nbhkdz.com冰点文库

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题8 第38练 概率的两类模型课件 理


专题8 概率与统计

第38练 概率的两类模型

题型分析·高考展望

概率是高中数学的重要内容,也是高考的必考知识点.在 高考中,概率部分的命题主要有三个方面的特点:一是 以古典概型的概率公式为考查对象,二是以几何概型的 概率公式为考查对象,三是古典概型与其他知识相交汇,

题目多以选择题或填空题

的形式出现.

常考题型精析 高考题型精练

常考题型精析
题型一 古典概型问题
题型二 几何概型问题

题型一 古典概型问题
例1 (1)(2015· 课标全国 Ⅰ)如果3 个正整数可作为一个直角

三角形三条边的边长 , 则称这 3 个数为一组勾股数 , 从
1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的

概率为(
3 A. 10

)
1 B. 5 1 C. 10 1 D. 20

解析

从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结

果 : (1,2,3) , (1,2,4) , (1,2,5) , (1,3,4) , (1,3,5) , (1,4,5) , (2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股数只有(3,4,5),
1 所以概率为10.故选 C.

答案 C

(2)某班级的某一小组有 6位学生,其中4位男生,2位女生,

现从中选取 2 位学生参加班级志愿者小组,求下列事件的
概率:

①选取的2位学生都是男生;
解 设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6.

从 6 位学生中任取 2 位学生的所有可能结果为 (1,2) , (1,3) ,
(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),

(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种.

从6位学生中任取2位学生,所取的2位全是男生的方法数,
即从4位男生中任取2个的方法数,共有6种,

即(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).
6 2 所以选取的 2 位学生全是男生的概率为 P1=15=5.

②选取的2位学生一位是男生,另一位是女生.



从6位学生中任取2位,其中一位是男生,而另一位是

女生,其取法包括 (1,5) , (1,6) , (2,5) , (2,6) , (3,5) , (3,6) ,

(4,5),(4,6),共8种.
所以选取的 2 位学生一位是男生,另一位是女生的概率为 8 P2=15.

变式训练1

(2014· 课标全国Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两

天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公 益活动的概率为( D ) 1 3 5 7 A. B. C. D. 8 8 8 8 解析 4 名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公 益活动的情况有24=16(种),其中仅在周六(周日)参加的各

有1种,

1+1 7 ∴所求概率为 1- 16 =8.

题型二 几何概型问题
?0≤x≤2, 例2 (1)设不等式组 ? 表示的平面区域为D,在区 ?0≤y≤2 域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概
率是( π A.4 )
π-2 B. 2 π C.6 4-π D. 4

解析 如图所示, 正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区 域 D,且区域D 的面积为4 ,而阴影部分表示 的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域. 易知该阴影部分的面积为4-π. 4-π 因此满足条件的概率是 4 ,所以选 D. 答案 D

(2) 节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯 . 这两串 彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的 4 秒内任一 时刻等可能发生,然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮,那么 这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超 过2秒的概率是(
1 A.4 1 B.2

)
3 C.4 7 D.8

解析 如图所示,
设在通电后的4秒钟内,甲串彩灯、乙 串彩灯第一次亮的时刻为x、y,x、y相 互独立,由题意可知
?0≤x≤4, ? ?0≤y≤4, ? ?|x-y|≤2,

所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过 2 秒的

1 S正方形-2S△ABC 4×4-2×2×2×2 12 3 概率为 P(|x-y|≤2)= = = =. 16 4 4×4 S正方形

答案 C

点评

(1)几何概型并不限于向平面 (或直线、空间)投点的

试验,如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果, 每个基本结果可以用平面 ( 或直线、空间 ) 中的一点来表示, 而所有基本结果对应于一个区域 Ω ,这时,与试验有关的

问题即可利用几何概型来解决.

(2)几何概型的概率求解,一般要将问题转化为长度、面积 或体积等几何问题.在转化中,面积问题的求解常常用到线 性规划知识,也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式) 组表示区域 . 几何概型的试验中事件 A 的概率 P(A) 只与其所 表示的区域的几何度量 ( 长度、面积或体积 ) 有关,而与区 域的位置和形状无关.

变式训练2

(1)(2014· 辽宁)正方形的四个顶点A(-1,-1),

B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线 y=-x2和y=x2
上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则

质点落在图中阴影区域的概率是________.

