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导数及应用(1)


导数及应用(1)

课题导入
导数作为一种工具,可以很好 的研究函数的性质,本节课我 们来看导数在研究函数性质方 面的应用

目标引领
1、熟记函数的求导公式 2、会通过导数求函数的单调区 间和极值

3、会解函数单调性的逆向问题

独立自学

利用导数

研究函数的单调性:
f ( x)在 ( a, b) 上 可 导 , f ' ( x) ? 0( f ' ( x) ? 0)是f ( x)在 (a, b)上 为 增 ( 减 ) 函 数 的 什 么 条 件 ? ?

充分不必要条件 利用导数研究函数的极值:
对 于 可 导 函 数 的 什 么 条 件 ? ? f ( x), x ? a为f ( x)的 极 值 点 是 f ' (a ) ? 0

充分不必要条件

引导探究
例 1 若曲线 f(x)= acos x 与曲线 g(x)=x2+bx+1 在交点(0, m)处有公切线,则 a+b=( ) A.-1 B.0 C .1 D.2

[解析] 由 f(0)=g(0),得 a=1.曲线 y=cos x 在 x=0 处 的切线斜率为-sin 0=0, 曲线 y=x2+bx+1 在 x=0 处的切 线斜率为 b,故 b=0.所以 a+b=1.

【例 2】?已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)的单调区间.

解 (1)对f(x)求导,得f′(x)=3x2-2ax-3. 3? 1? 由f′(x)≥0,得a≤2?x-x ?. ? ? 3? 1? 记t(x)=2?x-x ?,当x≥1时,t(x)是增函数, ? ? 3 ∴t(x)min=2(1-1)=0. ∴a≤0.

(2)由题意,得f′(3)=0,即27-6a-3=0, ∴a=4.∴f(x)=x3-4x2-3x,f′(x)=3x2-8x-3. 1 令f′(x)=0,得x1=-3,x2=3. 当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x)
? 1? ?-∞,- ? 3? ?

1 -3 0 极大值

? 1 ? ?- ,3? ? 3 ?

3 0 极小值

(3,+∞) +





1 1 -∞,- - ,3 ∴当 x∈ [3, +∞)时, f(x)单调递增, 当 x∈ 3 3, 时,f(x)单调递减.

ex 【例 3】 (2011· 安徽)设 f(x)= ,其中 a 为正实数. 2 1+ax 4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 解
2 1 + ax -2ax x 对 f(x)求导得 f′(x)=e .① 2 2 1+ax

4 (1)当 a= 时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0, 3 3 1 解得 x1= ,x2= . 2 2 综合①,可知

x f′(x) f(x)

? 1? ?-∞, ? 2? ?

1 2 0 极大值

? 1 3? ? , ? ? 2 2?

3 2 0 极小值

?3 ? ? ,+∞? ?2 ?







3 1 所以,x1=2是极小值点,x2=2是极大值点. (2)若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号,结合①与 条件a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立. 因此Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0, 由此并结合a>0,知0<a≤1.

目标再现
1、熟记函数的求导公式 2、会通过导数求函数的单调区 间和极值

3、会解函数单调性的逆向问题

当堂诊学
1、若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相 切,试求k的值.
解 设 y=kx 与 y=x3-3x2+2x 相切于 P(x0,y0)则 y0=kx0,①
2 y0=x3 0-3x0+2x0,②

又 y′=3x2-6x+2,∴k=y′|x=x0=3x2 0-6x0+2,③
3 2 由①②③得:(3x2 0-6x0+2)x 0=x0-3x 0+2x0,

即(2x0-3)x2 0=0. 3 1 ∴x0=0 或 x0= ,∴k=2 或 k=- . 2 4

【训练2】 已知函数f(x)=ex-ax-1. (1)求f(x)的单调增区间; (2)是否存在a,使f(x)在(-2,3)上为减函数,若存在,求出a的 取值范围,若不存在,说明理由. 解 f′(x)=ex-a, (1)若a≤0,则f′(x)=ex-a≥0, 即f(x)在R上递增, 若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥ln a. 因此f(x)的递增区间是[ln a,+∞).

(2)由f′(x)=ex-a≤0在(-2,3)上恒成立. ∴a≥ex在x∈(-2,3)上恒成立. 又∵-2<x<3,∴e 2<ex<e3,只需a≥e3.


当a=e3时f′(x)=ex-e3在x∈(-2,3)上,f′(x)<0, 即f(x)在(-2,3)上为减函数, ∴a≥e3. 故存在实数a≥e3,使f(x)在(-2,3)上单调递减.

强化补清
课时集训A


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