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三角函数图象和性质

时间:2011-05-04


三角函数的图象与性质 (一)知识要点 1 正弦、余弦、正切函数的图像和性质

y = sin x
定义域 值域 周期性 奇偶性 R
[?1,+1]

y = cos x
R
[?1,+1]

y = tan x
1 ? ? ?x | x ∈ R且x ≠ kπ + π , k ∈ Z ? 2 ? ?

R





π

奇函数
[?

偶函数
[ (2 k ? 1 )π , 2 kπ ]

奇函数

π
2

+ 2 kπ ,

π
2

+ 2 kπ ]

上为增函 数 ; 单调性
[ + 2 kπ , 2 3π + 2 kπ ] 2

;上为增函数 [2 kπ , (2 k + 1 )π ] 上为减函数 (k∈Z )

π ? π ? ? ? + kπ , + kπ ? 上为 2 ? 2 ?
增函数( k∈Z )

π

上为减函 数 (k ∈ Z )

y=sinx
-5π 2 -4π -7π -3π 2 -2π -3π -π 2 -

y
π 2

1 o -1
y
π π 2

3π 2 2π 5π 3π 2

7π 2 4π

x

y=cosx
-3π -4π -7π 2 -5π 2 -2π -3π 2 π -π - 2

1 o -1
π 2

π

3π 2 2π 5π 2



7π 2 4π

x

y

y=tanx

-

3π 2



-

π 2

o

π 2

π

3π 2

x

2 y = A sin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0) 的图像和性质 y

x (1)定义域 (3)周期性 (5)单调性 (二)学习要点 1 会求三角函数的定义域 2 会求三角函数的值域 3 会求三角函数的周期 :定义法,公式法,图像法。如 y = sinx 与 y = cos x 的周期是 π . 4 会判断三角函数奇偶性 5 会求三角函数单调区间 6 对 y = A sin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0) 函数的要求 (1)五点法作简图 (2)会写 y = sin x 变为 y = A sin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0) 的步骤 (3)会求 y = A sin(ω x + ? ) 的解析式 (4)知道 y = A cos(ω x + ? ) , y = A tan(ω x + ? ) 的简单性质 7 知道三角函数图像的对称中心,对称轴 8 能解决以三角函数为模型的应用问题 (三)例题讲解 例 1 求函数 y = ? tan(2 x ? (2)值域 (4)奇偶性

3π ) 的定义域,周期和单调区间。 4

例 2 已知函数 f ( x ) = 2sin(2 x ?

π
4

)

(1)求函数的定义域; (2) 求函数的值域; (3) 求函数的周期; (4)求函数的最值及相应的 x 值集合; (5)求函数的单调区间;

(6)若 x ∈ [0,

3π ] ,求 f ( x) 的取值范围; 4

(7)求函数 f ( x ) 的对称轴与对称中心; (8)若 f ( x + ? ) 为奇函数, ? ∈ [0, 2π ) ,求 ? ;若 f ( x + ? ) 为偶函数, ? ∈ [0, 2π ) ,求

?。

例 3. 1)将函数 y = (

1 π sin(2 x ? ) 的 图 象 向 ______ 平 移 _______ 个 单 位 得 到 函 数 2 4

y=

1 sin 2 x 的 2 1 π π π cos(2 x ? ) 的 图 象 , 可 以 把 函 数 y = sin( x ? ) cos( x ? ) 的 图 象 向 2 4 6 6
2

图象(只要求写出一个值) (2) 要 得 到 y =

______平移_______个单位(只要求写出一个值). 例 4.设 x ∈ R ,函数 f ( x ) = cos (ω x + ? ) ?

π 1 π ,且 f ( ) = . (1)求 ω 和 ? 的值;
8 4

1 π (ω > 0, o < ? < ) ,已知 f ( x) 的最小正周期为 2 2

(2)求的单调增区间.

例 5.如下图,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b (1)求这段时间的最大温差 y 温温/0C (2)写出这段曲线的函数解析式
新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源
t /: w k g m /w c h w p j.x t o y .c x /

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

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30 20 10 时时/h 6 10 14

o

x

(四)练习题 一、选择题 1.将函数 y = sin ω x (ω > 0) 的图象向左平移 的图象所对应函数的解析式是 A. y = sin( x + C. y = sin(2 x +

π
6

个单位,平移后的图象如图所示,则平移后

π
6

) )

B. y = sin( x ?

π
6

) )

π
3

D. y = sin(2 x ?

π
3

2.设 a > 0 ,对于函数 f ( x ) = 正确的是 A.有最大值而无最小值 C.有最大值且有最小值 3.函数 y=1+cosx 的图象 (A)关于 x 轴对称 (C)关于原点对称

sin x + a (0 < x < π ) ,下列结论 sin x
B.有最小值而无最大值 D.既无最大值又无最小值 (B)关于 y 轴对称 (D)关于直线 x=

π
2

对称

4.已知函数 f(x)=2sin ? x( ? >0)在区间[ ? A.

π π
3 4
,

]上的最小值是-2,则 ? 的最小值等于

3 C.2 D.3 2 5.设点 P 是函数 f ( x ) = sin ω x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴上的距
B. 离的最小值 A.2π

2 3

π
4

,则 f (x ) 的最小正周期是 B. π C.