2 2 解析 正方形内空白部分面积为 ? 1 [ x - ( - x )] dx -1

2 31 2 2 4 =? -12x dx= x |-1= -(- )= , 3 3 3 3
1 2

4 8 阴影部分面积为 2×2-3=3, 8 3 2 所以所求概率为4=3. 2 答案 3

(2)如图,在边长为e(e为自然对数的底数)
的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到 阴影部分的概率为______. 解析 由题意知,所给图中两阴影部分面积相等,
x x 1 故阴影部分面积为 S=2? 1 0(e-e )dx=2(ex-e )|0=2[e-e-

(0-1)] =2.

又该正方形面积为e2,
2 故由几何概型的概率公式可得所求概率为 2. e 2 答案 e2

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

1.(2015· 山东)在区间 [0,2] 上随机地取一个数 x, 则事件 “-1 1? 1? ? ≤log ?x+2? ?≤1”发生的概率为 ( 2? ? 3 A.4 2 B.3 1 C.3 ) 1 D.4

解析

1 log ( x ? ) 由-1≤ 1 2 2

1 1 ≤1,得2≤x+2≤2,

3 ∴0≤x≤2.

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

∴由几何概型的概率计算公式得所求概率
3 -0 2 3 P= =4. 2-0

答案 A

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

2.(2015· 广东 ) 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球,其

中有10 个白球,5 个红球 . 从袋中任取 2个球,所取的 2个球
中恰有1个白球,1个红球的概率为(
5 A.21 10 B.21 11 C.21 D.1

)

高考题型精练
解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

从袋中任取 2 个球共有 C2 15=105 种取法,

1 其中恰好 1 个白球 1 个红球共有 C1 C 10 5=50 种取法,

50 10 所以所取的球恰好 1 个白球 1 个红球的概率为 = . 105 21

答案 B

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

3.(2015· 福建)如图,矩形ABCD中,点A在x 轴上,点B的坐标为(1,0),且点C与点 ?x+1,x≥0, ? ? 1 D在函数f(x)= 的图象上.若在矩形ABCD内随 ?- x+1,x<0 ? 2 机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于( )
1 A. 6 1 B. 4 3 C. 8 1 D. 2

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

解析 由图形知C(1,2),D(-2,2),
1 3 ∴S 四边形 ABCD=6,S 阴= ×3×1= . 2 2 3 2 1 ∴P=6=4.

答案 B

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

4.(2014· 辽宁)若将一个质点随机投入如图

所示的长方形 ABCD中,其中AB=2 ,BC
=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的

概率是(
π A.2

)
π B.4 π C.6 π D.8

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

解析 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A,
1 2 阴影面积 2π·1 π 则 P(A)= = =4. 长方形面积 1×2

答案 B

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

5.从标有1,2,3,?,7的7个小球中取出一球,记下它上面的

数字,放回后再取出一球,记下它上面的数字,然后把两数
相加得和,则取得的两球上的数字之和大于 11 或者能被 4 整

除的概率是( A )
16 A.49 15 B.49 2 C.7 13 D.49

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

?0≤a≤4, 6.已知实数a,b满足? x1,x2是关于x的方程x2- ?0≤b≤4,

2x+b-a+3=0的两个实根,则不等式 0<x1<1<x2成立的 概率是(
3 A32

)
3 B.16 5 C.32 9 D.16

高考题型精练
解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

由题意,关于x的方程x2-2x+b-a+3=0对应的

一元二次函数f(x)=x2-2x+b-a+3满足f(0)>0,f(1)<0,
?b-a+3>0 , 即? 建立平面直角坐标系如图 . ?b-a+2<0 ,

满足题意的区域为图中阴影部分, 3 2 3 故所求概率 P= = . 答案 A 16 32

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

7.(2014· 江西)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率 等于( 1 A. 18 )
1 B. 9 1 C. 6 1 D. 12

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

解析 掷两颗骰子,点数有以下情况:

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种,

(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

其中点数之和为5的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4种, 4 1 故所求概率为 = . 36 9 答案 B

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

8. 有一底面半径为 1 ,高为 2 的圆柱,点 O 为这个圆柱底面圆
的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大

于1的概率为(
1 A.3

)
2 B.3 3 C.4 1 D.4

高考题型精练
解析 概型,

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1,由几何

2π 3 × 1 V半球 3 1 则 P1= = =3, 2 V圆柱 π×1 ×2
1 2 故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率 P2=1-3=3.

答案 B

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

9.(2014· 重庆 ) 某校早上 8 : 00 开始上课,假设该校学生小张 与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的 任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早 5分钟到校 的概率为________.(用数字作答) 解析 设小王到校时间为x,小张到校时间为y, 则小张比小王至少早到5分钟时满足x-y≥5.

