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2012-2014年高考题汇编2:函数概念性质、指对函数


2.1 函数及其表示映射
选择题 A 1. (2012 安徽理)下列函数中,不满足: f (2 x) ? 2 f ( x) 的是( )

( A) f ( x) ? x
【答案】C

( B ) f ( x) ? x ? x

(C ) f ( x) ? x ??

( D ) f

( x) ? ? x

?1, x ? 0 ?1, x为有理数 ? 2. (2012 福建文)设 f ( x ) ? ?0, x ? 0 , g ( x) ? ? ,则 f ( g (? )) 值为( 0 , x 为无理数 ? ? ? 1, x ? 0 ?
A.1 【答案】B B.0
2



C. ? 1

D. x ? ?

3. (2013 福建文)函数 f ( x) ? ln(x ? 1) 的图象大致是(



A. 【答案】A

B.

C.

D.

4. (2013 湖北文)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后 为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是
距学校的距离 距学校的距离

O A
距学校的距离

时间

O B
距学校的距离

时间

O C 【答案】C

时间

O D

时间

| x| 5. (2014 江西理) 已知函数 f ( x) ? 5 , 若 f [ g (1)] ? 1 , 则a ? ( g ( x) ? ax2 ? x(a ? R) ,



(1) 1 【答案】A

B. 2

C. 3

D. -1

6. (2014 陕西)下列函数中,满足“ f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ”的单调递增函数是(



(A) f ? x ? ? x 【答案】D

1 2

(B) f ? x ? ? x

3

?1? (C) f ? x ? ? ? ? ?2?


x

(D) f ? x ? ? 3x

x2 7. (2013 四川理)函数 y= x 的图象大致是( 3 -1

【答案】B 选择题 B 1. (2013 安徽)函数 y ? f ( x ) 的图象如图所示,在区间 ? a, b? 上可找到 n(n ? 2) 个不同的 数 x1 , x2 ,

, xn ,使得

f ( x1 ) f ( x2 ) ? ? x1 x2

?

f ( xn ) ,则 n 的取值范围为 xn

(A)

?2,3?

(B)

?2,3, 4?

(C)

?3, 4?

(D)

?3, 4,5?

【简解】观察过原点的直线与曲线交点的个数,可知选 B 2. (2012 北京) 某棵果树前 n 年的总产量 S 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看, 前 m 年的年平均产量最高。m 值为( )

A.5 B.7 C.9 D.11 【简解】看相邻两点连线的斜率大小,选 C x 3. (2013 北京理) 函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度, 所得图象与 y=e 关于 y 轴对称, 则 f(x)= A. e
x ?1

B. e

x ?1

C. e

? x ?1

D. e

? x ?1

【简解】设(x,y)为 y=f(x)图象上任意一点,将其右移一个单位,再将其关于 y 轴对称得到点 (-x-1,y),在 y=ex 上,于是 y=e-x-1。选 D 4. (2012 湖北文)已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y=-f(2-x)的 图 象 为

【简解】当 x ? 2 时, y ? ? f ? x ? 2? ? ? f ? 2 ? 2? ? ? f ? 0? ? 0 ,故可排除 D 项;当 x ? 1 时, y ? ? f ? x ? 2? ? ? f ? 2 ?1? ? ? f ?1? ? ?1,故可排除 A,C 项;所以由排除法知选 B. 5. (2014 山东文)对于函数 f ( x ) ,若存在常数 a ? 0 ,使得 x 取定义域内的每一个值,都 有 f ( x) ? f (2a ? x) ,则称 f ( x ) 为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是 (A) f ( x) ?

x

(B) f ( x) ? x3

(C) f ( x) ? tan x

(D) f ( x) ? cos( x ? 1)

【简解】由已知,f(a-x)=f(a+x),关于 x=a 对称。函数是轴对称图形,选 D 6.(2013 新标 1 理) 已知函数 f ( x) = ?

?? x 2 ? 2 x, x ? 0 ?ln( x ? 1), x ? 0

,若| f ( x) |≥ ax ,则 a 的取值范围是

A . (??, 0]

B . (??,1]

C .[-2,1]

D .[-2,0]

【解析】作图象,y=ax 与之相切,选 D. 选择题 C 1. ( 2012 福 建理 ) 函数 f(x) 在 [ a , b ] 上 有定 义 ,若 对任意 x1 , x2∈ [ a , b ] ,有

f(

x1 ? x2 1 ) ? [f ? x1 ?+f ? x2 ?] ,则称 f(x)在[a,b]上具有性质 P.设 f(x)在[1,3]上 2 2

具有性质 P,现给出如下命题: ①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的;②f(x2)在[1, 3 ]上具有性质 P;③若 f(x)在 x= 2 处 取 得 最 大值 1 , 则 f(x) = 1 , x∈ [ 1,3 ] ; ④对 任 意 x1 , x2 , x3 , x4∈[ 1,3 ] ,有

f(

x1 ? x2 ? x3 ? x4 1 ) ? [f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)] .其中真命题的序号是( 4 4

)

A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 【解析】①在区间[1,3]上 f(x)具有性质 P,但是可以是间断的,故①错;②可设 f(x)=|x
2 ? ?2 ? x ,1 ? x ? 2, -2|,当 x∈[1,3]时易知其具有性质 P,但是 f(x )=|x -2|= ? 不具有 2 ? ? x ? 2, 2 ? x ? 3 x ? 4 ? x0 1 ) ≤ [f(x0) 性质 P,故②错;③任取 x0∈[1,3] ,则 4-x0∈[1,3] ,1=f(2)= f ( 0 2 2

2

2

1 [f(x0)+f(4-x0)]≤1.∴f(x0)=f(4-x0)=1, 2 x1 ? x2 x3 ? x4 ? x ? x2 ? x3 ? x4 2 2 ) 故③正确;④ f ( 1 )? f( 4 2 x ?x ? 1 1 ? x ? x2 ≤ ?f( 1 ,故④正确.选择 D )+f ( 3 4 ) ? ≤ [f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)] 2? 2 2 ? 4
+f(4-x0)] ,又∵f(x0)=1,f(4-x0)≤1,∴ 2. (2014 山东理)已知函数 y ? f ( x)( x ? R) ,对函数 y ? g ? x ?? x ? I ? ,定义 g ? x ? 关于

f ? x ? 的“对称函数”为函数 y ? h ? x?? x? I? , y ? h ? x ? 满足:对任意 x ? I ,两个点

? x, h? x?? ,? x, g? x??
f

关 于 点

? x, f? ?x ?

对 称 , 若 h ? x? 是 g ? x? ?

4 ? x2 关 于


?x ??3

“对称函数” , 且 h ? x ? ? g ? x ? 恒成立, 则实数 b 的取值范围是 ? x 的 b

【解析】

h(x)+ 4-x2 ? 3x ? b ,h(x)=6x+2b- 4 ? x2 > 4 ? x2 ,3x+b> 4 ? x2 ,在同一坐 2
b >2,填 b ? 2 10 10
1 | sin 2?x | , 3


标系内作出 y=3x+b 及 y= 4 ? x2 的图象,由图象 3.(2014 浙 江 理 ) 设 函 数 f1 ( x) ? x
2

2 , f 2 ( x) ? 2( x ? x ), f 3 ( x) ?

ai ?

i , i ? 0,1,2,? ,99 99



I k ?| f k (a1 ) ? f k (a0 ) | ? | f k (a2 ) ? f k (a1 ) | ??? | f k (a99 ) ? f k (a98 ) | , k ? 1,2,3. 则
A. I1 ? I 2 ? I 3 【解析】 B. I 2 ? I1 ? I 3 C. I1 ? I 3 ? I 2 D. I 3 ? I 2 ? I1

1 2i ? 1 1 1 ? 3 ? 5 ? ...... ? 199 ? ? , I1 ? =1; 99 99 99 99 2 2i ? 1 2(98 ? 2i) f 2 (ai ?1 ) ? f 2 (ai ) ? 2[(ai ?1 ? ai ) ? (ai ?12 ? ai 2 ) ? ? (1 ? )? , 99 99 992 200 ? 49 I2 ? <1; 992 8 25 同理 I 3 = sin(2? ? ) >1。选 B 3 99 f1 (ai ?1 ) ? f1 (ai ) ? (ai ?1 ? ai )(ai ?1 ? ai ) ?
填空题 A 1. (2013 安徽文)定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) .若当 0 ? x ? 1 时。

f ( x) ? x(1 ? x) ,

则当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) =________________.

