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上海市青浦区2015届高三数学(一模)


高中数学郭老师

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青浦区 2014 学年第一学期高三期终学习质量调研测试 数学试题
(满分 150 分,答题时间 120 分钟) 学生注意: 1. 本试卷包括试题纸和答题纸两部分. 2. 在试题纸上答题无效,必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3. 可使用符合规定的计算器答题

. 一 .填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分 . 1.若复数 z ? Q.2015.01.09

1 ? 3i ( i 为虚数单位) ,则 z 的值为_____________. 1? i
.

2. 设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S7 ? 42 ,则 a4 ? 3. (1 ? 2)9 展开式中有理项的个数 是 .. 4.直线 l : x tan . .

?
5

? y ? 1 ? 0 的倾斜角 ? ?

5.已知函数 y ? 2 cos x 与 y ? 2sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,它们的图像有一个横坐标为 交点,则 ? 的值是 .

? 的 3

6.平面 ? 截半径为 2 的球 O 所得的截面圆的面积为 ? ,则球心 O 到平面 ? 的距离为__ _ _ . 7.函数 y ? f ? x ? 的反函数为 y ? f 函数 y ? f
?1 ?1

? x? ,如果函数 y ? f ? x ? 的图像过点 ? 2, ?2? ,那么
.

? ?2x? ?1 的图像一定过点

8. 已知函数 f ( x) 对任意的 x ? R 满足 f (? x) ? f ( x) ,且当 x ≥ 0 时, f ( x) ? x2 ? ax ? 1 .若
f ( x) 有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是
2

. .

9. 抛物线 y ? 8 x 的动弦 AB 的长为 6 ,则弦 AB 中点 M 到 y 轴的最短距离是 10.若甲乙两人从 6 门课程中各选修 3 门,则甲乙所选的课程中恰有 2 门相同的选法 有 .. 种. 11.已知 an ?

1 n? cos ,则无穷数列 ?an ? 前 n 项和的极限为 n 2 2


.

12. 已知正实数 x, y 满足 xy ? 2 x ? y ? 4 ,则 x ? y 的最小值为 13. 设函数 y ? f ( x) 在 R 上有定义,对于任意给定正数 M ,定义函数

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? f ( x), f ( x) ? M f M ( x) ? ? ,则称函数 f M ( x) 为 f ( x) 的“孪生函数” ,若给定函数 ? M , f ( x) ? M
f ( x) ? 2 ? x 2 , M ? 1 ,则 f M (2) ?
.

2 2 14. 当 x 和 y 取遍所有实数时, f ( x, y) ? ( x ? 5 ? cos y ) ? ( x ? sin y ) ? m 恒成立,则 m

的最小值为

.

二 .选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分 . 15. 已知 a ? 1, b ? (A) 30

2, 且a ? (a ? b) ,则向量 a 与向量 b 的夹角为???(
(B) 45 (C) 90 (D)135

).

16. 设 a、b 是两条不同的直 线, ?、? 是两个不同的平面 ,则下面四 个命题中错 的 .误 . 是??????????????????????????????????( (A)若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 b // ? (C)若 a ? ? , ? ? ? ,则 a // ? 或 a ? ? ).

(B)若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ?

?

(D)若 a // ? , ? ? ? ,则 a ? ?

17.设 a, b 为正实数,则“ a ? b ”是“ a ?

1 1 ? b ? ”成立的??????( a b

).

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 18. 设函数 f ( x) ? n ? 1, x ? [n, n ? 1), n ? N * ,函数 g ( x) ? log 2 x ,则方程 f ( x) ? g ( x) 实 数根的个数是?????????????????????????????( (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 ).

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共 2 小题,第( 1)小题 6 分,第( 2)小题 6 分. 如图所示,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2 , BC ? 2 , B1
A1 C1 M D1

CC1 ? 4 , M 为棱 CC1 上一点.
(1)若 C1M ? 1 ,求异面直线 A1M 和 C1 D1 所成角的正切值; (2)若 C1M ? 2 ,求证 BM ? 平面 A1 B1M .
A B

D C

第 19 题图

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20.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第( 1)小题 8 分,第( 2)小题 6 分. 如图, 摩天轮上一点 P 在 t 时刻距离地面高度满足 y ? A sin(?t ? ? ) ? b , ? ???? , ? ? , 已知某摩天轮的半径为 50 米,点 O 距地面的高度为 60 米,摩天轮做匀 速转动,每 3 分钟转一圈,点 P 的起始位置在摩天轮的最低点处. (1)根据条件写出 y (米)关于 t (分钟)的解析式; (2) 在摩天轮转动的一圈内, 有多长时间点 P 距离地面超过 85 米?

