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二项式公式


二项式定理(一)

情境引入
今天是星期四,那么
(1)7天后的这一天是星期几呢? (2)如果是15天后的这一天呢? (3)如果是24天后的这一天呢?

(星期四)

(星期五)
(星期天)

(4)如果是 8100 天后的这一天呢?

回 顾

r />
(a ? b) ? a ? 2ab ? b 3 (a ? b) ? (a ? b)(a ? b)(a ? b) 2 2 ? (a ? b)(a ? ab ? ba ? b ) 2 2 3 2 ? a ? a b ? aba ? ab ? ba 3 2 ? bab ? b a ? b 3 2 2 3 ? a ? 3a b ? 3ab ? b
2
2 2

(a ? b)

100

??

二项式定理的探索
1

(a ? b) ? a ? b 2 2 1 1 2 (a ? b) ? a ? 2a b ? b
(a ? b) ? a ? 3a b ? 3a b ? b 4 4 3 1 1 3 2 2 4 (a ? b) ? a a b a b a b b
3 3 2 1 1 2 3

(a ? b) ? a
n

n

a b

n -1

a b ? ab

n-2 2

n -1

b

n

二项式定理的探索
3

(a ? b) ?(a ? b)(a? b)(a? b)
? C a ? C a b ? C ab ? C b
0 3 3 1 2 3 2 3 2 3 3 3

a
对于b

3

ab

2

ab

2

b

3

C

0 3

C

1 3

C

2 3

C

3 3

二项式定理的探索
(a ? b) ? C a ? C b
1 2

(a ? b) ? C a ? C ab ? C b 3 2 3 3 (a ? b) ? C a ? C a b ? C ab ? C3b
2 2 2 2 3 4 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 (a ? b) ? C0 a ? C a b ? C a b ? C ab ? C 4 4 4 4 4b
n 1 n -1 r n -r r n n (a ? b) ? C0 b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b n a ? Cn a

0 1 1 0 2 2 0 3 3

1 1 1 1 2 1 2 3

n

二项式证明
应用数学归纳法证明
1 (1) 当n ? 1时,左 ? ?a ? b? ? a ? b ? C10a ? C1 b ? 右,所以等式成立 1

n n 1 n -1 r n -r r n n (a ? b) ? C0 b ? ? ? Cn b n a ? Cn a b ? ? ? Cn a

(2)令n ? k时,等式成立,即
k k 1 k-1 2 k-2 2 k k (a+b) =C0 a + C a b + C a b + ? ? ? + C k k k kb k ?1 那么(a+b) ? (a ? b)(a ? b) k

k 1 k-1 2 k-2 2 k k ? (a ? b)(C0 a + C a b + C a b + ? ? ? + C k k k kb )
k 1 k-1 2 k-2 2 k k ? a (C 0 a + C a b + C a b + ? ? ? + C k k k kb ) k 1 k-1 k-2 2 k ? b(C 0 b+C 2 b +? ? ?+C k k a +C k a ka kb )

?1 0 k ?1 1 0 k 2 1 k-1 2 k k ?1 Ckr ?1 ? Ckr ? Ckr? ? C a ? ( C ? C ) a b ? ( C ? C ) a b ? ... ? C 1 k ?1 k k k k kb

k ?1 1 k 1 k-1 2 k ?1 k ?1 ? C0 a ? C a b ? C a b ? ... ? C k ?1 k ?1 k ?1 k ?1b

所以当n=k+1时也成立。由数学归纳法知,等式对一切n∈N﹡成立

二项式定理
n 0 n n 1 n n-1

(a+b) =C a +C a
二项展开式的特点 ①项数:共n+1项

b+C a

2 n

n-2

b +? ? ?+C b
2 n n

n

②指数:a按降幂排列,b按升幂排列,每一项中 a、b的指数和为n ③系数:第r+1项的二项式系数为

C

r n (r=0,1,2,…,n)

C

r n

二项式定理
二项展开式:定理中右边的多项式
C a +C a
0 n n 1 n n-1

b+C a

2 n

n-2

b +? ? ?+C a
2 r n

n-r

b +?+C b

r

n n

n

二项展开式的通项

Tr+1=C a

r n

n-r

b r=0,1,2,…n.

r

表示展开式的第r+1项
r Cn (r=0,1,2….n)表示为二项式的系数

二项式定理
二项展开式的通项

Tr+1=C a
r n

r n

n-r

b

r
r

注意:①区别二项式系数与对应项的系数:二项式系数特指 C n 与a,b r 无关。而对应的项的系数不仅与 C n 有关也与a,b的值有关。

例如

?1 ? 2 x ?

n

其第r+1项为

Tr+1=C ?1?

n-r

?2x?

r

二项式系数 ②区别

Crn

其对应项系数为
n

Crn 2r

?a ? b?