【答案】 f ( x) ? ?

x( x ? 1) 2

2. (2014 新标 2 文) 已知函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称, f (3) =3,则 f(-1)=_______. 【答案】3 3.(2013 浙江文) 已知函数 f(x)= x-1.若 f(a)=3,则实数 a=______. 【答案】10 填空题 B 1. (2014 湖北文)如图所示,函数 y ? f ( x) 的图象由两条射线和三条线段组成.
y
a
?3a ?2a
?a

y ? f ( x)
a

2a

O

3a

x

?a

若 ?x ? R , f ( x) > f ( x ? 1) ,则正实数 a 的取值范围为 1 【简解】4a-(-2a)<1,填(0, ) 6 2.(2012 天津理) 已知函数 y ? 数 k 的取值范围是_____. 【简解】y= ? ∪(1,4) 3.(2012 天津文) 已知函数 y ? 的取值范围是 【 解析 】作 y= ? .



x2 ?1 x ?1

的图象与函数 y ? kx ? 2 的图象恰有两个交点,则实

? x ? 1( x ? 1或x ? ?1) ;y=kx-2 是过点(0,2)的直线,k 的意义为 k;作图知填(0,1) ? x ? 1( ? 1 ? x ? 1) ?
x2 ?1 x ?1

的图象与函数 y ? kx 的图象恰有两个交点,则实数 k

? x ? 1( x ? 1或x ? ?1) 与 y ? kx 有两 个不 同的 交点 ;斜 率 0 ? k ? 1 或 ?? x ? 1(?1 ? x ? 1)
填空题 C

1? k ? 2。
1. (2013 福建)设 S , T 是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y ? f ( x) 满 足; (i) T ? { f ( x) | x ? S } ; (ii)对任意 x1 , x2 ? S ,当 x1 ? x2 时,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下 3 对集合:



A ? N, B ? N*





A ? {x | ?1 ? x ? 3}, B ? {x | ?8 ? x ? 10}



③ A ? {x | 0 ? x ? 1}, B ? R . 其中,“保序同构”的集合对的序号是 【解析】举例即可:①f(x)=x+1;②f(x)= (写出所有“保序同构”的集合对的序号)

9 7 1 x ? ;③f(x)=tan[π (x- )]。填① ② ③ 2 2 2 2.(2014 四川)以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合, B 表示具有如下性质的函数 ? ( x) 组 成的集合: 对于函数 ? ( x) , 存在一个正数 M , 使得函数 ? ( x) 的值域包含于区间 [? M , M ] 。
例如,当 ?1 ( x) ? x , ?2 ( x) ? sin x 时, ?1 ( x) ? A , ?2 ( x) ? B 。现有如下命题:
3

?a ? D ,f (a) ? b ” ①设函数 f ( x ) 的定义域为 D , 则 “ f ( x) ? A ” 的充要条件是 “ ?b ? R , ;
②若函数 f ( x) ? B 的充要条件是 f ( x ) 有最大值和最小值; ③若函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域相同,且 f ( x) ? A , g ( x) ? B ,则 f ( x) ? g ( x) ? B ; ④若函数 f ( x) ? a ln( x ? 2) ?

x ( x ? ?2 , a ? R )有最大值,则 f ( x) ? B 。 x ?1
2

其中真命题是____________ 【解析】①根据草图象,知正确;②f(x)的值域可以是(a,b),故错误;③f(x)无界,g(x)有界, 故 f(x)+g(x)无界,正确;④f(x)有最大值,a=0,f(x)=

x 有界,故正确。填①③④ x ?1
2

2.2 函数的定义域
选择题 A 1.(2012 安徽文)设集合 A ? {x ?3 ? 2x ?1 ? 3} ,集合 B 是函数 y ? lg(x ? 1) 的定义域;则

A B?(



( A) (1, 2)
【答案】D

( B ) [1, 2]
lg( x ? 1) 的定义域是 x ?1

(C ) [?, ?)

( D ) (?, ?]

2. (2013 广东文)函数 f ( x ) ? A. (?1, ??) 【答案】C

B. [?1, ??) C. (?1,1)

(1, ??)

D. [?1,1)

(1, ??)

3. (2012 江西理)下列函数中,与函数 y=

1 定义域相同的函数为 3 x
D.

A.y=

1 sin x

B.y=

1nx x

C.y=xex

sin x x

【答案】D 4. (2013 江西理)函数 y= A. (0,1) 【答案】B

x ln(1-x)的定义域为
B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]

5. (2014 江西理)函数 f ( x) ? ln(x 2 ? x) 的定义域为( A. (0,1) 【答案】C 6.(2012 山东文) 函数 f ( x) ? (A) [?2, 0) 【答案】B 7. (2013 山东文)函数 f(x)= 1-2x+ A.(-3,0] -3)∪(-3,1] 【答案】A 8. (2014 山东理)函数 f ( x) ? B.(-3,1] 1 的定义域为( x+3
(0, 2]

) D. (??,0] ? [1,??)

B. [0,1]

C. (??,0) ? (1,??)

1 ? 4 ? x 2 的定义域为 ln( x ? 1)
(0, 2]

(B) (?1, 0)

(C) [ ?2, 2]

(D) ( ?1, 2]

) D . ( -∞ ,

C.(-∞,-3)∪(-3,0]

1 (log2 x) 2 ? 1
1 2

的定义域为

(A) (0, ) 【答案】C

1 2

? ?) (B) ( 2,

(C) (0, ) ? (2,?? )

? ?) (D) (0, ] ? [ 2,

1 2

9. (2014 山东文)函数 f ( x) ?

1 的定义域为 log 2 x ? 1
(C) (2, ??) (D) [2, ??)

(A) (0, 2) 【答案】C

(B) (0, 2]

填空题 A 1. (2013 安徽文)函数 y ? ln(1 ? ) ? 1 ? x 的定义域为_____________
2

1 x

【答案】 ? 0,1? 2. (2012 广东文)函数 y ? 【答案】 [?1, 0)

x ?1 的定义域为_________ x

(0, ??)


3.(2012 江苏)函数 f(x)= 1-2log6 x 的定义域为 _________ 【答案】 (0, 6 ] 4. (2012 沪春招)函数 y ? 【答案】[-1,+∞)

x ? 1 的定义域为_______.

5.(2013 沪春招) 函数 y ? log2 ( x ? 2) 的定义域是 【答案】(-2,+∞) 6. (2012 四川文)函数 f ( x) ? 【答案】 ( - ?, )

1 的定义域是____________。 (用区间表示) 1? 2x

1 2

2.3 函数的单调性
选择题 A 1. (2014 北京理)下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是( )

A. y ? x ? 1

B. y? ( x ? 12)

C. y ? 2? x

D. y? l o 0 g. 5 x (?


1)

【答案】A 2. (2014 北京文)下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A. y ? e
?x

B. y ? x

C. y ? ln x

D. y ? x

【答案】B 3. (2012 广东理)下列函数中,在区间 ? 0, ?? ? 上为增函数的是( A. y ? ln ? x ? 2? 【答案】A B. y ? ? x ? 1 )

?1? C. y ? ? ? ?2?

x

D. y ? x ?

1 x

2.4 函数的奇偶性与周期性
选择题 A 1. (2013 北京文)下列函数中,既是偶函数又在区间 (0, ??) 上单调递减的是( A. y ? )

1 x

B. y ? e

?x

C. y ? ? x ? 1
2

D. y ? lg x

【答案】C 2. (2012 广东文)下列函数为偶函数的是( )

( A)

y ? sin x

( B)

y ? x3

(C )

y ? ex

( D ) y ? ln x ? ??
【答案】D 3.(2013 广东理)定义域为 R 的四个函数 y ? x , y ? 2 , y ? x ? 1 , y ? 2sin x 中, 奇函数的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1
3 x 2

【答案】C

4. (2014 广东文)下列函数为奇函数的是

A.2 x ?

1 2x

B.x 2 sin x

C.2 cos x ? 1

D.x2 ? 2x

【答案】B 5.(2013 湖南文) 已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1) +g(-1)=4,则 g(1)等于____ ____ A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 6. (2014 湖南理)已知 f ( x), g ( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且

f ( x) ? g ( x) ? x3 ? x2 ? 1,
则f (1) ? g (1) =
A.-3 【答案】C B.-1 C.1 D.3

7.(2014 湖南文) 下列函数中,既是偶函数又在区间 ( ??, 0) 上单调递增的是(



A. f ( x ) ?

1 x2

x B. f ( x) ? 2x? 1 C. f ( x) ? 3x D. f ( x) ? ? 2

【答案】A 8. (2012 陕西)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A. y ? x ? 1 B. y ? ? x
2



C. y ?

1 x

D. y ? x | x |

【答案】D 9.(2012 天津文)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为 A.y=cos2x,x ? R,B.y=log2|x|,x ? R 且 x≠0,C. y= 【答案】B 10.(2014 新标 1)设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函 数,则下列结论正确的是
e ?e 2
x ?x

,x ? R,D.y=x +1,x ? R
3

A . f ( x) g ( x) 是偶函数 D .| f ( x) g ( x) |是奇函数
【答案】C

B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 C . f ( x) | g ( x) |是奇函数

选择题 B 1. (2014 湖北文)x 为实数, [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则函数 f ( x) ? x ? [ x] 在 R 上 为 A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D. 周期函数

【简解】作出部分图象;猜测函数周期为 1 又 f ( x ? 1) ? x ? 1 ? [ x ? 1] ? x ? [ x] ? f ( x) 。选 D 2. (2012 山东理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x) ,当-3≤x<-1 时,f(x) =-(x+2)2,当-1≤x<3 时,f(x)=x。则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2012)= (A)335(B)338(C)1678(D)2012 【简解】 f (?3) ? ?1, f (?2) ? 0, f (?1) ? ?1, f (0) ? 0, f (1) ? 1, f (2) ? 2 ,而函数的周期 为 6,

f (1) ? f (2) ? ? ? f (2012 ) ? 335(?1 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1 ? 2) ? f (1) ? f (2) ? 335? 3 ? 338 .
选B 3. (2013 山东)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, f(x) =x + (A)-2 【答案】A (B)0 (C)1 (D)2
2

1 ,则 f(-1)= ( x

)

4.(2014 新标 2 理) 已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ?? ? 单调递减, f ? 2? ? 0 .若 f ? x ?1? ? 0 ,则

x 的取值范围是_____.
【简解】f(|x-1|)>f(2),|x-1|<2,-2<x-1<2,填(-1,3) 选择题 C 1. (2012 福建理)设函数 D(x) ? ?

