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2016届高三理科数学试题(59)


2016 届高三理科数学试题(59)
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1、复数z 满足 z ? i = 3 ? i ,则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2、若集合 A ? {x | A. {x | 0 ? x ? 1}

x ? 0

} , B ? {x | x2 ? 2 x} ,则 A ? B ? ( x ?1
B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1}



D. {x | 0 ? x ? 1} )

2 3、函数 f(x)=2x- -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是( x A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2) ) D. ? ? ? ? ?

4、已知 a ? b ? 0 ,则下列不等式一定成立的是(
2 A. a ? ab

B. a ? b

C.

1 1 ? a b

?1? ?2?

a

?1? ? 2?

b

5、在等差数列 ?an ? 中, a9 ? A. 132 B.66

1 a12 ? 6 ,则数列 ?an ? 的前 11 项和 S11 等于( 2
C.48 D .24



6 、给出下列两个命题,命题 p : “ x ? 3 ” 是 “ x ? 5 ” 的充分不必要条件;命题 q :函数

y ? log2

?

x2 ? 1 ? x 是奇函数,则下列命题是真命题的是(
B. p ? ?q C. p ? q

?



A. p ? q

D. p ? ?q

?2 x ? y ? 0 ? ? 7、已知变量 x, y 满足: ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则z ? ? ? ?x ? 0
A.

? 2?

2 x? y

的最大值为(



2

B. 2 2 中,前 n 项和为 C.
x ?1

C.2 ,已知 D.

D.4 ,则 ( )

8、设等比数列 A. B.

9、已知 f ( x ? 1) ? x ? 1 ? e 形面积为 ( ) A

,则函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线 l 与坐标轴围成的三角 D.2

1 2

B.

1 C.1 4

10、 若变量 x, y 满足

x ? ln

1 ? 0 则 y 关于 x 的函数图象大致是( y



1

11、已知函数 f ( x ? 1) 是偶函数,当 x∈(1,+∞)时,函数 f ( x) ? sin x ? x , 设 a = f ( ? ) , b ? f (3) , c ? f (0) ,则 a 、 b 、 c 的大小关系为( A. b < a < c B. c < a < b C. b < c < a

1 2

)

D. a < b < c

12、定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足: f ? x ? ? 1 ? f ? ? x ? , f ? 0? ? 0, f ? ? x ? 是f ? x ? 的导函数, 则不等式 ex f ? x ? ? ex ?1 (其中 e 为自然对数的底数)的解集为( A. ) D.

? ??, ?1? ? ?0, ???

B.

? 0, ?? ?

C.

? ??,0? ? ?1, ???

? ?1, ???

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13、计算 (log4 3 ? log8 3)(log3 2 ? log9 2) =________. 14、由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的封闭图形的面积为 ________. 15、 已知 f(x)是偶函数, 它在[0, +∞)上是减函数, 若 f(lgx)>f(1), 则 x 的取值范围是 ________.

x2 ? 3 ? a 恒成立,则 a 的最大值是____________. 16、若对任意的 x>1, x ?1
三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分。 ) 17、 (本题满分 12 分)已知等比数列 {an } 满足 2a1 ? a3 ? 3a2 ,且 a3 ? 2 是 a 2 , a 4 的等差 中项.(1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 若 bn ? a n ? log2

1 , {bn } 的前 n 项和为 S n ,求使 an

S n ? 2 n?1 ? 47 ? 0 成立的正整数 n 的最小值.

18、 (本题满分 12 分)函数 f ( x)=x ln x,g( x) ? x ? ax ? x ? 2
3 2

2

(1)如果函数 g ( x ) 单调减区调为 ( ?

1 ,1) ,求函数 g ( x ) 解析式; 3

(2)在(1)的条件下,求函数 y ? g ( x ) 图象过点 p(1,1) 的切线方程;

19、 (本题满分 12 分)为了进一步激发同学们的学习热情,某班级建立了理科. 文科两个学 习兴趣小组,两组的人数如下表所示. 现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从 两组中共抽取 3 名同学进行测试 .

?1? 求从理科组抽取的同学中至少有 1名女同学的概率; ? 2 ? 记 ? 为抽取的 3 名同学中男同

学的人数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

20. (本小题 12 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 2Sn ? 3n ? 3. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 anbn ? log3 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

21. (本题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ? 2 ? a ? ln x ?

1 ? 2ax ( a ? 0 ) . x ?1? 当 a ? 0 时,求 f ? x ? 的极值; ? 2 ? 当 a ? 0 时,讨论 f ? x ? 的单调性;

? 3? 若 ?a ? ? ?3, ?2? ,x1 ,x2 ??1,3? ,有 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,求实数 m
的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答 22. 如图,已知 AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线,交 BC 的延长线于点 D,
3

延长 DA 交△ABC 的外接圆于点 F,连结 FB,FC. (1)求证:FB=FC; (2)若 FA=2,AD=6,求 FB 的长.

