ,即 CQ=QA ∵∠FAP=∠CAP,AP=AP, ∠FPA=∠CPA=90° ∴△FPA≌△CPA ∴FP=PC,即 PQ 为△AFC 中位线 ∴PQ∥AB,即 MQ∥AB 又∵Q 为 AC 中点, ∴M 为 BC 中点
1

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∴MB=MC 例 2.过 ΔABC 的三个顶点 A、B、C 作它的外接圆的切线,分别和 BC、CA、BA 的延长线交于 P、Q、R;求证:P、Q、R 三点共线.(提示:共线三点 P、Q、R 所在直线为 ?ABC 的外割线) 证明: ∵AP 是⊙O 切线 ∴△PCA∽△PAB PC PA CA ∴ ? ? PA PB AB PC PC CA CA 2 ∴ ? ? ?( ) PB PA AB AB RB BC 2 QA AB 2 同理 ?( ) , ?( ) RA AC QC BC CP BR AQ CA 2 BC 2 AB 2 ∴ ? ? ?( )( )( ) ?1 PB RA QC AB AC BC

Q

B

A

R

O C

∴P、Q、R 三点共线
例 3.设四边形 ABCD 的一组对边 AB 和 CD 的延长线线 交于点 E,另一组对边的延长线交于 F,求证:
E

P

AC 的中点 L,BD 的中点 M 及 EF 的中点 N 三 点共线.(提示:关键构造一个三角形,满足梅氏逆
定理的条件,取 P、Q、R 分别为 FB、EC、BC 的中 点,并连结 PQ、PR、QR、QN )
P L A Q D N

证明:∵R,L,Q 分别是 BC,AC,EC 中点 ∴QRL 共线,QR∥EB M QL AE ∴ ? LR AB PM ED QN FC RL AB R B ∴ ,同理 ? , ? ? MR DC NP FB LQ AE PM RL QN AB ED FC ∴ ? ? ? ? ? ?1 MR LQ NP AE DC FB ∴AC 的中点 L,BD 的中点 M 及 EF 的中点 N 三点共线 三、巩固练习 14 (以下两道题的解答要回发到邮箱 jylingbin@163.com) 1.如图,已知 ΔABC 的∠ 的外角平分线与边 BC A 的延长线交于 P,∠ 的平分线与边 CA 交于 Q, B ∠ 的平分线与边 AB 交于 R;求证:P,Q,R C 三点共线. 由知 BP BA CQ BC AR CA ? , ? , ? PC CA QA AB RB CB
B R Q A

C

F

C

P

2

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AR BP CQ CA BA BC ? ? ? ? ? ?1 RB PC QA CB CA AB ∴P,Q,R 三点共线
则 2. 如图, AD 为 ΔABC 的一条中线, 设 引任一条直线 CF 交 AD 于 E, AB 于 F, 交 求证: 直线 CEF 截△ABD,由梅涅劳斯定理得 AF BC DE ? ? ?1 FB CD EA 又∵BC=2CD AF DE 1 ∴ ? ? FB EA 2 AE 2AF ∴ ? ED FB B 3.如图,在 ΔABC 的边 BC,CA,AB 上分别取点 M,N,P;使满足:

AE 2 AF . ? ED FB
A

F E

D

C

BM CN AP ? ? ? k ? 1; MC NA PB
连结线段 CP,BN,AM 相交得 ΔXYZ,设原来的 ΔABC 的面积为 1,求 ΔXYZ 的面积. 易知(AP: BP) ?(BC:MC)?(ZM:AZ)=1 ∴k?(k+1)? ZM:AZ)=1 ( ∴ZM:AZ=1/(k?+k) ∴AZ:AM=(k?+k)/(k?+k+1) ∵BM/MC=k ∴S△AMC=1/(k+1) ∵AZ:AM=(k?+k)/(k?+k+1) ∴S△AZC=k/(k?+k+1) 同理,S△AXB=S△BYC= k/(k?+k+1) ∴S△XYZ=S△ABC-S△AXB-S△BYC-S△AZC =1- k/(k? +k+1)- k/(k? +k+1)- k/(k? +k+1) =(k? +k+1-3k)/(k? +k+1) =(k-1)?/(k?+k+1)
A

N X P Y B M Z C

3


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