?1, x ? Q, 则下列结论错误的是( ?0, x ? ?R Q,

)

A.D(x)的值域为{0,1} B.D(x)是偶函数 C.D(x)不是周期函数 D.D(x)不是 单调函数 【解析】 A 显然正确。 x∈Q 时, -x∈Q, D(-x)=1=D(x);同理, x∈ ?R Q 时, 仍然有 D(-x)=D(x)。 故 D(x)是偶函数;B 正确。对任意有理数 T,都有 D(x+T)=D(x),故 D(x)是周期函数,只不 过没有最小正周期。选 C 2. ( 2014 湖 北 理 ) 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 ,

f ( x) ?


1 2 ( | x? a |? ) |x? 2 2 a ? | 2a 3若 ? ) .x ? R, f ( x ?1) ? f ( x), 则实数 a 的取值范围为 2



A. [ ? , ]

1 1 6 6

B. [?

6 6 , ] 6 6

C. [? , ]

1 1 3 3

D. [?

3 3 , ] 3 3

?-x,0 ? x ? a2 ? 2 2 2 【解析】 f (x)= ??a , a ? x ? 2a ;作出图象 ?x ? R, f ( x ? 1) ? f ( x), 只要 2a2-(-4a2)≤ ? x ? 3a 2 , x ? 2a 2 ?
1.选 B 填空题 A 1. (2013 大纲文) 设 f(x)是以 2 为周期的周期函数, 且当 x∈[1,3)时, f(x)=x-2, 则 f(-1)=______

【答案】-1
2 2. (2014 上海文)设常数 a ? R ,函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x ? a ,若 f (2) ? 1 ,则

f (1) ?

.

【答案】3 3.(2014 四 川 ) 设 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 函 数 , 当 x ?[?1,1) 时 ,

??4 x 2 ? 2 , ? ? 1x? 0, 3 ,则 f ( ) ? ____________。 f ( x) ? ? 2 0 ? x ? 1, ? x,
【答案】1 4. ( 2012 上 海 文 ) 已 知 y ? f ( x) 是 奇 函 数 , 若 g ( x) ? f ( x) ? 2 且 g (1) ? 1 , 则

g (? 1)?
【答案】 3

.

5. (2012 沪春招)若 f ( x ) ? 【答案】-2

( x ? 2)( x ? m ) 为奇函数,则实数 m ? ______. x
填空题 B

1.(2012 江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[﹣1,1]上,f(x) = 其中 a,b∈R.若 = ,则 a+3b 的值为 _________ .

【简解】f( )=f(﹣ )=1﹣a=f( )= b 的方程组可得到 a,b 的值。填-10

;再由 f(﹣1)=f(1)得 2a+b=0,解关于 a,

2. ( 2012 上海理 )已知 y ? f ( x) ? x 2 是奇函数,且 f (1) ? 1 ,若 g ( x) ? f ( x) ? 2 ,则

g (?1) ?
【 简 解

. 】 因 为 函 数

y ? f ( x) ? x 2















g (1) ? f (1) ? 2, 又f (1) ? 1, 所

以g (1, ) ? 3,

f (?1) ? ?3, g (?1) ? f (?1) ? 2 ? ?3 ? 2 ? ?1 . f (?1) ? ? f (1).
3. (2012 浙江文) 设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x) =x+1,则 f( ) =_______________。

3 2

【简解】 f ( ) ? f ( ? 2) ? f ( ? ) ? f ( ) ?

3 2

3 2

1 2

1 2

1 3 ?1 ? 2 2

2.5 反函数
选择题 A 1. (2012 大纲文)函数 y ? A .

x ?1( x ? ?1) 的反函数为
B .

y ? x2 ? 1( x ? 0)

y ? x2 ?1( x ? 1)

C



y ? x2 ? 1( x ? 0)

D. y ? x2 ? 1( x ? 1) 【答案】A 2. (2014 大纲文)函数 y=ln( 3 x ? 1 )(x>-1)的反函数是( A. y ? (1 ? e ) ( x ? ?1)
x 3

)

B. D.

y ? (e x ? 1)3 ( x ? ?1) y ? (ex ?1)3 ( x ? R) .

C. y ? (1 ? e ) ( x ? R)
x 3

【答案】D 3. (2012 沪春招)记函数 y ? f ( x ) 的反函数为 y ? f ?1 ( x ). 如果函数 y ? f ( x ) 的图象过 点 (1, 0) ,那么函数 y ? f (A) (0, 0) . 【答案】B 4. (2013 上海文)函数 f ? x ? ? x ?1? x ? 1? 的反函数为 f
2 ?1
?1

( x ) ? 1 的图象过点
(C) (1,1) . (D) (2, 0) .

(B) (0, 2) .

? x ? ,则 f ?1 ? 2? 的值是(



(A) 3 【答案】A

(B) ? 3

(C) 1 ? 2

(D) 1 ? 2

5.(2013 沪春招) 设 f ( x) 为函数 f ( x) ?
-1

x 的反函数,下列结论正确的是( )
(C)

(A) f

?1

(2) ? 2

(B) f

?1

(2) ? 4

f ?1 (4) ? 2

(D) f

?1

(4) ? 4

【答案】B 选择题 B 1. (2014 大纲理)函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? g ( x) 的图象关于直线 x ? y ? 0 对称, 则 y ? f ( x) 的反函数是 ( D. y ? ? g ( ? x ) 【简解】 (x,y)是 y=f(x)反函数图象上任意一点, 则(y,x)在 y=f(x)图象上; (-x,-y)在 y=g(x) ) A.y ? g ( x) B.y ? g (? x) C.y ? ? g ( x)

图象上;于是-y=g(-x);选 D. 选择题 C 1.(2013 四川) 设函数 f(x)= e +x-a(a∈R, e 为自然对数的底数), 若存在 b∈[0,1]使 f(f(b)) =b 成立,则 a 的取值范围是( )
x

A.[1,e] B.[1,1+e] C.[e,1+e] D.[0,1] 【解析】由于 f(x)= ex+x-a在其定义域上单调递增,且 y≥0,∴y=f(x)存在反函数 y=f
1 1
- - - -

(x),又存在 b∈[0,1]使 f(f(b))=b,则 f 1[f(f(b))]=f 1(b),即 f(b)=f 1(b),∴y=f(x)与 y=f



(x)的交点在直线 y=x 上,所以 ex+x-a=x 在[0,1]上有解.由 ex+x-a=x 得 a=ex+x

-x2,当 x∈(0,1)时,a′=ex-2x+1>ex-2+1>0,∴a=ex+x-x2 在[0,1]上单调递增,∴当 x=0 时,a 最小=e0=1,当 x=1 时,a 最大=e,故 a 的取值范围是[1,e].选 A. 2.(2012 新标理) 设点 P 在曲线 y ? ( )

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2x ) 上,则 PQ 最小值为 2

( A) 1 ? ln 2

( B)

2(1 ? ln 2)

(C ) 1 ? ln 2

( D ) 2(1 ? ln 2)

【解析】已知两函数互为反函数,图象关于

y ? x 对称;函数 y ? 1 e x 上的点 P ( x, 1 e x ) 到 2 2

1 x e ?x 2 y ? x 直线 的距离为 d ? 设函数 2

1 1 1 ? ln 2 g ( x) ? e x ? x ? g ?( x) ? e x ? 1 ? g ( x) min ? 1 ? ln 2 ? d min ? 2 2 2
由图象关于 y ? x 对称得: PQ 最小值为 2dmin ? 2(1 ? ln 2) 填空题 C 1. (2013 上海理)对区间 I 上有定义的函数 g ( x) ,记 g (I ) ?{ y | y ? g (x), x ?I } ,已知定 义 域 为

[0,3] 的 函 数

y ? f ( x)

有 反 函 数

y ? f ?1 ( x) , 且

f ?1 ([0,1)) ? [1, 2), f ?1 ((2, 4]) ? [0,1) ,若方程 f ( x) ? x ? 0 有解 x0 ,则 x0 ? _____
【解析】f-1(x)的定义域为[0,1)时,值域为[1,2),定义域为(2,4]时,值域为[0,1)。故 1≤x<2 时 0≤f(x)<1;0≤x<1 时,2<f(x)≤4。f(x0)=x0,x0=f-1(x0),于是 f-1(x0)=f(x0),填 2 解答题 B 1. (2012 上海)已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) . (1)若 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围;

( 2 )若 g ( x) 是 以 2 为周 期的偶 函数,且当 0 ? x ? 1 时 ,有 g ( x) ? f ( x) ,求 函数

y ? g ( x) ( x ? [1, 2]) 的反函数.
【简解】 ( 1 )由 ?

?2 ? 2 x ? 0 ?2 x ,得 ? 1 ? x ? 1 . 由 0 ? lg(2 ? 2x) ? lg( x ? 1) ? lg 2x ?1 得 ?1 x ? 1 ? 0 ?
因为 x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 10 x ? 10 , ?
2 3

1?

2?2 x x ?1

? 10 .

.由 ?x?1 3

? ?1 ? x ? 1 得? 2 . ?x? 1 ? 2 3 3 1 ? ? x ? 3 ? 3
(2) 当 x?[1,2]时, 2-x?[0,1], 因此 y ? g ( x) ? g ( x ? 2) ? g (2 ? x) ? f (2 ? x) ? lg(3 ? x) . 由单调性可得 y ? [0, lg 2] .因为 x ? 3 ? 10 ,所以所求反函数是 y ? 3 ? 10 , x ?[0, lg 2] .
y

x

2.(2014 上海)设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? (1)若 a =4,求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f

2x ? a 2x ? a
?1

( x) ;

(2)根据 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由.
x ? x ?1 ? ?1 【简解】 ( 1 ) f ( x) ? 2 x ? 4 ? 1 ? x 8 ? (??, ?1) (1, ??) ∴ f ( x) ? 2 ? log 2 ? ?, 2 ?4 2 ?4 ? x ?1 ?

x ? (??, ?1) (1, ??)

