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初、高中数学衔接知识复习:二次函数(含答)


初、高中数学衔接知识复习:二次函数 一.要点回顾
1. 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)配方得: y=ax2+bx+c=a(x2+

b b b2 b2 b b2 ? 4ac x )+c=a(x2+ x + 2 )+c- ? a( x ? ) 2 ? , a a 4a 2a 4a 4a

所以, y=ax2+bx+c(a≠

0)的图象可以由函数 y=ax2 的图象作左右平移、 上下平移而得到。 2.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的性质: [1] 当 a>0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口向 对称轴为直线 y 随着 x 的增大而 ;当 x ;当 x ;顶点坐标为 ;当 x . ;顶点坐标为 ;当 x . , 时,y , 时,

时,y 随着 x 的增大而 时,函数取最小值

[2] 当 a<0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口向 对称轴为直线 随着 x 的增大而 ;当 x ;当 x

时,y 随着 x 的增大而 时,函数取最大值

上述二次函数的性质可 以分别通过上图直观地表示 出来.因此,在今后解决二 次函数问题时,可以借助于
O

y

b x=- 2a

y

A (?

b 4ac ? b2 , ) 2a 4a

函数图像、利用数形结合的 思想方法来解决问题.
A (?

x

O x=- 图 2.2-4

x

b 4ac ? b2 , ) 2a 4a

b 2a

3.二次函数的三种表示方式 [1]二次函数的三种表示方式:(1).一般式: (2).顶点式: ; (3).交点式:

图 2.2-3

; .

说明:确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法,在选择把二次函数的关系式设 成什么形式时,可根据题目中的条件灵活选择,以简单为原则.二次函数的关系式可设如下 三种形式:①给出三点坐标可利用一般式来求;②给出两点,且其中一点为顶点时可利用顶 点式来求.③给出三点,其中两点为与 x 轴的两个交点 ( x1 ,0) . ( x2 ,0) 时可利用交点式来求. 4.分段函数 一般地,如果自变量在不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数,叫作 分段函数.
1

二.题型演练
例 1. 抛物线 y ? ?

1 2 对称轴是_________, 开口向_____, ? x ? 2 ? ? 5 的顶点坐标是_________, 2 当 x =_______时, y 有最______值,最大值为 ________。
,交点式为 y ? ___ __ __,

例 2.抛物线 y ? 2 x 2 ? 4 x ? 6 的顶点式为 y = 顶点坐标是 ,对称轴是

例 3.求抛物线 y ? ?2x 2 ? 4x ? 6 的开口方向、 对称轴和顶点坐标,再描点画简图. 解

y ? ?2x 2 ? 4x ? 6
? ?2( x 2 ? 2 x) ? 6 ? ?2( x 2 ? 2 x ? 1 ? 1) ? 6 ? ? 2( x ? 1) 2 ? 1 ? 6 ? ?2( x ? 1) 2 ? 8

?

?

因此,抛物线开口向下,对称轴是直线 x=1, 顶点坐标为(1,8) . 例 4.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式. (1) 某二次函数的最大值为 2, 图像的顶点在直线 y=x+1 上, 并且图象经过点 (3 , ? 1) ; (2)已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2; (3)已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8). 解: ∵二次函数的最大值为 2, 而最大值一定是其顶点的纵坐标, ∴顶点的纵坐标为 2. 又 顶点在直线 y=x+1 上,所以,2=x+1,∴x=1.∴顶点坐标是(1,2) . 设该二次函数的解析式为 y ? a( x ?1)2 ? 2(a ? 0) , ∵二次函数的图像经过点(3,-1) ∴ ?1 ? a(3 ? 2) ? 1 ,解得 a= ? ,
2

3 。 4

∴二次函数的解析式为 y ? ?

3 ( x ? 1) 2 ? 2 . 4

说明:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然 后设出二次函数的顶点式,最终解决了问题.因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件, 并巧妙地利用条件简捷地解决问题. (2) 分析一:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数 的图象与 x 轴的交点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式. 解法一:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0), ∴可设二次函数为 y=a(x+3) (x-1) (a≠0),展开,得 y=ax2+2ax-3a, 顶点的纵坐标为

?12a 2 ? 4a 2 ? ?4a , 4a
2

1 . 2 1 2 3 1 2 3 所以,二次函数的表达式为 y= x ? x ? ,或 y=- x ? x ? . 2 2 2 2
由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离 2, ∴|-4a|=2,即 a= ? 分析二:由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以,对称轴为直线 x=-1,又由 顶点到 x 轴的距离为 2,可知顶点的纵坐标为 2,或-2,于是,又可以将二次函数的表达式 设成顶点式来解,然后再利用图象过点(-3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式. 解法二:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴对称轴为直线 x=-1. 又顶点到 x 轴的距离为 2,∴顶点的纵坐标为 2,或-2. 于是可设二次函数为 y=a(x+1)2+2,或 y=a(x+1)2-2,由于函数图象过点(1,0),