23、以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知点 P 的直角坐标为(1,-5),点 M 的 π 极坐标为(4, ).若直线 l 过点 P, 2 π 且倾斜角为 ,圆 C 以 M 为圆心、4 为半径.(1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的 3 极坐标方程;(2)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系.

24、已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 .(Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若存在实数 x ,使得 f ( x) ? x ? a ,求实数 a 的取值范围.

4

数学(理科)参考答案
一、 选择题: 1 题—12 题:CACCA 二、 填空题: 13、 5/4 14、 CDABB 1 15、( ,10) 10 AB

16 3

16、6

三.解答题: 17 题:解:设公比为 q 由 又

2a1 ? a3 ? 3a2 得 2a1 ? a1q 2 ? 3a1q ,∴ 2 ? q 2 ? 3q ,解得 q=1 或 2
a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项即 2( a3 ? 2 )= a2 ? a4

若 q=1,则 2( a 1 +2)=2 a 1 ,方程无解,舍去; 若 q=2,则 2(4 a 1 +2)=2 a 1 +8 a 1 ,解得 a 1 =2 ∴

an ? a1q n-1 ? 2 n

---------------------6 分

(2)∵ bn ? a n ? log2

1 an

=2 -n

n

------------ 8 分

n(n ? 1) 2 - 2 n ?1 n(n ? 1) ? 2 n ?1 - 2 Sn ? 2 1- 2 2 ∴ -----10 分 n (n ? 1) S n ? 2 n ?1 ? 47 ? 45 ?0 2 2 ∴ 即 n ? n - 90 ? 0
∴n<-10(舍)或 n>9,∴正整数 n 的最小值为 10 18、(Ⅰ(1) g ?( x) ? 3x ? 2ax ?1 ? 0 解为 ?
2

----12 分

1 ? x ?1 3

1 2a ?? ? 1 ? ? ? a ? ?1 3 3

g ( x) ? x3 ? x2 ? x ? 2

………………5 分

(2)设切点为 ( x0,y0 ) ,则切线方程为 y ? y0 ? 3 x0 2 ? 2 x0 ? 1 ? x ? x0 ? (1,1)代入得 ?1 x03 ? x0 2 ? x0 ? 2 ? 3 x0 2 ? 2 x0 ? 1 ? x ? x0 ?

?

?

?

? ?

?

x0 ? x0 ? 1? =0
2

x0 =0或x0 =1
……………12 分

切线方程为 y ? ? x ? 2或y ? 1

19: (1)两小组的总人数之比为 8:4=2:1,共抽取 3 人,所以理科组抽取 2 人, 文科组抽取 1 人,…………………2 分 从理科组抽取的同学中至少有 1 名女同学的情况有:一男一女、两女,
1 1 C3 C5 ? C32 9 P? ? C82 14 . …………………4 分 所以所求的概率为:

5

(2)由题意可知 ? 的所有可能取值为 0,1,2,3,…………………5 分 相应的概率分别是

P(? ? 0) ?

1 1 1 1 C50C32 C3 C3 C5 C3 C32 1 9 48 ? P ( ? ? 1) ? ? ? 2 1 2 1 2 1 C8 C4 112 , C8 C4 C8 C4 112 , 1 1 1 C3 C5 1 C52 C3 C52 1 45 10 ? ? P ( ? ? 3) ? ? 2 1 2 1 2 1 C8 C4 C8 C4 112 , C8 C4 112 ,………………9 分

P(? ? 2) ?

所以 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

9 112

48 112

45 112

10 112

E? ? 1?

48 45 10 3 ? 2? ? 3? ? 112 112 112 2 .————12 分
1 (3 ? 3) ? 3 , 2

n 20: (Ⅰ)由 2Sn ? 3 ? 3 可得 a1 ? S1 ?

an ? Sn ? Sn ?1 ?
1?1

1 n 1 (3 ? 3) ? (3n ?1 ? 3) ? 3n ?1 (n ? 2) 2 2

而 a1 ? 3 ? 3 ,则 an ? ?

? 3, n ? 1, ——————5 分 n ?1 ?3 , n ? 1.