第 20 题图

[来源 : 学优 高考 网 gk st k]

21.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第( 1)小题 6 分,第( 2)小题 8 分. 如图所示的“8”字形曲线是由两个关于 x 轴对称 的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形, 其中上半个 圆所在圆方程是 x2 ? y 2 ? 4 y ? 4 ? 0 ,双曲线的左、 右顶点 A 、 B 是该圆与 x 轴的交点,双曲线与半圆相 交于与 x 轴平行的直径的两端点. (1)试求双曲线的标准方程; (2)记双曲线的左、右焦点为 F 1 、 F2 ,试在“8” 字形曲线上求点 P ,使得 ?F 1PF2 是直角. 第 21 题图

22.(本题满分 16 分)本题共 3 小题,第( 1)小题 4 分,第( 2)小题 4 分,第( 3)小题 8 分. 已知数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ?

3 , 数列 ?bn ? 是等比数列,且 b1 ? a1 , 2

b2 ? ?a3 , b3 ? a4 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,记点 Qn (bn , Sn ), n ? N * .
(1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)证明:点 Q1、Q2、Q3、 、Qn、 在同一直线 l 上,并求出直线 l 方程; (3)若 A ? Sn ?

1 ? B 对 n ? N * 恒成立,求 B ? A 的最小值. Sn

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分. 已知函数

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23.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第( 1)小题 6 分,第( 2)小题 6 分,第( 3)小题 6

f ( x) ?| x ?

1 1 | ?| x ? |. x x 1 1 | ? | x ? | 的基本性质(结论不要求证明)并作出函数 f ( x) x x

(1)指出 的图像;

f ( x) ?| x ?

(2)关于 x 的不等式 kf 2 ( x) ? 2kf ( x) ? 6(k ? 7) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围; (3)关于 x 的方程 求 n 的取值范围.

f 2 ( x) ? m f ( x) ? n ? 0 ( m, n ? R )恰有 6 个不同的实数解,

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青浦区 2014 学年第一学期高三期终学习质量调研测试
参考答案及评分标准 说明 1.本解答列出试题一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评 分标准的精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评 阅.当考生的解答在某一步出现错误,影响了后续部分,但该步以后的解答未改变这一题 的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,但是原则上不应超出后面部分应给 分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 3.第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数. 4.给分或扣分均以 1 分为单位. 一 .填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分 . 1. 2015.01

5;

2. 6 ; 4. 6.

3. 5 ;

? ; 6 7. ?1,3? ;
5. 9.

4? ; 5

3;

8. ? 2, ?? ? ; 10. 180 ;

9 ; 8 1 ; 5

11. ?

12. 2 6 ? 3 ; 14. 8 .

13. ?2 ;

二 .选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分 .

15.

B

;16.

D

; 17. C

;18.

B

.

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤.

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19.(本题满分 12 分)本题共 2 小题,第( 1)小题 6 分,第( 2)小题 6 分. 19. 解:(1)由题意, C1M ? 1, B 1C1 ? BC ? 2 , B1C1 ? C1M ,得 B1M ? 5 ???? 1 分

A1 B1 / /C1 D1 ,所以异面直线 A1M 和 C1 D1 所成角即为 A1M 和 A1 B1 所成角 ???? 3 分
长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

A1B1 ? B1C1, A1B1 ? B1B ,? A1 B1 ? 面 B1 BCC1 ,

? A1B1 ? B1M ,故可得 ?B1 A1M 为锐角且 tan ?B1 A1M ?