2x ? a (2)∵ f ( x) ? x 且a ? 0 2 ?a
∴ ① 当 a ? 0 时, f ( x) ? 1, x ? R ,∴ 对任意的 x ? R 都有 f ( x) ? f (? x) ,∴ y ? f ( x ) 为偶 函数 ② 当 a ? 1 时, f ( x) ?

2x ? 1 2? x ? 1 1 ? 2 x , x ? 0 f ( ? x ) ? ? , , 2x ? 1 2? x ? 1 1 ? 2 x

∴ 对任意的 x ? 0 且 x ? R 都有 f ( x) ? ? f (? x) ,∴ y ? f ( x ) 为奇函数 ③当 a ? 0 且 a ? 1 时 , 定 义 域 为 x x ? log 2 a, x ? R} , ∴定 义 域 不 关 于 原 定 对 称 , ∴ y ? f ( x ) 为非奇非偶函数 解答题 C

?

1.(2013 陕西理)已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (Ⅰ)若直线 y=kx+1 与 f (x)的反函数的图象相切, 求实数 k 的值; (Ⅱ) 设 x>0, 讨论曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数. (Ⅲ) 设 a<b, 比较
f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) 与 的大小, 并说明理由. 2 b?a

【解析】(Ⅰ) f (x)的反函数 g ( x) ? ln x . 设直线 y=kx+1 与 g ( x) ? ln x 相切与点

?kx0 ? 1 ? lnx0 ? ?2 2 ?2 P(x0, y 0 ), 则? 1 ? x 0 ? e , k ? e 。所以 k ? e k ? g' (x ) ? 0 ? x0 ?
(Ⅱ) 当 x > 0,m > 0 时, 曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx 2 (m ? 0) 的公共点个数即方程

f ( x) ? mx2 根 的个数。
由 f ( x) ? m x ? m ?
2

ex ex xe x ( x ? 2) , 令 h ( x ) ? ? h ' ( x ) ? ,则 h(x)在 x2 x2 x2
e2 . 4

(0,2)上单调递减,这时 h(x)? (h(2), ??);

h(x) 在(2,??)上单调递增 , 这时h(x)? (h(2), ??). h(2) ?

h(2) 是y ? h(x) 的极小值即最小值。
所以对曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数,讨论如下: 当 m ? (0, 共点; (Ⅲ) 设

e2 e2 e2 ) 时,有 0 个公共点;当 m= ( , ? ?) ,有 1 个公共点;当 m ? 有 2 个公 4 4 4

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) (b ? a ? 2) ? f (a) ? (b ? a ? 2) ? f (b) ? ? 2 b?a 2 ? (b ? a)

?

(b ? a ? 2) ? e a ? (b ? a ? 2) ? e b (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b?a a ? ?e 2 ? (b ? a) 2 ? (b ? a)
x x x

令 g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e , x ? 0, 则g ' ( x) ? 1 ? (1 ? x ? 2) ? e ? 1 ? ( x ? 1) ? e 。

g ' ( x)的导函数g ' ' ( x) ? (1 ? x ? 1) ? e x ? x ? e x ? 0, 所以g ' ( x)在( 0, ? ?)上单调递增,


g ' (0) ? 0.因此g ' ( x) ? 0,g ( x)在(0,??)上单调递增 , 而g (0) ? 0, 所以在(0,??)上g ( x) ? 0


?当x ? 0时,g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e x ? 0且a ? b, ?

(b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b? a a ?e ? 0 2 ? (b ? a)

所以 当a < b时, f (a) ? f (b) ? f (b) ? f (a)
2 b?a

2.(2013 陕西文)已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (Ⅰ) 求 f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; (Ⅱ) 证明: 曲线 y = f (x) 与曲线 y ?

1 2 x ? x ? 1 有唯一公共点. 2 f (b) ? f (a) ?a?b? (Ⅲ) 设 a<b, 比较 f ? 的大小, 并说明理由. ?与 b?a ? 2 ?

【解析】(Ⅰ) f (x)的反函数 g ( x) ? ln x ,则 y=g(x)过点(1,0)的切线斜率 k= g' (1) .

1 ? k ? g' (1) ? 1 .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 x 1 2 (Ⅱ) 证明曲线 y=f(x)与曲线 y ? x ? x ? 1 有唯一公共点,过程如下。 2 1 1 令h( x) ? f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? e x ? x 2 ? x ? 1, x ? R, 则 2 2 g' (x) ?
h' ( x) ? e x ? x ? 1, h' ( x)的导数h' ' ( x) ? e x ? 1, 且h(0) ? 0,h' (0) ? 0, , h' ' (0) ? 0 因此

当x ? 0时h' ' ( x) ? 0 ? y ? h' ( x)单调递减 ;当x ? 0时h' ' ( x) ? 0 ? y ? h' ( x)单调递增

? y ? h' ( x) ? h' (0) ? 0, 所以y ? h( x)在R上单调递增,最多有一 个零点x ? 0
所以,曲线 y=f(x)与曲线 y ?

1 2 x ? x ? 1 只有唯一公共点(0,1). 2

(Ⅲ) 设

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) (b ? a ? 2) ? f (a) ? (b ? a ? 2) ? f (b) ? ? 2 b?a 2 ? (b ? a)

?

(b ? a ? 2) ? e a ? (b ? a ? 2) ? e b (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b?a a ? ?e 2 ? (b ? a) 2 ? (b ? a)
x x x

令 g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e , x ? 0, 则g ' ( x) ? 1 ? (1 ? x ? 2) ? e ? 1 ? ( x ? 1) ? e 。

g ' ( x)的导函数g ' ' ( x) ? (1 ? x ? 1) ? e x ? x ? e x ? 0, 所以g ' ( x)在( 0, ? ?)上单调递增,
且 g ' (0) ? 0.因此g ' ( x) ? 0,g ( x)在(0,??)上单调递增 , 而g (0) ? 0,

所以在(0,??)上g ( x) ? 0 。

?当x ? 0时,g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e x ? 0且a ? b,

?

(b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b? a a ?e ? 0 2 ? (b ? a)

所以 当a < b时,

f (a ) ? f (b) f (b) ? f (a) ? 2 b?a

2.6 函数的值域与最值
填空题 A 1.(2013 北京文) 函数 f ( x ) ? ?

?log 1 x,???? x ? 1 ? 2
x ? ?2 ,??????????x ? 1

的值域为



【答案】 (??, ?2) 填空题 B 1. (2013 陕西文)在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴 影部分), 则其边长 x 为 (m).

x

40m

40m

【 简 解 】 根 据 相 似 意 义 , 上 部 小 三 角 形 的 高 为 x , 则 矩 形 宽 为 40-x , 面 积 S=x(40-x)=-x2+40x,x=20 时,面积最大,故填 20 填空题 C 1.(2013新标1理) 若函数 f ( x) = (1 ? x )( x ? ax ? b) 的图象关于直线 x =-2对称,则 f ( x)
2 2

的最大值是___. 【解析】-1,1 是函数两个零点,图象关于 x=-2 对称,故另外两零点为-3,-5;故 a=8,b=15;

f ?( x ) =-2(x+2)(x+2+ 5 )(x+2- 5 ),故最大值为-60+99 5 .
解答题 C 1. (2014 大纲文) 奇函数 ( f x) 的定义域为 R, 若 f(x+2)为偶函数, 则 f(1)=1,则 f(8)+f(9)= ( A. -2 B.-1 C. 0 D. 1 )

【解析】y=f(x)向左平移两个单位得到 y=f(x+2),f(x+2)关于 y 轴对称,故 f(x)图象关于直线 x=2 对称,f(2+x)=f(2-x);f(x+4)=f(-x)=-f(x)=f(x-4),T=8;f(8)= f(0)=0,f(9)=f(1)=1。故选 D

2.7 函数与方程
选择题 A

1

1. (2012 北京文)函数 f ( x) ? x 2 ? ( ) 的零点个数为
x

1 2

(A)0 (B)1(C)2 (D)3 【答案】B 2. (2014 北京文)已知函数 f ? x ? ? ( A. ? 0,1? 【答案】C 3.(2014 湖北文)已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) = x2 ? 3x . 则函数
g ( x) ? f ( x) ? x + 3

6 ? log 2 x ,在下列区间中,包含 f ? x ? 零点的区间是 x
C. ? 2, 4 ? D. ? 4, ???

) B. ?1, 2 ?

的零点的集合为 A. {1, 3} B. { ? 3, ?1,1, 3} C. {2 ? 7 ,1, 3} D.

{ ? 2 ? 7 , 1, 3}
【答案】D 4.(2012 天津理) 函数 f ( x) ? 2 x ? x 3 ? 2 在区间(0,1)内的零点个数是 (A)0 【答案】B (B)1 (C)2 选择题 B 1. (2014 福建文)函数 f ?x ? ? ? 【简解】作出函数图象,知填 2 2.(2014 新标 1)函数 f ( x ) = ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取
3 2

(D)3

? x 2 ? 2,

x?0 的零点个数是_________ 2 x ? 6 ? ln x , x ? 0 ?

