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反正弦函数


南京市鼓楼中等专业学校教案
授课日期 年 月 日 第 周 授课时数 2 课型 新授课





§8.3.2 反正弦函数

知识目标:①理解反正弦函数的概念;掌握反正弦函数的定义域、值域. 教 学 ②知道反正弦函数 y=arcsinx ,x∈[-1,1]的图象. 能力目标:①能够熟练计算

特殊值的反正弦函数值, ②能用反正弦函数值表示角. 情感目标:会用数形结合等数学思想分析和思考问题.





教 重 难

学 点 点

重点:理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质. 难点:熟练计算特殊值的反正弦函数值.

板书 设计

§8.3.2 反正弦函数 1、 反正弦函数的概念 例1 2、 定义域、值域 3、 图象 4、 求反函数

例2

学情 分析

反正弦函数的概念学生理解会有困难,教学中要让学生理解在指定区间内来 定义反正弦函数的原因,理解反正弦函数符号的意义.

教后记

1

教学程序和教学内容(包括课外作业和板书设计) 一、情境导入 1、复习 反函数:对于函数 y=f(x) ,x∈D,如果对它的值域中的任意一个值 y,在定义域 D 中都有唯一确定的值 x 与它对应,使 y=f(x) ,这样得到 的 x 关于 y 的函数叫做 y=f(x)的反函数. 函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的. 2、问题:那么正弦函数是否存在反函数呢? 分析:因为对于任一正弦值 y 都有无数个角值 x 与之对应.正弦函数的 自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数. 3、讨论:应该选取怎样的区间,使得 y ? sin x 存在反函数呢? 这个区间的选择依据两个原则: (1) y ? sin x 在所取区间上存在反函数; (2)能取到 y ? sin x 的一切函数值 ?? 1,1? . 生:可以选取闭区间 ??

师生活动

师:复习提问 生:口答

学生讨论,得出 区间的选择.

? ? ?? , ? ,使得 y ? sin x 在该区间上存在反函数, ? 2 2?

而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数. 二、讲授新课 1、反正弦函数的定义: 函数 y=sinx , x ∈ [y=arcsinx,x∈[-1,1]. 2、反正弦函数的性质: ①图象 ②定义域[-1,1] ③值域[? 2 1 y y=arcsinx y=x

? ? , ] 的反函数叫做反正弦函数,记作 2 2

y=sinx

? ? , ] 2 2

o

1

④奇偶性:奇函数, 即 arcsin(-x) =-arcsinx,x∈[-1,1] ⑤单调性:增函数

? 2

x

师生共同来完成 图像,进而研究 反正弦函数的性 质.

结论: 互为反函数的两个函数图象关于直线 y ? x 对称, 函数 y=sinx, x ∈ [-

y ? x 对称.

? ? , ] 与函数 y=arcsinx , x∈ [-1 , 1] 的图象关于直线 2 2

2

教学程序和教学内容(包括课外作业和板书设计) 三、例题讲解 例 1.求下列反正弦函数的值:

师生活动

3 ;(2)arcsin (? 2 ) 2 2 ? ? ? 3 ? 解:(1)因为在[- , ],sin = 3 ,,所以 arcsin = . 2 2 2 3 3 2 ? ? ? (2)因为在[- , ],sin (? ) = ? 2 , 2 2 4 2
(1)arcsin 例 2.用反正弦函数值的形式表示下列各式的 x:

师:板书

? 1 ]; 2 3 1 (2)sinx= ,x∈[0, 2? ]; 3 ? 1 解:(1)因为 x∈[0, ],由定义可知 x=arcsin . 2 3 ? ? (2)因为 x∈[0, 2? ],所以 x∈[0, ]或 x∈[ , ? ]. 2 2 ? 1 当 x∈[0, ],由定义可知 x=arcsin 2 3 ? 1 x∈[ , ? ],由定义可知 x= ? ? arcsin . 2 3
(1)sinx= ,x∈[0, 四、巩固练习 1、教材 P82 练习 8.3.2 第 1(1)题 第 2(1)(2)(3)题 2、求下列反正弦函数的值: (1)arcsin

师: 重点讲解 (2) 题.

生:板演练习 师:点评,订正

1 3 ;(2)arcsin0;(3)arcsin() 2 2

3、用反正弦函数值的形式表示下列各式的 x: (1)sinx=

? ? ? ? 2 1 ,x∈[- , ];(2)sinx=- ,x∈[- , ]; 5 2 2 2 2 3

五、课堂小结 1、反正弦函数的定义; 2、反正弦函数的图象与性质. 六、布置作业 教材 P83 习题 8.3 A 组 1(1)(2) 2 (1) 师:小结提问 生:归纳,小结

3


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