的第r+1项

n-r r Tr+1=Cr a b n

r n-r r T = C a ? b ? a ? 的第r+1项 r+1 nb
n

所以应用二项式时,a与b不能交换位置

二项式定理
公式变形:

(a-b) = C a -C a

n

0 n

n

1 n

n-1

b+C a
n n n

2 n

n-2 n

b -? ? ?+
2

(- 1 ) Ca

r

r n

n-r

b +?+(- 1 )C b
r

r

r n-r r 通项公式 Tr+1= ??1? Cna b

1 ? ? 3 x? ? ? 的展开式 试一试: 求 ? x?

4

1 ? ? 3x ? 1? 1 0 ? 4 3 x ? ? ? 2 [C4 (3 x) 解: ? ? 2 x x x? ?
4

4

化 简 后 再 展 开

?C (3x) ?C (3x) ?C (3x) ?C ]
1 4 3

1 4 3 2 ? 2 (81x ? 108 x ? 54 x ? 12 x ? 1) x
12 1 ? 81x ? 108 x ? 54 ? ? 2 x x
2

2 4

2

3 4

4 4

例题讲解
例1: (2 x ? 1 6 ) 的展开式。 x 展开式的第3项是多少?

思考:

1 0 1 1 1 2 0 6 1 5 2 4 解: 原式 ? C6 (2 x ) ( ? ) ? C6 (2 x ) ( ? ) ? C6 (2 x ) ( ? ) x x x 1 3 1 4 3 3 4 2 ? C6 ( 2 x) () ? C6 ( 2 x ) ( ? ) x x 你能否直接求出展开 1 1 6 5 1 5 6 0 式的第3项? . 展开式的第 3 项的系数 240x ?C ( ) ? C6 ( 2 x ) ( ? ) 6 2 x ) (? x x 是多少? 60 3 2 ? 64x ? 192x ? 240x ? 160 ? x 12 1 展开式的第3项的二项式 ? 2 ? 3 系数是多少? x x

例题讲解 今天是星期四,那么 的这一天是星期几?

8

100

天后

8

100

? (7 ? 1)
?C 7
0 100 100

100

? C 7 ??? C 7
1 99 100
99 1 100 100 100 99 100

r 100 ?r 100

??? C 7 ? C
0 99 100

?( 7 C 7 ? ? ? C )? 1
余数是1, 所以是星期五

例2: (1)求( 1 ? 2 x) 的展开式的第 4项的系数 .
7

Tr ?1 ? C a
r n
3 4 7 3

n ?r
3

b

r

T4 ? C 1 (2 x) ? 280x

280

变式:( 1 ? 2 x)7的展开式的第 4项的二项式系数

1 9 3 (2)求( x ? ) 展开式中 x 的系数 . x r n?r r Tr ?1 ? Cn a b

35

1 r r r 9?2 r ? C x ( ? ) ? ( ?1) C9 x 9 ? 2r ? 3 x
r 9 9? r

r?3

-84

例题讲解
1 8 ) 的展开式中 练习:(04全国卷) ( x ? x
解:设第r+1项为所求项
r 8 8? r

x

5

系数为__________

Tr ?1 ? C x (? x ) r r r 8? r ? 2 ? (?1) C8 x x
r

?1 2

? (?1) C x
r r 8

8? 3 r 2

3r 由8 ? ? 5可得r ? 2 2

x

5

( ?1) C ? 28
2 2 8

总结
二项式定理 n 0 n 1 n -1 2 n- 2 2 ?a ? b? ? Cn a ? Cna b ? Cn a b ? ?
? C ab
n -1 n n -1

?C b

n n n

二项式展开的通项

Tr ?1 ? C a b
r n n-r

r



r ?1 项

p37 2题(2)。3题(1)。4题(1)(2) 作业:


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