值范围为

A .(2,+∞)

B .(-∞,-2)
3

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

3 ? 1 ? 1 ? ? ? ,设 =t,有 a=-t3+3t,做图象知,选 B 【简解】a= x0 ? x0 ? x0
选择题 C 1 . ( 2012 福 建 文 ) 已 知

f ( x) ? x 3 ? 6x 2 ? 9 x ? abc, a ? b ? c , 且

f (a ) ? f (b) ? f (c) ? 0 , 现 给 出 如 下 结 论 : ① f (0) f (1) ? 0 ; ② f (0) f (1) ? 0 ; ③ f (0) f (3) ? 0 ;④ f (0) f (3) ? 0 。

其中正确结论的序号是( ) A.①③ B.①④ C.②③

D.②④

【解析】 f ?( x) ? 3( x ? 1)( x ? 3) , f(x)在(1,3)上↓, 在(-∞, 1)、 (3,+∞)上↑; f(a)=f(b)=f(c)=0, y 极大值=f(1)=4-abc>0,y 极小值=f(3)=-abc<0,0<abc<4;a,b,c 均大于 0 或 a<0,b<0,c>0,f(1),f(3)是 极值,后一种不可能;f(0)<0,f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0。选 C 2. (2012 湖南文)设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数, f ?( x ) 是 f(x) 的导函数,当

x ??0, ? ? 时,0<f(x)<1;当 x∈(0,π ) 且 x≠
y=f(x)-sinx 在[-2π ,2π ] 上的零点个数为 A .2 B .4 C.5 D. 8

? ? 时 , ( x ? ) f ?( x) ? 0 ,则函数 2 2

【解析】由当 x∈(0,π ) 且 x≠

? ? 时 , ( x ? ) f ?( x) ? 0 ,知 2 2

?? ? ? ?? x ? ? ,? ? 时,f ?( x) ? 0, f ( x)为增函数 x ? ?0, ?时,f ?( x) ? 0, f ( x)为减函数; ?2 ? ? 2?
又 x ??0, ? ? 时,0<f(x)<1,在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,在同一坐 标系中作出 y ? sin x 和 y ? f ( x) 的图象,知选 B 3. (2012 辽宁理) 设函数 f(x) ( x ? R ) 满足 f( ?x )=f(x), f(x)=f(2 ? x), 且当 x ? [0,1] 时, f(x)=x3. 又函数 g(x)=|xcos (? x) |,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在 [? , ] 上的零点个数为 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

1 3 2 2

【解析】 因为当 x ? [0,1] 时, f(x)=x3. 所以当 x ?[1, 2]时,(2-x) ?[0,1] , f(x)=f(2 ? x)=(2 ? x)3, 当 x ? [0, ] 时, g(x)=xcos (? x) ; 当 x ? [ , ] 时, g(x)= ? xcos (? x) , 注意到函数 f(x)、 g(x) 都是偶函数,且 f(0)= g(0), f(1)= g(1), g ( ) ? g ( ) ? 0 ,作出函数 f(x)、 g(x)的大致图 象,函数 h(x)除了 0、1 这两个零点之外,分别在区间 [? 个零点,共有 6 个零点,故选 B

1 2

1 3 2 2

1 2

3 2

1 1 1 3 , 0]、 [0, ]、 [ ,1]、 [1, ] 上各有一 2 2 2 2

?x ? ) 4.(2014 四 川 理 ) 已 知 f ( x) ? l n (1
f (? x) ? ? f ( x) ;② f (
是( ) B、②③
2

x ? (?1,1) 。 现 有 下 列 命 题 : ① l n? (1 x, )

2x ) ? 2 f ( x ) ;③ | f ( x) |? 2 | x | 。其中的所有正确命题的序号 x ?1
C、①③ D、①②

A、①②③

【解析】函数 f(x)=ln 2|x|

1? x 是奇函数 , ①正确;代入验证知②正确; f(x)为奇函数, |f(x)|≥ 1? x
≤ x<1 时 , f(x)>2x, 此 时

?

0

f(x)-2x=ln(1+x)-ln(1-x)-2x=g(x), g ? (x)=

2 1 1 ? -2= -2>0 故③正确。选 A 1 ? x2 1? x 1? x
填空题 B

3) 时 , 1. ( 2014 江 苏 ) 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 3 的 函 数 , 当 x ? [0 ,
2 4] 上有 10 个零点(互不相同),则实数 a f ( x) ? x ? 2 x ?1 .若函数 y ? f ( x) ? a 在区间 [?3 , 2

的取值范围是



1 【简解】作出 y=f(x)及 y=a 在[-3,4]上的图象,两图象有 10 个交点,可得结果 0 , 2
2. (2014 山东理)已知函数 f ?x? ? x ? 2 ? 1 g ?x ? ? kx .若方程 f , 等的实根,则实数 k 的取值范围是

? ?

?x ? ? g ?x ? 有两个不相

(0, ) ( , 1) (1, 2) (2, ? ?) (A) (B) (C) (D)
【简解】在同一坐标系内作出两者图象,根据图象知选 B 填空题 C
2 1.(2014 天津理) 已知函数 f ( x ) = x + 3x , x ? R .若方程 f (x)- a x - 1 = 0 恰有 4 个

1 2

1 2

互异的实数根,则实数 a 的取值范围为__________.

4 x 2 + 3x 【解析】显然 a ? 1 ,所以 a = .令 t = x - 1 ,则 a = t + + 5 .因为 t x- 1
t+ 4 ? ( ? , 4] [4, + t

) ,所以 t +

4 + 5 ? ( ゥ,1] [9, + t

) .结合图象可得

0< a < 1或a > 9.
2 ì ? ? x + 5x + 4 , x ? 0, 2.(2014 天津文) 已知函数 f ( x) = í 若函数 y = f ( x)- a x 恰有 4 ? 2 x 2 , x > 0. ? ? ? 个零点,则实数 a 的取值范围为__________.
2 【解析】作出 f ( x) 的图象,如图当直线 y = - ax 与函数 y = - x - 5x - 4 相切时,由

D = 0 可得 a = 1 ,所以 a > 1 .

y

4

1 O 2

x
解答题 C

1. (2012 福建文)已知函数 f ( x) ? ax sin x ?

? ?3 3 ? (a ? R ), 且在 [0, ] 上的最大值为 。 2 2 2

(I)求函数 f ( x ) 的解析式; (II)判断函数 f ( x ) 在 ( 0, ? ) 内的零点个数,并加以证明。 【解析】 ⑴a=0 时, 不合题意, 舍去; a≠0 时, f ?( x ) =a(sinx+xcosx),0<x<

? 时, sinx+xcosx>0. 2

a<0 时, f ?( x ) <0,f(x)↓,fmax(x)=f(0)=-3/2 不合题意;同理,a>0 时,

? ? 3 ? ?3 3 )= a- = ,a=1。故 f(x)=xsinx2 2 2 2 2 3 ? ? 3 ? ? ⑵f(0)=- <0,f( )= - >0,f(x)图象在 [0, ] 上不间断且单调增,故 f(x)在 [0, ] 上有且 2 2 2 2 2 2
fmax(x)=f( 只有一个零点。

? <x<π 时, g ?( x ) <0,g(x)↓, 2 ? ? ? ? g( )=- <0,g(π )>0,存在唯一 m∈( ,π ),g(m)=0.当 <x<m 时, f ?( x ) >0,f(x)↑, 2 2 2 2 ? ? f(x)>f( )>0,故 f(x)在( ,π )上无零点;同理 m<x<π 时,f(x)↓,f(π )<0,故 f(x)在(m, 2 2
f ?( x ) = sinx+xcosx=g(x), g ?( x) =2cosx-xsinx,当
π )有且仅有一个零点。 总之,函数 f ( x ) 在 ( 0, ? ) 内的零点个数为 2

3.1 一次函数与二次函数
选择题 B 1.(2013 浙江文) 已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则( A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0 【简解】由 f(0)=f(4)知,f(x)=ax +bx+c 的对称轴为- =2.∴2a+b=0.又 0 和 1 在 同一个单调区间内,且 f(0)>f(1),∴y=f(x)在(-∞,2)内为减函数.∴a>0.故选 C. 选择题 C 1. (2013 辽宁)已知函数 f(x)=x -2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设 H1(x)=
2
2

)

b a

max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示 p,q 中的较大值,min{p,q} 表示 p,q 中的较小值).记 H1(x)的最小值为 A,H2(x)的最大值为 B,则 A-B 等于( A.a2-2a-16 B.a2+2a-16 C.-16 D.16 )

【解析】f(x)=[x-(a+2)]2-4-4a,g(x)=-[x-(a-2)]2+12-4a,在同一坐标系内作 f(x)与 g(x)的图象,根据图象 H1(x)的最小值 A=f(a+2)=-4-4a,H2(x)的最大值 B=g(a -2)=12-4a,因此 A-B=(-4-4a)-(12-4a)=-16. 填空题 B
m ? 1] ,都有 f ( x) ? 0 成立,则 1.(2014 江苏)已知函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1 ,若对任意 x ? [m ,

选C

实数 m 的取值范围是



? ? 2, 0? 【简解】根据二次函数的图象,有 f(m)<0,f(m+1)<0,得到结果 ? ? ? 2 ? 填空题 C
x 1.(2012 北京) 已知 f ( x) ? m( x ? 2m)(x ? m ? 3) , g ( x) ? 2 ? 2 ,若同时满足条件:

① ?x ? R , f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ;② ?x ? (??,?4) , f ( x) g ( x) ? 0 。则 m 的取值范围是 _______。 【解析】根据 g ( x) ? 2 ? 2 ? 0 ,可解得 x ? 1 。由于题目中第一个条件的限制 ?x ? R ,
x

f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成立的限制,导致 f ( x ) 在 x ? 1 时必须是 f ( x) ? 0 的。当 m ? 0 时, f ( x) ? 0 不能做到 f ( x) 在 x ? 1 时 f ( x) ? 0 ,所以舍掉。因此, f ( x) 作为二次函数开口只
能向下,故 m ? 0 ,且此时两个根为 x1 ? 2m , x2 ? ?m ? 3 。为保证此条件成立,需要

1 ? ? x1 ? 2m ? 1 ?m ? ?? 2 ,和大前提 m ? 0 取交集结果为 ? 4 ? m ? 0 ;又由于条件 2: ? ? x 2 ? ?m ? 3 ? 1 ?m ? ?4 ?
要求 x ? (??,?4) , f ( x) g ( x) ? 0 的限制,可分析得出在 x ? (??,?4) 时, f ( x) 恒负,因 此就需要在这个范围内 g ( x) 有得正数的可能,即 ? 4 应该比 x1 , x2 两根中小的那个大,当

m ? (?1,0) 时, ? m ? 3 ? ?4 ,解得,交集为空,舍。当 m ? ?1 时,两个根同为 ? 2 ? ?4 ,
舍。当 m ? (?4,?1) 时, 2m ? ?4 ,解得 m ? ?2 ,综上所述 m ? (?4,?2) . 2. (2012 江苏)已知函数 f(x)=x +ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞) ,若关于 x 的不等 式 f(x)<c 的解集为(m,m+6) ,则实数 c 的值为 _________ .
2

【解析】f(x)=x +ax+b=0 只有一个根,即△ =a ﹣4b=0 则 b= 为(m,m+6) ,即为 x +ax+ m+6 ∴ |m+6﹣m|= =6。填 9
2 2

2

2

;不等式 f(x)<c 的解集 ﹣c=0 的两个根为 m,

<c 解集为(m,m+6) ,则 x +ax+

3.(2013 浙江文) 设 a, b∈R, 若 x≥0 时恒有 0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2, 则 ab=________. 【解析】当 x=0 时,得 0≤b≤1;当 x=1 时,得 a+b=0,∴a=-b∈[-1,0]. 当 x≥0 时,x4-x3+ax+b=x4-x3+ax-a=x3(x-1)+a(x-1)=(x-1)(x3+a)≤(x2-1)2

? 1? 5 ①当 x=1 时, a∈R; ②当 x>1 时, a≤x2-x-1=?x- ?2- 恒成立. 则 a≤-1; ③当 0≤x<1 ? 2? 4 ? 1?2 5 2 时,a≥x -x-1=?x- ? - 恒成立.则 a≥-1.综上知:a=-1.∴b=1.可以验证当 x≥0 ? 2? 4
时,0≤x -x -x+1 恒成立.∴ab=-1. 解答题 A
2 2 1. (2013 安徽)设函 数 f ( x) ? ax ? (1 ? a ) x ,其中 a ? 0 ,区间 I={x|f(x)>0}
4 3

(Ⅰ)求的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ) ; (Ⅱ)给定常数 k ? (0,1) ,当时,求 l 长度的最小值。

【答案】 (Ⅰ)

a 1? k ; (Ⅱ) . 2 1? a 1 ? (1 ? k ) 2

解答题 B 1. (2013 沪春招) 某校有一块形如直角三角形 ABC 的空地, 其中 ?B 为直角,AB 长 40 米, BC 长 50 米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且 B 为矩形的一个顶 点,求该健身房的最大占地面积。 【简解】设矩形为 EBFP , FP 长为 x 米,其中 0 ? x ? 40 ,健身房占地面积为 y 平方米。 因 为 ?C F P∽ ?CBA , 以

FP CF x 50 ? BF 5 ? ? , , 求 得 BF ? 50 ? x , 从 而 B A C B 40 50 4 5 5 5 y ? BF ? FP ? (50 ? x) x ? ? x 2 ? 50 x ? ? ( x ? 20) 2 ? 500 ? 500 ,当且仅当 x ? 20 4 4 4

时,等号成立。 答:该健身房的最大占地面积为 500 平方米。 解答题 C 1.(2012 浙 江 理 ) 设 a ? R , 若 x > 0 时 均 有 [(a - 1)x - 1]( x 2 - ax - 1) ≥ 0 , 则 a = ______________.

【简解】函数 y1=(a-1)x-1,y2=x 2-ax-1 都过定点 P(0,1). y1=(a-1)x-1:令 y=0, 得 M(
1 1 ,0),还可分析得:a>1;函数 y2=x 2-ax-1:显然过点 M( ,0),代入得: a ?1 a ?1
2

a ? 1 ? ? 1 ? 0 ,解之得: a ? ? 2 ,舍去 a ? ? 2 ,得答案: a ? 2 . ? ? ? ? a ?1? a ?1

3.2 幂函数
选择题 A 1.(2013 沪春招) 函数 f ( x) ? x
1 ? 2

的大致图象是( )

【答案】A 2. (2012 山东)设函数 f (x)= ,g(x)=ax2+bx 若 y=f(x)的图象与

y=g(x)图象有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是 A.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 C.当 a>0 时,x1+x2<0, y1+y2<0 【 解 析 】 B. 当 a<0 时, x1+x2>0, y1+y2<0 D. 当 a>0 时,x1+x2>0, y1+y2>0

1 ? ax 2 ? bx , 则 1 ? ax3 ? bx2 ( x ? 0) , 设 F ( x) ? ax3 ? bx2 , x

F ?( x) ? 3ax2 ? 2bx
2b ,要使 y=f(x)的图象与 y=g(x)图象有且仅有两个不 3a ? 2b 2b 2b ) ? a(? ) 3 ? b(? ) 2 ? 1 ,整理得 4b 3 ? 27a 2 ,于是可取 同的公共点只需 F ( 3a 3a 3a 1 a ? ?2, b ? 3 来研究,当 a ? 2, b ? 3 时, 2 x 3 ? 3x 2 ? 1 ,解得 x1 ? ?1, x 2 ? ,此时 2
2 令 F ?( x) ? 3ax ? 2bx ? 0 ,则 x ? ?

y1 ? ?1, y2 ? 2 ,此时 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 ;当 a ? ?2, b ? 3 时, ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 1 ,
解得 x1 ? 1, x 2 ? ?

1 ,此时 y1 ? 1, y2 ? ?2 ,此时 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 .答案应选 B 2

3.3 分段函数
选择题 A 1. (2014 福建理)已知函数 f ?x ? ? ?

? x 2 ? 1, x ? 0 ?cos x, x?0

则下列结论正确的是(



A. f ?x ? 是偶函数 【答案】D

B. f ?x ? 是增函数

C. f ?x ? 是周期函数 D. f ?x ? 的值域为 ?? 1,???

? x 2 ? 1, x ? 1 2. (2012 江西理)若函数 f(x)= ? ,则 f(f(10))= ?lg x, x ? 1
A.lg101 【答案】B B.2 C.1 D.0

? x2 ? 1 x ? 1 ? 3. (2012 江西文)设函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f(f(3) )= x ? 1 ? ?x
A.

1 5

B.3

C.

2 3

D.

13 9

【答案】D

?a ? 2 x , x ? 0 4. (2014 江西文)已知函数 f ( x) ? ? ? x (a ? R) ,若 f [ f ( ?1)] ?1 ,则 a ? ( ? 2 ,x ?0
A. 1 4 B. 1 2
C .1 D.2
选择题 B 1.(2014 安徽) 若函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? a 的最小值为 3,则实数 a 的值为( A.5 或 8 B. ?1 或 5 C. ?1 或 ?4 D. ?4 或 8 )



【答案】A

【简解】 (1)当 a ? 2 时,

x ? ?1 ??3 x ? a ? 1, ? ?? x ? a ? 1, ?1 ? x ? ? a ; ( 2 ) 当 a ? 2 时 , f ( x) ? ? 2 ? a ? 3x ? a ? 1 x?? ? 2

a ? ??3x ? a ? 1, x ? ? 2 ? f ( x) ? ? a ? x ? a ? 1, ? 2 ? x ? ?1 ? ? 3x ? a ? 1 x ? ?1

f ( x )m i n? f ? (

a a ? ) ?| ? ? 1 |,解得 3 a ? ?4 或 a ? 8 。选 D 2 2

?( x ? a) 2 , x ? 0, ? 2. (2014 上海理) f ( x) ? ? 若 f (0) 是 f ( x) 的最小值,则 a 的取值范围为 1 x ? ? a , x ? 0 , ? x ?
( ).

(A)[-1,2]
2

(B)[-1,0]

(C)[1,2]
2

(D) [0, 2]

【简解】f(0)= a ,x>0 时 f(x)≥2+a, a ≤2+a,解得知选 A
2 ? ? x ? x, x ? 0 3.(2014 浙江理) 设函数 f ? x ? ? ? 2 若 f ? f ?a ?? ? 2 , 则实数 a 的取值范围是______ ? ?? x , x ? 0

【简解】设 f(a)=t,f(t)≤2,根据图象解得 t≥-2;f(a)≥-2,再根据图象,a≤ 2 4.(2014 浙江文) 设函数 f ( x) ? ?
2 ? ? x ? 2 x ? 2, x ? 0 ,若 f ( f (a)) ? 2 ,则 a ? 2 ? ? x , x ? 0 ?

.