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

如图,原点O表示7:30,在平面直角 坐标系中画出小王和小张到校的时间 构成的平面区域 ( 图中正方形区域 ) , 该正方形区域的面积为400,
小张比小王至少早到 5 分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为 1 225 2×15×15= 2 ,

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

225 2 9 故所求概率 P=400=32.
答案 9 32

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

高考题型精练
解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

若该机器人移动6次恰好到点(3,3),则机器人在移动

过程中沿x轴正方向移动3次、沿y轴正方向移动3次,
因此机器人移动 6 次后恰好位于点(3,3)的概率为 P= 2?3 3?2?3? C6? ? ?1- ? =20×
?3? ? ? ? ? ?

3?

8 160 729=729.

答案

160 729

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

11.(2014· 四川)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除
标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上 的数字依次记为a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率; 解 由题意知,(a,b,c)所有的可能为

(1,1,1) , (1,1,2) , (1,1,3) , (1,2,1) , (1,2,2) , (1,2,3) , (1,3,1) , (1,3,2) , (1,3,3) ,
(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

(2,2,3) , (2,3,1) , (2,3,2) , (2,3,3) , (3,1,1) , (3,1,2) , (3,1,3) , (3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种. 设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A, 则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.
3 1 所以 P(A)=27=9. 1 因此, “抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为 . 9

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.


设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,

则事件 B 包括(1,1,1) ,(2,2,2) ,(3,3,3) ,共 3 种.
3 8 所以 P(B)=1-P( B )=1-27=9.
8 因此,“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率为 . 9

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

12.(2014· 山东)海关对同时从 A,B, C三个不同地区进口的 某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单 位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品 中共抽取6件样品进行检测.

地区
数量

A
50

B
150

C
100

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

(1)求这6件样品中来自A,B,C各地区商品的数量; 解 因为样本容量与总体中的个体数的比是 6 1 = , 50+150+100 50

所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 1 1 1 50× =1,150× =3,100× =2. 50 50 50
所以A,B,C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

(2)若在这6件样品中随机抽取 2件送往甲机构进行进一步检 测,求这2件商品来自相同地区的概率. 解 设6件来自A,B,C三个地区的样品分别为 A;B1,B2,B3;C1,C2. B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2}, C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共15个.

则从6件样品中抽取的这 2件商品构成的所有基本事件为 {A,

{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2,B3},{B2,C1},{B2,

高考题型精练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等
可能的.

记事件D:“抽取的这2件商品来自相同地区”,则事件D包
含的基本事件有: {B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共4个.
4 所以 P(D)= , 即这 2 件商品来自相同地区的概率为 15 4 . 15


【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 小题精练8 理

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 小题精练8 理_高三...2506 号至少有一艘 去执法的概率为___. 16.以下四个命题,其中正确的是___....

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 中档大题规范练2 概率与统计 理

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 中档大题规范练2 概率与统计 理_数学_高中教育_教育专区。【步步高】 (全国通用)2016 版高考数学复习 ...

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 第三篇 回扣专项练9 概率与统计 理

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 第三篇 回扣专项练9 概率与统计 理_数学_高中教育_教育专区。【步步高】 (全国通用) 2016 版高考数学...

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 第二篇 第3讲 概率与统计 理

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 第二篇 第3概率与统计 理_数学_高中教育_教育专区。第 3 讲 概率与统计离散型随机变量分布列及...

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题1 第2练 用好逻辑用语、突破充要条件 理

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题1 第2练 用好...这些知识被考查的概率都较高,特别是充分、必要条件几乎每年都有 考查. 常考...

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第16练 定积分问题 理

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第16练 定...(x)=x ,若在矩 形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于___...

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第15练 存在与恒成立问题 理

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第15练 存在与恒成立问题 理_数学_高中教育_教育专区。第 15 练 存在与恒成立问题 [题型分析...

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第12练 导数几何意义的必会题型 理

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第12练 导数几何意义的必会题型 理_数学_高中教育_教育专区。第 12 练 导数几何意义的必会题型...

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题5 第24练 数列求和问题 理

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题5 第24练 数列求和问题 理_数学_高中教育_教育专区。第 24 练 数列求和问题 [题型分析·高考展望...

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 小题精练3 理

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 小题精练3 理_高三数学_数学_高中教育_教育专区。【步步高】 (全国通用)2016 版高考数学复习 考前三个...

相关文档

更多相关标签