B1M 5 ???????? 6 分 ? B1 A1 2

(2)由题意, BC ? B1C1 ? 2 , C1M ? 2 , CC1 ? 4 ? CM ? 2

BB12 ? BM 2 ? B1M 2 ,??BMB1 ? 90 ,即 BM ? B1M ???????????? 8 分
又由 A1 B1 ? 面 B1 BCC1 可得 A1 B1 ? BM 故 BM ? 平面 A1 B1M . ???????????????? 10 分

????????????????????????12 分

(说明:建立空间直角坐标系的相应给分) 20.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第( 1)小题 8 分,第( 2)小题 6 分. 解: (1)由题设可知 A ? 50 , b ? 60 , ???????? 2 分 又T ?

2?

2 ? 3 ,所以 ? ? ? , 3 ?

???????? 4 分

从而 y ? 50sin(

2? t ? ? ) ? 60 , 3 2? t ? ? ) ? 60 , 得 3

再 由 题 设 知 t ? 0 时 y ? 10 , 代 入 y ? 50sin(

sin ? ? ?1,从而 ? ? ?
因此, y ? 60 ? 50 cos

?
2



???????? 6 分

2? t , (t ? 0) . ???????? 8 分 3 2? t ? 85 ,??? 8 分 3

(2)要使点 P 距离地面超过 85 米,则有 y ? 60 ? 50 cos 即 cos

2? 1 2? 2? 2? 4? t ? ? ,又 0 ? t ? 2? , (t ? 0) 解得 ? t? , (t ? 0) , 3 2 3 3 3 3
???????? 10 分

即1 ? t ? 2

所以,在摩天轮转动的一圈内,点 P 距离地面超过 85 米的时间有 1 分钟. ?? 14 分
[来源 : 学优 高考 网 gk st k]

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21.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第( 1)小题 6 分,第( 2)小题 8 分.

x2 y 2 解(1)设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? ,在已 a b
知圆的方程中,令 y ? 0 , 得 x 2 ? 4 ? 0 , 即 x ? ?2 , 则 双 曲 线 的 左 、 右 顶 点 为

A ? ?2,0? 、 B ? 2,0? ,于是 a ? 2 ???????? 2 分
令 y ? 2 ,可得 x 2 ? 8 ? 0 ,解得 x ? ?2 2 ,即双曲线过点

? ?2

2, 2 ,则

?

8 4 ? ? 1 所以 b ? 2 ,????? 4 分 22 b 2

所以所求双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 ????????6 分 4 4

第 21 题图

(2)由(1)得双曲线的两个焦点 F1 ?2 2, 0 , F2 2 2, 0 ???????? 7 分
? 当 ?F 1PF 2 ? 90 时,设点 P ? x, y ? ,

?

?

?

?

①若点 P 在双曲线上,得 x2 ? y 2 ? 4 ,

? x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 2 ? y ? 0 ? x ?8? y ? 0 由 ? 2 由F , 1P ? F 2 P ? 0 ,得 x ? 2 2 2 ?x ? 8 ? y ? 0

?

??

?

2

2

2

解得 ?

? ?x ? ? 6 ? ?y ? ? 2

所以 P 1

?

6, 2 , P2
2 2

? ?

6, ? 2 , P3 ? 6, 2 , P4 ? 6, ? 2 ?? 11 分

? ?

? ?

?

②若点 P 在上半圆上,则 x ? y ? 4 y ? 4 ? 0 ? y ? 2? ,由 F 1P ? F 2P ? 0 , 得 x?2 2

?

?? x ? 2 2 ? ? y

2

? x2 ? y 2 ? 4 y ? 4 ? 0 ? 0 ,由 ? 无解???????? 13 分 2 2 ? x ? y ?8 ? 0

综上,满足条件的点有 4 个,分别为

P 1

?

6, 2 , P2

? ?

6, ? 2 , P3 ? 6, 2 , P4 ? 6, ? 2 ???????? 14 分

? ?

? ?

?

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分.

