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2.3.1 直线与平面垂直的判定


2.3.1

直线与平面垂直的判定

一教学目标
?重点:直线与平面垂直的定义和判定定理.

?难点:直线与平面垂直 的判定定理和线面角的求 法. ? 知识点:掌握直线和平面垂直的定义和判定 方法,理解直线和平面所成的角及其求法 . ?能力点:培养学生的几何直观能力,在直观感 知,操作确认的基础上学会归纳、概

括结论.
?教育点:在体验数学美的过程中激发学生学习 的兴趣,从而培养学生勤于思考,勤于动手的良 好品质.

1.线面垂直定义
(1)创设情境—感知概念

思考:如何定义一条直线 与一个平面垂直?

(2)观察归纳—形成概念
A
B α

讨论:能否用一条直线垂直于一个平面内 直线,来定义这条直线与这个平面垂直呢?

直线与平面垂直的定义 如果直线 a 与平面 α 内的任意一条直 任意 线都垂直,我们就说直线 a 与平面 α 互 相垂直,记作: a⊥α. 直线 a 叫做平面 α的垂线,平面α叫做直线a的垂 面.直线与平面垂直时,它们惟一的公 共点P 叫做垂足. a
m是平面?内任一条直线 ? ?? a ?? a?m ?

α

P

.

练习
判断正误:

①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条
直线,那么,这条直线就与这个平面垂直。 ②若a⊥α,b ?α,则a⊥b。
a
α

b

2.线面垂直判定定理的探究
问题①在长方体ABCD-
A1 B1 D1

A1B1C1D1中,棱BB1与底面 ABCD 垂直。观察BB1与AB、 BC 的位置关系,由此你认 A 为保证BB1⊥底面ABCD的条
件是什么?

C1

D D
B C

问题② 如何将一张长方形贺卡直立于 桌面?由此,你能猜想出判断一条直线与 一个平面垂直的方法吗?

猜想:一条直线与一个平面内的两条相交 直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

实验:过△ABC 的顶点A 翻折纸片,得
到折痕AD ,将翻折后的纸片竖起放置在

桌面上,(BD、DC 与桌面接触).
A

B

D

C

问题③折痕AD 与桌面垂直吗?如何翻折 才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直?

问题④由折痕AD⊥BC ,翻折之后垂直关系, 即AD⊥CD ,AD⊥BD 发生变化吗?由此你能得 到什么结论?

直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直

线都垂直,则该直线与此平面垂直。

l

m ? ? , n ? ? , m ? n ? P? ??l ?? ? l ? m, l ? n ?
线不在多,重在相交

m P

n

四理解新知
1. 定义:直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线与平面互相垂直,记作, 直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一公共点 叫做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段.垂 线段的长度叫这个点到平面的距离.图2.3.1-3

2.性质:直线与平面垂直的性质

图2.3.1-3

如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内任意一条直线垂直. 如图2.3.1-3.如果,垂足为,直线是平面内不过点的任意一条直线,那么在内过点,可 引直线 m / /? , 由 l ? ? 可得 l ? m .即 l ? ? , m ? ? ? l ? m

图2.3.1-3

理解新知

直线和平面垂直的判定定理
定理:如果一条直线和一个平面内的两 条相交直线都垂直,那么这条直线垂直 于这个平面.
l

?

m P

n

推论
? 推论1 如果在两条平行直线中,有一条垂 直于平面,那么另一条也垂直于这个平 面.如图2.3.1-5. ? 即.图2.3.1-4 ? 推论2 如果两条直线垂直于同一个平面, 那么这两条直线平行.如图2.3.15.即.图2.3.1-5图2.3.1-6 ?
图2.3.1-4 图2.3.1-5 图2.3.1-6

理解新知 3.直线和平面所成角
1.斜线 和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线 2.斜足 斜线和平面相交的交点 3.斜线在平面内的射影 过斜线上斜足以外的一点向平
面引垂线,过垂足和斜足的直线

P

平面的斜线和它在平面 内的射影所成的锐角,叫 ? 做直线和平面所成的角

A

O

说明:
1.若直线垂直平面,则直线和平面所成的角为90° 2.若直线和平面平行,或直线在平面内,则直线和平 面所成的角为0 °

直线和平面所成角的取值范围为

[0°,90°]