【简解】设 f(a)=t,f(t)=2, 根据图象解得 t=0 或 t=-2;f(a)=0 或-2,再根据图象,a= 2 填空题 A 1. (2012 安徽文)若函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的单调递增区间是 [3, ??) ,则 a ? _____ 【答案】-6 2. (2014 上海理)设 f(x)= ? 【答案】a≤2 填空题 B

? x, x ? (??, a)
2 ? x , x ?[a, ??)

若 f (2) ? 4 ,则 a 的取值范围为_____________.

?? x ? a, x ? 0, ? 1. ( 2014 上海文 )设 f ( x) ? ? 若 f (0) 是 f ( x ) 的最小值,则 a 的取值范围 1 x ? , x ? 0, ? x ?
是 . 解答题 A

【简解】f(0)=a,x>0 时 f(x)≥2,故 a≤2

? x, x ? 0 ? 1. (2012 陕西文)设函数发 f(x)= ?? 1 ? x ,则 f(f(-4) )= ?? ? , x ? 0 ?? 2 ?
【答案】4

3.4 指数与指数函数
选择题 A 1. (2014 山东)已知实数 x, y 满足 a ? a (0 ? a ? 1) ,则下列关系式恒成立的是
x y

(A)

1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

(B) ln(x ? 1) ? ln(y ? 1)
2 2

(C) sin x ? sin y

(D) x ? y
3

3

【答案】D 2.(2012 四川)函数 y ? a ?
x

1 (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是( a



【答案】C 选择题 B 3.(2012 山东)函数 y ?

cos6x 的图象大致为 2x ? 2? x

【简解】函数为奇函数,否定选项 A;又函数有无数个零点,否定 C;当 x 取一个较小的正 数时, y ? 0, 由此可以否定选项 B.故选 D. 填空题 A 1. (2012 上海理)已知函数 f ( x) ? e 则 a 的取值范围是 【答案】 ?? ?,1? 2. (2012 沪春招)方程 4 ? 2
x x ?1

| x ?a|

( a 为常数).若 f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数,

.

? 0 的解为_______.

【答案】x=1 3. (2013 沪春招)方程 2 ? 8 的解是
x

【答案】x=3 填空题 B 1. (2012 山东文)若函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 在[-1,2]上的最大值为 4,最小值为 m,
x

且函数 g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数,则 a=____. 【简解】 当 a ? 1 时,有 a2 ? 4, a?1 ? m ,此时 a ? 2, m ?

1 ,此时 g ( x) ? ? x 为减函数,不 2

1 1 合题意.若 0 ? a ? 1 ,则 a?1 ? 4, a2 ? m ,故 a ? , m ? ,检验知符合题意. 4 16

2. (2012 上海文)方程 4 ? 2
x

x ?1

? 3 ? 0 的解是

.

2 【 解 析 】 (2 x ) 2 ? 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , 令 2x ? t ? t ? 0? , t ? 2t ? 3 ? 0 , 解 得 t ? 3 或

t ? ?1?舍?,即 2 x ? 3, x ? log2 3 .所以原方程的解为 log2 3
3.(2013 上海文)方程

.

9 ? 1 ? 3x 的实数解为 3 ?1
x



【简解】 (3x ? 1)2 =9, 3 -1=3 或-3, 3 =4 或-2(舍) ,填 log3 4
x x

4.(2013 新标 2 文) 若存在正数 x 使 2x(x-a)<1 成立,则 a 的取值范围是( A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞)

)

D.(-1,+∞)

1 - - 【简解】x-a< x=2 x,在坐标系中,作出函数 f(x)=x-a,g(x)=2 x 的图象,当 x>0 时, 2 g(x)=2 x<1,所以如果存在 x>0,使 2x(x-a)<1,则有-a<1,即 a>-1,所以选 D.


填空题 C

3 1 ? ? 3x ?1 的实数解为________ 1. (2013 上海理)方程 x 3 ?1 3
【解析】

3 1 3x ? 1 x x x ?1 x 2 ? 3 ? ? , (3 ? 1) =9, 3 -1=3 或-3, 3 =4 或-2(舍) ,填 log3 4 x 3 ?1 3 3

3.5 对数与对数函数
选择题 A 1. (2014 安徽文)设 a ? log3 7, b ? 23.3 , c ? 0.8, 则( A. b ? a ? c 【答案】B 2. (2012 安徽文) log 2 9 ? log3 4 ? ( ) B. c ? a ? b C. c ? b ? a )

D. a ? c ? b

( A)

1 4

( B)

1 2

(C ) ?

(D) ?

【答案】D 3. (2014 福建)若函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 的图象如右图所示,则下列函数图象正确 的是( )

【答案】B 4. (2013 湖南)函数 f ? x ? ? 2ln x 的图象与函数 g ? x ? ? x ? 4x ? 5 的图象的交点个数为
2

A.3 【答案】B

B .2
1 3

C.1

D.0

5. (2014 辽宁)已知 a ? 2 A. a ? b ? c 【答案】C

?

, b ? log 2

1 1 , c ? log 1 ,则( 3 2 3
D. c ? b ? a



B. a ? c ? b

C. c ? a ? b

6. (2014 山东文)已知函数 y ? loga ( x ? c)(a, c为常数,其中a ? 0, a ? 1) 的图象如右图, 则下列结论成立的是

E

O
(A) a ? 0, c ? 1

x
(B) a ? 1, 0 ? c ? 1 (C) 0 ? a ? 1, c ? 1 (D) 0 ? a ? 1,0 ? c ? 1

【答案】D 7. (2013 陕西文)设 a, b, c 均为不等于 1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是
logc b ? logc a (A) loga b· loga a ? loga b (B) loga b·

(C) loga (bc) ? log a b oga c (D) loga (b ? c) ? loga b ? loga c 【答案】B

8.(2012 天津文) 已知 a=21.2,b= (A)c<b<a
【答案】A

??
1 2

-0.2

,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为 C)b<a<c (D)b<c<a

(B)c<a<b

9.(2014 天津理) 函数 f (x) = log 1 x 2 - 4 的单调递增区间是(
2

(

)



(A) (0, + ? 【答案】D

)

(B) (- ? ,0) (C) (2, + ?

)
- 2

(D) (- ? , 2)

10.(2014 天津文) 设 a = log 2 p , b = log 1 p , c = p
2

,则(

) (D) c > b > a

(A) a > b > c 【答案】C.

(B) b > a > c

(C) a > c > b

1 11.(2012 新标文)当 0< x ≤ 时, 4x ? log a x ,则 a 的取值范围是 2 (A)(0, 2 ) 2 (B)( 2 ,1) 2 (C)(1, 2) (D)( 2,2) ) D.c>a>b

【答案】A 12.(2013 新标 2 文) 设 a=log32,b=log52,c=log23,则( A.a>c>b 【答案】D 13.(2013 浙江理) 已知 x,y 为正实数,则 A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy B.2lg(x+y)=2lgx ? 2lgy 【答案】D B.b>c>a C.c>b>a

C.2lgx ? lgy=2lgx+2lgy

D.2lg(xy)=2lgx ? 2lgy

14.(2014 浙江) 在同一直角坐标系中,函数 f ( x) ? xa ( x ? 0), g ( x) ? loga x 的图象可能是 ( )

【答案】D 选择题 B 1. (2013 安徽理) 已知一元二次不等式 f (x )<0 的解集为 ? x |x <-1或x > 解集为

1 2

x 1 0) > 0 ? ,则 f (



(A) ?x |x<-1或x>lg2

?

(B) ?x |-1<x<lg2

?

(C)

?x |x>-lg2 ?

(D)

?x |x<-lg2 ?
【简解】f(x)>0 的解为-1<x<1/2;-1< 10
x

<1/2,x<lg
? 1 2

1 ,选 D 2

2.(2012 大纲)已知 x ? ln ? , y ? log5 2, z ? e A. x ? y ? z B. z ? x ? y

,则 C. z ? y ? x D. y ? z ? x

【简解】 ln ? ? ln e ? 1 , log 5 2 ? log 5 5 ?

1 ? 1 1 1 1 ,z ?e 2 ? ? ? ,故选答案 D。 2 e 4 2

3.(2012 湖南文)设 a>b>1,c ? 0 ,给出下列三个结论:

c c > a b

;② a < b

c

c

;③

logb (a ? c) ? loga (b ? c) ,其中所有的正确结论的序号是 __ .
A.① B.① ② C.② ③ D.① ②③

【简解】由不等式及 a>b>1 知

1 1 c c ? ,又 c ? 0 ,所以 > ,①正确;由指数函数的图 a b a b

象与性质知②正确;由 a>b>1, c ? 0 知 a ? c ? b ? c ? 1 ? c ? 1 ,由对数函数的图象与性 质知③正确. 1 lg ?等于( 4.(2013 辽宁文)已知函数 f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1,则 f(lg 2)+f? ? 2? A.-1 B.0 C .1 D.2 1 = 1+9x2-3x )

【简解】设 g(x)=lg( 1+9x2-3x)=f(x)-1, g(-x)=lg( 1+9x2+3x)=lg -g(x).

1? ? 1? ? 1? ∴g(x)是奇函数,∴f(lg 2)-1+f? ?lg2?-1=g(lg 2)+g?lg2?=0,因此 f(lg 2)+f?lg2?=2. 选D 5.(2014 四川文) 已知 b ? 0 , log5 b ? a , lg b ? c , 5 ? 10 ,则下列等式一定成立的是
d



) B、 a ? cd
c

A、 d ? ac

C、 c ? ad

D、 d ? a ? c

【简解】a= log5 b= log5 10 =c log5 10 =cd,选 B 6.(2013 天津理) 函数 f(x)=2x|log0.5 x|-1 的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.4
x 【简解】 2 log 0.5 x ? 1 ? 0 ? log 0.5 x ?