?1 , n ? 1, ? 3, n ? 1, log 3 an ? ?3 ?? (Ⅱ)由 anbn ? log3 an 及 an ? ? n ?1 可得 bn ? an ?3 , n ? 1. ? n ? 1 , n ? 1. ? ? 3n ?1
1 1 2 3 n? 1 ? ?2 ?3 ? ? ? . n? 1 3 3 3 3 3 1 1 1 2 3 n ? 2 n ?1 Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 n ?1 Tn ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 n ?1 ? ? 2 ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ) ? n 3 3 3 3 3 3 3 1 1 ? n 2 n ?1 2 1 3 n ?1 ? ?3 3 ? n ? ? ? ? n n 9 1? 1 3 9 2 2?3 3 3 13 2n ? 1 ? ? 18 2 ? 3n Tn ?
6

Tn ?

13 2n ? 1 ? ——————12 分 12 4 ? 3n ?1

21 解: (1)当 a ? 0 时, f ? x ? ? 2 ln x ?

1 2 1 2x ?1 , f ?? x? ? ? 2 ? ( x ? 0). x x x x2

由 f ?? x? ?

1 2x ?1 ? 0 ,解得 x ? . 2 2 x

∴ f ? x ? 在 ? 0, ? 上是减函数,在 ? ∴ f ? x ? 的极小值为 f ?

? ?

1? 2?

?1 ? , ?? ? 上是增函数. ?2 ?

?1? ? ? 2 ? 2ln 2 ,无极大值.………… 3 分 ?2?

(2) f ? ? x ? ?

2ax 2 ? ? 2 ? a ? x ? 1 ? ax ? 1?? 2 x ? 1? 2?a 1 ? 2 ? 2a ? ? ( x ? 0) . x x x2 x2
? ? 1? 2? ? 1 ? ?1 1? , ?? ? 上是减函数,在 ? , ? ? 上是增函数; ? a ? ?2 a?

①当 ?2 ? a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, ? 和 ? ?

②当 a ? ?2 时, f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是减函数; ③当 a ? ?2 时, f ? x ? 在 ?

1? ?1 ? ? ? 1 1? , ?? ? 和 ? 0, ? ? 上是减函数,在 ? ? , ? 上是增函数.8 分 a? ?2 ? ? ? a 2?

(3)当 ?3 ? a ? ?2 时,由(2)可知 f ? x ? 在 ?1,3? 上是减函数, ∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ?1? ? f ? 3? ?

2 ? 4a ? ? a ? 2 ? ln 3 . 3

由 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 对任意的 a ? ? ?3, ?2? , x1, x2 ??1,3? 恒成立, ∴ ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? max 即 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? 即 m ? ?4 ?

2 ? 4a ? ? a ? 2 ? ln 3 对任意 ?3 ? a ? ?2 恒成立, 3

2 对任意 ?3 ? a ? ?2 恒成立, 3a 13 13 2 38 ? ?4 ? ? ? ,∴ m ? ? . 由于当 ?3 ? a ? ?2 时, ? 3 3 3a 9
22(1)证明:∵A、C、B、F 四点共圆 ∴∠FBC=∠DAC 又∵AD 平分∠EAC ∴∠EAD=∠DAC 又∵∠FCB=∠FAB(同弧所对的圆周角相等) ,∠FAB=∠EAD ∴∠FBC=∠FCB ∴FB=FC;————————5 分 (2)解:∵∠BAC=∠BFC,∠FAB=∠FCB=∠FBC ∴∠FCD=∠BFC+∠FBC=∠BAC+∠FAB=∠FAC
7

…………… 12 分

∵∠AFC=∠CFD, ∴△FAC∽△FCD ∴FA:FC=FC:FD ∴FB2=FC2=FA?FD=16,∴FB=4.————————10 分

?x=1+2t 23:解:(1)直线 l 的参数方程为? 3 ?y=-5+ 2 t
圆 C 的极坐标方程为 ρ=8sinθ.————4 分 π (2)因为 M(4, )对应的直角坐标为(0,4), 2 直线 l 化为普通方程为 3x-y-5- 3=0,

1

,(t 为参数),

|0-4-5- 3| 9+ 3 圆心到 l 的距离 d= = >4,所以直线 l 与圆 C 相离.——————10 分 2 3+1 24:解:(Ⅰ)① 当 x ? ?

1 时, ?1 ? 2 x ? x ? 2 ? x ? ?3 ,所以 x ? ?3 2 1 1 ② 当 ? ? x ? 0 时, 2 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? ,所以为 ? 2 3 ③ 当 x ? 0 时, x ? 1 ? 2 ? x ? 1 ,所以 x ? 1
综合①②③不等式的解集为 ? ??, ?3? ? ?1, ?? ? ……………5 分

(Ⅱ)即 2 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? a ? x ?

1 a ? x ? 1? 2 2
1 a ? 1 ? ? a ? ?3 …………………10 分 2 2

由绝对值的几何意义,只需 ?

8


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