π
2

D. )

π
4

6.已知 a ∈ R ,函数 f ( x ) = sin x ? | a |, x ∈ R 为奇函数,则 a=( (A)0 (B)1 (C)-1 (D)±1

x π 7 为了得到函数 y = 2 sin( + ), x ∈ R 的图像,只需把函数 y = 2 sin x, x ∈ R 的图像上所有的 3 6

点 (A)向左平移 (B)向右平移 (C)向左平移

π π π

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3

6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍 (纵坐标不变)

(D) 向右平移
8.已知函数 f ( x ) =

π
6

1 1 (sin x + cos x ) ? sin x ? cos x ,则 f ( x ) 的值域是 2 2

(A) [ ?1,1]

(B) ? ?

? ?

2 ? ,1? 2 ?

(C) ? ?1,

? ?

2? ? 2 ?


(D) ? ?1, ?

? ?

2? ? 2 ?

9.函数 y =| sin( x + 3) | 的最小正周期是( A.

1 2

π 2

B. π

C. 2π

D. 4π

10.函数 f ( x ) = tan ? x +

? ?

π?

? 的单调增区间为 4?
B. kπ , ( k + 1) π , k ∈ Z

A. ? kπ ?

? ? ? ?

π
2

, kπ +

π?

?,k ∈ Z 2?

(

)

C. ? kπ ?

3π π? , kπ + ? , k ∈ Z 4 4?

D. ? kπ ?

? ?

π
4

, kπ +

3π 4

? ?,k ∈ Z ?

11.下列函数中,图象的一部分如右图所示的是 (A) y = sin ? x +

? ?

π?

? 6?

(B) y = sin ? 2 x ?

? ?

π?

? 6?

(C) y = cos ? 4 x ?

? ?

π?

? 3?

(D) y = cos ? 2 x ?

? ?

π?

? 6?

12.已知函数 f ( x ) = a sin x ? b cos x ( a 、 b 为常数, a ≠ 0 , x ∈ R )在 x = 小值,则函数 y = f (

π
4

处取得最

3π ? x ) 是( 4

) B.偶函数且它的图象关于点 (

A.偶函数且它的图象关于点 (π ,0) 对称 C.奇函数且它的图象关于点 (

3π ,0) 对称 2

3π ,0) 对称 2

D.奇函数且它的图象关于点 (π ,0) 对称 )

13 设 α,β ∈ ? ? , ? ,那么“ α < β ”是“ tan α < tan β ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 14.函数 y= B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? π π? ? 2 2?

1 sin2+4sin 2 x,x ∈ R 的值域是 2
(B) [

(A) [

1 3 , ] 2 2

3 1 , ] 2 2

(C) ? [

2 1 2 1 + , + ] 2 2 2 2

(D) ? [

2 1 2 1 ? , ? ] 2 2 2 2

二、填空题 15. y = sin( ? x +

π
4

) 在 x ∈ [0, 2π ] 的增区间是

16.满足 2 + 2 cos x ≥ 0( x ∈ R ) 的 x 的集合是 17. y = 8sin( ?

x π ) 的振幅,初相,相位分别是 4 8 18. tan x ≤ 1 ,且 x 是直线的倾斜角,则 x ∈
? π π? 上的最小值是 ?2 ,则 ω 的最小值是 , ? 3 4? ?

19.已知函数 f ( x ) = 2 sin ω x (ω > 0) 在区间 ? ? ____。

x x 20.若 f (x) = a sin( + ) + 3sin( ? ) 是偶函数,则 a= 4 4

π

π

.

21.如图,一个半径为 10 米的水轮按逆时针方向每分钟转 4 圈记 水轮上的点 P 到水面的距离为 d 米(P 在水面下则 d 为负数) ,则 d (米)与时间 t (秒)之间满足关系式:

d = A sin (ωt + ? ) + k ( A > 0 , ω > 0 ) , ?

π

2

<? <

π

2

,且当 P 点

从水面上浮现时开始计算时间,有以下四个结论: (1) A = 10 ; ( 2 ) ω =

2π π ; ( 3) ? = ; 15 6

( 4 ) k = 5 ,则其中所有正确结论的序号是
三.解答题 22 设函数 y = 3cos(2 x +



π
3

)

(1)用“五点法”作出在一个周期内的简图; (2)写出它可由 y = cos x 的图像经怎样的变化得到。

23 已知函数 f ( x ) = sin 2 x + a cos 2 x 的图像关于直线 x = ?

π
6

对称,求 a 的值。

24 已知 f ( x ) = 2 cos 2 x + 3 sin 2 x + a ( a ∈ R 是常数 (1)若 f ( x ) 的定义域为 R ,求 f ( x ) 的单调增区间; (2)若 x ∈ [0,

π
2

] 时, f ( x) 的最大值为 4,求 a 的值。

25 已 知 函 数 y = A sin(ω x + ? ) + B ( A > 0, ω > 0,| ? |<

π
2

) 在同一个周期上的最高点为

(2, 2) ,最低点为 (8, ?4) 。求函数解析式。

26 已知某海滨浴场的海浪高度 y (米)是时间 t ( 0 ≤ t ≤ 24 ,单位小时)的函数,记作:

y = f (t ) 下表是某日各时的浪高数据:
t 时 y 米 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1 18 0.5 21 0.99 24 1.5

经长期观测, y = f (t ) 的曲线可近似地看成是函数 y = A cos ωt + b 。 (1)根据以上数据,求函数的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放。由(1)的结论,判断一天内 的上午 8:00 时至晚上 20:00 时之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?

27 已知函数 f(x)=A sin 2 (ω x + ? ) (A>0, ω >0,0< ? < 相邻两对称轴间的距离为 2,并过点(1,2). (1)求 ? ; (2)计算 f(1)+f(2)+… +f(2 008).

π
2

函数,且 y=f(x)的最大值为 2,其图象


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