)

1 1 log 0.5 x ? ( ) x ,画这两个函数的图象, x ? 2 2

看图可知选 B 7.(2013 天津文)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若 1 实数 a 满足 f(log2 α)+f(log a)≤2f(1),则 a 的取值范围是( 2 1? ?1 ? A.[1,2] B.? ?0,2? C.?2,2? D.(0,2] )

1 - 【简解】a>0,又 log a=log2 a 1=-log2 a.∵f(x)是 R 上的偶函数,∴f(log2 a)=f(-log2 a) 2 1 =f(log a). 2 1 ∵f(log2 a)+f(log a)≤2f(1),∴2f(log2 a)≤2f(1),即 f(log2 a)≤f(1).又因 f(x)在[0,+∞)上 2 递增. 1 ? ∴|log2 a|≤1,-1≤log2 a≤1,∴a∈? ?2,2?,选 C. 8.(2013 新标 2 理) 设 a=log36,b=log510,c=log714,则( A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b ) D.a>b>c

1 1 【简解】 a=log36=1+log32=1+ , b=log510=1+log52=1+ , c=log714=1+log72 log23 log25 1 =1+ ,选 D log27 填空题 A

5 4 ? 16 ? 4 1.(2014 安徽文) ? ? +log 3 ? log 3 ? ________. 4 5 ? 81 ?
【答案】27/8
2 2 2. (2012 北京文)已知函数 f ( x) ? lg x ,若 f (ab) ? 1 ,则 f (a ) ? f (b ) ? _____________

?

3

【答案】2 3. (2014 陕西)已知 4 ? 2, lg x ? a, 则 x =________.
a

【答案】 10 4.(2013 四川文)lg 【答案】1 5+lg 20的值是________.

5.(2014 天津文)函数 f ( x) = lg x2 的单调递减区间值是________. 【答案】 (- ? ,0) . 填空题 B 1. (2014 湖南文)若 f ?x ? ? ln e3 x ? 1 ? ax 是偶函数,则 a ? ____________. 【简解】f(-1)=f(1),ln(e-3+1)-a=ln(e3+1)+a,ln(1+e3)-3-ln(e3+3)=2a,a=-3/2

?

?

3.6 具体函数模型与应用
选择题 A 1.(2014 湖南理) 某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p ,第二年的增长率 为 q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A.

p?q 2

B.

( p ? 1)( q ? 1) ? 1 2

C.

pq

D. ( p ? 1)(q ? 1) ?1

【答案】D 选择题 B 1. (2014 北京文)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条 件下,可食用率 p 与加工时间 t (单位:分钟)满足的函数关系 p ? at ? bt ? c ( a 、
2

b 、 c 是常数) ,下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到
最佳加工时间为( A. 3.50 分钟 ) B. 3.75 分钟 C. 4.00 分钟 D. 4.25 分钟

p 0.8 0.7 0.5

O

3

4

5

t

【解析】由已知列方程组,解得 a=-0.2,b=1.5,c=-2;p=-0.2t2+1.5t-2;当 t=3.75 时,p 最大。 选B 解答题 A 1. (2013 上海文) 甲厂以 x 千米/小时的速度匀速生产某种产品 (生产条件要求 1 ? x ? 10 ) , 每小时可获得的利润是 100(5 x ? 1 ? ) 元. (1)求证:生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a(5 ?

3 x

1 3 ? ); x x2

(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该如何选取何种生产速度?并 求此最大利润.

【答案】 (1)所获利润为 100 ? 5 x ? 1 ?

? ?

3? a 1 3? ? ? ? ? 100a ? 5 ? ? 2 ? . x? x x x ? ?

(2)以 6 千米/小时速度生产,利润最大,最大利润为 457500 元。 解答题 B 1.(2012 沪春招) 某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为 30 千米(忽略 内、外环线长度差异). (1)当 9 列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟,求内环 线列车的最小平均速度; (2) 新调整的方案要求内环线列车平均速度为 25 千米/小时, 外环线列车平均速度为 30 千 米/小时.现内、外环线共有 18 列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间 之差不超过 1 分钟,问:内、外环线应名投入几列列车运行? 【简解】⑴设内环线列车运行的平均速度为 v 千米/小时,则
30 ×60≤10,v≥20;故要使 9v

内环线乘客最长候车时间为 10 分钟,内环线列车的最小平均速度 20 千米/小时 ⑵设内环线投入 x 列列车运行, 则外环线投入(18-x)列列出运行, 内外环线乘客最长候车时 间 分 别 为 t1 分 钟 、 t2 分 钟 , 则 t1= 60=
60 72 60 ,|t1-t2|=| |≤1 x 18 ? x 18 ? x

30 30 72 × 60= , t2= × 25x x 30( 18 ? x )

解得

150? 17316 ? 114? 18180 * ≤x≤ ,x∈N ,于是 x=10。故:要使内、外环线乘客的最长候车 2 2

时间之差不超过 1 分钟,内、外环线应名分别投入 10 列、8 列列车运行 解答题 C 1. (2012 湖南理)某企业接到生产 3000 台某产品的 A,B,C三种部件的订单,每台产品需 要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件, 或B部件3件, 或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件, 生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为 k(k 为正整数). (1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间; (2) 假设这三种部件的生产同时开工, 试确定正整数 k 的值, 使完成订单任务的时间最短, 并给出时间最短时具体的人数分组方案. 【解析】 ( Ⅰ ) 设 完成 A,B,C 三 种 部 件 的 生 产 任务 需 要 的 时 间 ( 单 位 :天 ) 分 别 为

T1 ( x), T2 ( x ),T 3 (x ),

T1 ( x) ?

2 ? 3000 1000 2000 1500 ? , T2 ( x) ? , T3 ( x) ? , 6x x kx 200 ? (1 ? k ) x

x, kx, 200 ? (1 ? k ) x 均为 1 到 200 之间的正整数.
( Ⅱ ) 完 成 订 单 任 务 的 时 间 为 f ( x)? m a T ?x 1 定) 义 ,域 为 x ( 2) T, x ( ) ,其 x( ? 3 T

? 200 ? , x ? N ? ?. 易 知 , T1 ( x), T2 ( x) 为 减 函 数 , T3 ( x) 为 增 函 数 . 注 意 到 ?x 0 ? x ? 1? k ? ?
2 T2 ( x) ? T1 ( x), 于是 k
( 1 ) 当

k?2





T1 ( x) ? T2 ( x),





?1000 1500 ? f ( x) ? max ?T1 ( x), T3 ( x)? ? max ? , ?, ? x 200 ? 3x ?
由函数 T1 ( x), T3 ( x) 的单调性知,当 由于

1000 1500 400 ? 时 f ( x) 取得最小值,解得 x ? . 9 x 200 ? 3x

400 250 300 ? 45, 而f (44) ? T1 (44) ? , f (45) ? T3 (45) ? , f (44) ? f (45) . 9 11 13 250 故当 x ? 44 时完成订单任务的时间最短,且最短时间为 f (44) ? . 11 44 ?
( 2 ) 当 k ? 2 时 , T1 ( x) ? T2 ( x), 由 于 k 为 正 整 数 , 故 k ?3 , 此 时 易 知

T ( x) ?

375 , ? ( x) ? max ?T1 ( x), T ( x)? 50 ? x

T ( x)













?1000 375 ? , f ( x) ? max ?T1 ( x), T3 ( x)? ? max ?T1 ( x), T ( x)? ? ? ( x) ? max ? ?. ? x 50 ? x ?
1000 375 400 ? 时 ? ( x) 取得最小值,解得 x ? .由于 11 x 50 ? x 400 250 250 375 250 36 ? ? 37, 而? (36) ? T1 (36) ? ? , ? (37) ? T (37) ? ? , 11 9 11 13 11 250 此时完成订单任务的最短时间大于 . 11
由函数 T1 ( x), T ( x) 的单调性知,当 ( 3 ) 当 k ? 2 时 , T1 ( x) ? T2 ( x), 由 于 k 为 正 整 数 , 故 k ?1 , 此 时

? 2000 750 ? f ( x) ? max ?T2 ( x), T3 ( x)? ? max ? , ?. 由 函 数 T2 ( x), T3 ( x) 的 单 调 性 知 ,当 ? x 100 ? x ?
2000 750 800 ? 时 f ( x) 取得最小值,解得 x ? .类似(1)的讨论.此时完成订单任务 11 x 100 ? x 250 250 的最短时间为 ,大于 . 9 11
综上所述,当 k ? 2 时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数分别

为 44,88,68. 2. (2012 江苏)如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单 位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx﹣ (1+k )x
2 2

(k>0)表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

【解析】 (1)在 y=kx﹣

(1+k )x (k>0)中,令 y=0,得 kx﹣

2

2

(1+k )x =0.由

2

2

实际意义和题设条件知 x>0, k>0. ∴

, 当且仅当 k=1 时取等号. ∴

炮的最大射程是 10 千米. (2)∵ a>0,∴ 炮弹可以击中目标等价于存在 k>0,使 ka﹣
2 2 2 2 2 2

(1+k )a =3.2 成立,即关

2

2

于 的方程 a k ﹣20ak+a +64=0 有正根.由△ =400a ﹣4a (a +64)≥0 得 a≤6.此时, k= >0.∴ 当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标.


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