理解新知

直线和平面所成的角

知识探究(一):平面的斜线

思考1:当直线与平面相交时,它们可能垂直,也 可能不垂直,如果一条直线和一个平面相交但不 垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平 面的交点叫做斜足.那么过一点作一个平面的斜 线有多少条? l

斜线 斜足
α
P

思考2:过斜线上斜足外一点向平面 引垂线,连结垂足和斜足的直线叫 做这条斜线在这个平面上的射影.那 么斜线l在平面α内的射影有几条?
l α A P

B

思考3:两条平行直线、相交直线、 异面直线在同一个平面内的射影可 能是哪些图形?

思考4:如图,直线l是平面α 的一条 斜线,它在平面α 内的射影为b,直 线a在平面α 内,如果a⊥b,那么直 线a与直线l垂直吗?为什么?反之成 立吗?
l
b

α

a

a ?b?a ?l

知识探究(二):直线和平面所成的角

思考1:平面的一条斜线与这个平面总存 在一个相对倾斜度,我们设想用一个平 面角来反映这个倾斜度,并且这个角的 大小由斜线与平面的相对位置关系所确 定,那么角的顶点宜选在何处?
l

α

思考2:如图,AB为平面α 的一条斜 线,A为斜足,AC为平面α 内的任意 一条直线,能否用∠BAC反映斜线AB 与平面α 的相对倾斜度?为什么?
B

A

α

C

思考3:反映斜线与平面相对倾斜度 的平面角的顶点为斜足,角的一边 在斜线上,另一边在平面内的哪个 位置最合适?为什么?
P

α

A

B

思考4:我们把平面的一条斜线和它在平 面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线 和这个平面所成的角.在实际应用或解题 中,怎样去求这个角?
P

α

A

B

思考5:特别地,当一条直线与平面垂 直时,规定它们所成的角为90°;当 一条直线和平面平行或在平面内时, 规定它们所成的角为0°.这样,任何 一条直线和一个平面的相对倾斜度都 可以用一个角来反映,那么直线与平 面所成的角的取值范围是什么?

[0 ,90 ]

思考6:如图,直线l是平面α 的一条 斜线,它在平面α 内的射影为b,直 线a在平面α 内,如果a⊥b,那么直 线a与直线l垂直吗?为什么?反之成 立吗?
l
b

α

a

a ?b?a ?l

例1.如图(3),已知a∥b,a⊥α, 求证:b⊥α
a
m

b
n

?

如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面,那么另一条也垂直于同一个平面 。

( 3)

练习.如图,已知:α ∩β =l ,PA⊥α 于 Α ,PB⊥β于B,AQ⊥l于Q,
求证:BQ⊥l . 提示: 欲证BQ⊥l ?l⊥平面BPQ ? l⊥PQ ?l⊥平面PAQ
?
A

P

l

Q

B

?

例2在正方体ABCD-A’B’C’D’中,求:
(1)直线A’B和平面ABCD所成的角 (2)直线A’B和平面A’B’CD所成的角
D’ A’ B’ O

C’

D A B

C

练习:P74

练习.如图,已知△ABC 在平面α内, 直线a与平面α相交,且a⊥AC,a⊥BC. 求证:a⊥AB
a
C A

?

B

六小结归纳

1.直线和平面垂直的定义和判定及性 质 : 定义:如果一条直线与平面内的任
意一条直线都垂直,则称这条直线 与这个平面垂直.
判定定理:如果一条直线和一个平面内 的两条相交直线都垂直,那么这条直线 垂直于这个平面.

4.总结反思—提高认识
(1)通过本节课的学习,你学会了
哪些判断直线与平面垂直的方法?

(2)在证明直线与平面垂直时应注
意哪些问题?

(3)本节课你还有哪些问题?

直线与平面垂直的判定方法 1. 定义:如果一条直线垂于一个平面内的任何一条 直线,则此直线垂直于这个平面. 2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条 相交直线,那么此直线垂直于这个平面。 3. 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那 么另一条也垂直于同一个平面。

4.如果直线和平面所成的角等于90°,则这条直线和 平面垂直

“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。

作业:必做题: P73习题 2.3A组:2. 8 . 9 选做题:学案


§2.3.1直线与平面垂直的判定教案

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