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22.(本题满分 16 分)本题共 3 小题,第( 1)小题 4 分,第( 2)小题 4 分,第( 3)小题 8 解(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,由题设可得

1 3 ? ?3 ? 2d ? ? q ? q ? ? ? ?2 ? 2 ?q ? ?1 2 ?? 或? ? 3 3 3 2 ?d ? 0 ? ? 3d ? q ?d ? ? ? ? 8 ?2 2 ?
因为数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列,所以 q ? ? ?????????????????4 分

1 3 1 ,即 bn ? ( ? ) n ?1 2 2 2

1 ? x ? ?3 ? (? ) n ? 3 1 n ?1 1 n ? 2 Qn (bn , sn )即为Q ( ?(- ) ,1-(- ) ),令 ? 得 n 1 2 2 2 n (2) ? y ? 1-(- ) ? ? 2
x ? 3y ? 3 ? 0 ,
即点 Q1、Q2、Q3、 、Qn、 ,在同一条直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 上。 ?????????????????8 分

3 1 (1 ? (? ) n ) a1 (1 ? q n ) 2 2 ? 1 ? (? 1 ) n ,?????????????9 分 (3) Sn ? ? 1 1? q 2 1 ? (? ) 2
令 t ? Sn ?

1 , Sn ? 0 , t 随着 Sn 的增大而增大?????????????10 分 Sn

1 ? 5? ? 3? 当 n 为奇数时, Sn ? 1 ? ( )n 在奇数集上单调递减, Sn ? ?1, ? , t ? ? 0, ? 2 ? 6? ? 2?
????????????????12 分

1 ?3 ? ? 7 ? 当 n 为偶数时, Sn ? 1 ? ( )n 在偶数集上单调递增, S n ? ? ,1? , t ? ? ? ,0 ? 2 ?4 ? ? 12 ?
????????????????14 分

?tmin ? ?

7 5 , tmax ? , 6 12

A ? Sn ?

1 ? 7 5? ? B ,? ? ? , ? ? ? A, B ? Sn ? 12 6 ?

即 B ? A 的最小值是

17 ?????????????????16 分 12

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分. 解: (1)解: D ? ? ??,0?

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23.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第( 1)小题 4 分,第( 2)小题 6 分,第( 3)小题 8

? 0, ???

? 2 ? ? x x ? ? ??, ?1? ? ? ?2 x x ? ? ?1, 0 ? f ( x) ? ? ? 2 x x ? ? 0,1? ?2 ? x ? ?1, ?? ? ?x

????????????????1 分

f ( x) 是偶函数????????????????????????2 分
在区间 ? ??, ?1? 和 ? 0,1? 上单调递增,在区间 ? ?1,0? 和 ?1, ?? ? 上单调递减???3 分

f ( x) 的最大值是 2 ,无最小值,值域为 (0, 2] ????????????????4 分
(说明:在端点 ?1 和 1 处可开可闭,在 0 处必须是开的,两个区间可以用“和”连接,但不 能用“ ”连接;写对值域给分) (作图如下: )

??????????6 分 ( 2 ) 因 为 关 于 x 的 不 等 式 kf 2 ( x)? 2 kf ( x) ? 6(k ? 7? ) 恒 0 成 立 , 令 f ( x) ? t , 则

t ? ? 0, 2 ? ???????7 分
即不等式 k (t ? 2t ? 6) ? 42在t ? ? 0, 2 上恒成立????????????????8 分
2

?

当 t ? ? 0, 2 时,

?

t 2 ? 2t ? 6 ??5,6? ?????????????????????9 分
????????????????????????????10 分

?k ?

42 t ? 2t ? 6
2

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2

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42 42 ? 42 ? ? ? ?7, ? 2 又 t ? 2t ? 6 (t ? 1) ? 5 ? 5 ? ????????????????????11 分
?k ? 42 5 ????????????????????????????????12 分

( 3 )关于 x 的方程

f 2 ( x) ? m f ( x) ? n? 0( m, n ? R )恰有

6 个不同的实数解即

f 2 ( x) ? mf ( x) ? n ? 0 有 6 个不同的解,????????????????13 分
数形结合可知必有 f1 ( x) ? 2 和 f 2 ( x) ? t , t ? ? 0, 2

?

????????????14 分

令 u ? f ( x) ,则关于 u 的方程 g (u) ? u 2 ? mu ? n ? 0 有一根为 2,另一根在 ? 0, 2 ? 间 ??????????????????????????????????15 分

? 2m ? n ? 4 ? 0 ? g ?0? ? 0 ? ? ? n ? (0, 4) ???????????????????18 分 ? m ?- 2 ? (0, 2) ? 2 ? ? m ? 4n ? 0


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