1 1 ,或 a= . 2 2 1 1 所以,所求的二次函数为 y=- (x+1)2+2,或 y= (x+1)2-2. 2 2
∴0=a(1+1)2+2,或 0=a(1+1)2-2.∴a=- 说明:上述两种解法分别从与 x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点 式和顶点式来解题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,选择恰当的方法来解决问题. (3)解:设该二次函数为 y=ax2+bx+c(a≠0). 由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得

? ?22 ? a ? b ? c ? ? ?8 ? c ?8 ? 4a ? 2b ? c ?

解得 a=-2,b=12,c=-8.

所以,所求的二次函数为 y=-2x2+12x-8.

三.巩固练习
1.选择题: (1)把函数 y=-(x-1)2+4 的图象的顶点坐标是( ) (A) (-1,4) (B) (-1,-4) (C) (1,-4) (D) (1,4) 2 (2)函数 y=-x +4x+6 的最值情况是 ( ) (A)有最大值 6 (B)有最小值 6 (C)有最大值 10 (D)有最大值 2 (3)函数 y=2x2+4x-5 中,当-3≤x<2 时,则 y 值的取值范围是 ( ) (A)-3≤y≤1 (B)-7≤y≤1 (C)-7≤y≤11 (D)-7≤y<11 2.填空: (1)已知某二次函数的图象与 x 轴交于 A(-2,0),B(1,0),且过点 C(2,4) ,则该二次 函数的表达式为 . (2)已知某二次函数的图象过点(-1,0) (0,3) (1,4) , , ,则该函数的表达式 为 . 3.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式. (1)已知二次函数的图象经过点 A(0, ?1 ) ,B(1,0) ,C( ?1 ,2) ; (2)已知抛物线的顶点为(1, ?3 ) ,且与 y 轴交于点(0,1) ;
3

(3)已知抛物线与 x 轴交于点 M( ?3 ,0)(5,0) , ,且与 y 轴交于点(0, ?3 ) ; (4)已知抛物线的顶点为(3, ?2 ) ,且与 x 轴两交点间的距离为 4. 4.如图,某农民要用 12m 的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他 圈养小鸡.已知墙的长度为 6m,问怎样围才能使得该矩形面积最大?

5.如图所示,在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上有一个动点 P,从点 A 出发沿折线 ABCD 移 动一周后,回到 A 点.设点 A 移动的路程为 x,ΔPAC 的面积为 y. (1)求函数 y 的解析式; (2)画出函数 y 的图像; D C (3)求函数 y 的取值范围.

第2题

P

6.当 1 ? x ? 2 时,求函数 y ? ? x2 ? x ? 1的最大值和最小值. 7. x ? 0 时,求函数 y ? ? x(2 ? x) 的取值范围. 【巩固练习】参考答案 1. (1)D (2)C (3)D 2. (1)y=x2+x-2 (2)y=-x2+2x+3
A 图 2.2-10 B

3. (1) y ? 2 x 2 ? 2 x ? 1. (2) y ? 4( x ? 1) 2 ? 3 ? 4x 2 ? 8x ? 1 .

1 1 2 5 2 1 1 2 (4) y ? ? x ? 3? ? 2 ? x ? 3x ? ( x ? 3)( x ? 5) ? x 2 ? x ? 3 . 2 2 2 5 5 5 4.当长为 6m,宽为 3m 时,矩形的面积最大. y
(3) y ?

? x, ? 4 ? x, ? 5. 函数 (x) (1) f 的解析式为 y ? ? ? x ? 4, ?8 ? x, ?

0 ? x ? 2, 2 ? x ? 4, 4 ? x ? 6, 6 ? x ? 8.

2 O 2 4 图 2.2-11 6 8 x

(2)函数 y 的图像如图所示 (3)由函数图像可知,函数 y 的取值范围是 0<y≤2.

6.作出函数的图象.当 x ? 1 时, ymin ? ?1,当 x ? 2 时, ymax ? ?5 . 7.解:作出函数 y ? ? x(2 ? x) ? x ? 2 x 在 x ? 0 内的图象.
2

可以看出:当 x ? 1 时, ymin ? ?1,无最大
4

值.所以,当 x ? 0 时,函数的取值范围是 y ? ?1 .

5


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