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(手打)平面解析几何所有公式


(适合高一)平面解析几何(直线与圆)所有公式 1.两点间距离公式:两点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? .

AB ?

?x

? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? 2
2

2

2.点到直线距离公式: P ? x0 , y0 ? ,直

线 Ax ? By ? C ? 0 .

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

3.中点坐标: A( x1 , y1 ) 和 B ? x2 , y2 ? 的中点坐标为 ? 4.斜率公式: ① 已知两点 A 则k

? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ?(x
? tan ?

? x1 ? y1 x2 ? y2 ? , ? 2 ? ? 2
1

? x2) ,

?

y2 ? y1 x2 ? x1

② 已知倾斜角? ,则 k 5.斜率的取值范围: k ? ?? ?,?? ? 6.倾斜角范围:? ?

?0 , 180 ?
? ?

7.直线方程的五种形式: (1)点斜式方程:点 A? x0 , y0 ? , 斜率 k . y ? y0 ? k ? x ? x0 ? (2)斜截式方程:斜率 k ,截距 b .[或给点 ?0, b?].※ 截距 b 是坐标, 有+,有-,有 0。 y ? kx ? b (3)两点式方程: A( x1 , y1 ) , B ? x2 , y2 ? 则
1 2 1

( x1 ? x2 且 y1 ? y2 )
2

(4)截距式方程.横截距 a ,纵截距 b [或给点 ?a,0?, ?0, b?] 则

y ? y1 x ? x1 ( x ? x ,且 y ? y ) ? y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ? 1( a ? 0 且 b ? 0) a b

(5)一 般 式 方 程 : 适 合 与 所 有 条 件 , 最 后 统 一 写 成 方 程 形 式

Ax ? By ? C ? 0( A2 ? B 2 ? 0)
8.两条直线的位置关系 (1)相交 ? (一般式) A1 B2 ? A2 B1 ? 0

? (一般式)

A1 B1 ? ( A2 B2 ? 0) A2 B2

? (斜截式) k1 ? k 2
(2)平行 ? (一般式) A1 B2 ? A2 B1 ? 0 且 B1C2 ? C1 B2 ? 0 或

A2C1 ? A1C2 ? 0
? (一般式)

A1 B1 C1 ? ? ( A2 B2C2 ? 0) A2 B2 C2

? (斜截式) k1 ? k 2 且 b1 ? b2
(3)重合 ? (一般式) A1 ? ?A2 , B1 ? ?B2 , C1 ? ?C2 (? ? 0)

? (一般式)

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2

? (一般式) A1 B2 ? A2 B1 ? 0 且 B1C2 ? C1 B2 ? 0 或

A2C1 ? A1C2 ? 0
? (斜截式) k1 ? k 2 且 b1 ? b2
(4)垂直 ? (一般式) A1 A2 ? B1 B2 ? 0

? (斜截式) k1k 2 ? ?1
9.一般式方程 Ax ? By ? C ? 0 ( B ? 0 ,保证斜率 k 存在)与斜截 式方程 y ? kx ? b 关系: k

A C ? ? ,b ? ? B B

10.常用结论 (1)与 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线方程为

Ax ? By ? D ? 0(D ? C) ※必须写
(2)与 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线方程为

Bx ? Ay ? D ? 0
(3)两条平行直线 Ax ? By ? C1 ? 0 与 Ax ? By ? C2 ? 0 之间的 距离 d

?

C1 ? C2 A2 ? B 2
2 2 2

11.圆的方程 (1)标准方程: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 。适用于给圆心 ?a, b?, 半径 r 的情况 (2)一般方程: x 况。是圆前提: D
2

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 。适用于过三点的情
? D E? ? E 2 ? 4F ? 0 . 圆 心 坐 标 ? ? ,? ? . 半 径 ? 2 2?

2

12.点与圆的位置关系:点 ? x0 , y0 ? .圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r
2 2

D2 ? E 2 ? 4F r? 2

2

(1)点在圆上 ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r
2 2

2

(2)点在圆内 ? ? x0 (3)点在圆外 ? ? x0 13.直线与圆的位置关系

? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 2
2 2

? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 2
2 2

由直线 l 与圆 C 的方程联立方程组 我们有如下结论:

相离 方程组无解

相切 方程组仅有一组解

相交 方程组有两组不同的 解

d ?r

d ?r

d ?r

其中 d 为圆心到直线的距离. 14.圆与圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内含

d ? r1 ? r2 d ? r1 ? r2

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2

d ? r1 ? r2

d ? r1 ? r2

其中 d 为两圆圆心的距离. 一、方法总结 1.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系的判定方法主要有两种. 判别式法:联立直线与圆的方程,根据方程组的解 的个数判断直线与圆的位置关系. 几何法:计算圆心到直线的距离 d , 与圆的半径 r 比较大小, 根据两 者的大小关系判断直线与圆的位置关系.

2.圆与圆的位置关系 判断圆与圆的位置关系一般用几何法,具体如下: (1)把圆的方程化为标准方程,得到两圆的圆心和半径; (2)计算两圆的圆心距; (3)根据圆心距与半径的关系判断两圆的位置关系. 3.圆的切线 (1)求过圆 C 外一点 P ? x0 , y0 ? 的切线方程的方法: 设切线为 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? , 由圆心 C 到切线的距离等于圆的半径

r ,列方程求 k ,若有两解即得切线方程,若有一个解,则另一条为
x ? x0
代数法:设切线为 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? ,与圆的方程联立,消元,由

? ? 0 求出 k ,若有两解即得切线方程,若只有一解,则另一条为
x ? x0 .
(2)求过圆 C 上的一点 P ? x0 , y0 ? 的切线方程的方法: 圆心 C ?a, b ? ,

k ??

1 ,则切线方程为 y ? y ? k ? x ? x ? .特别的, 如果直线 PC k PC
0 0

的斜率不存在,则切线方程为 y ? y0 ,如果直线 PC 的斜率为 0,则 切线方程为 x ? x0 . 4.圆的弦长 求直线被圆所截得弦长的方法: (1)代数法:对于容易求出直线与圆的两个交点坐标的题目,我们 可以先求出这两个交点的坐标,再求这两点间的距离. (2)几何法:求出弦心距 d 和圆的半径 r ,利用勾股定理来求弦长

l ? 2 r2 ? d 2 .
二、特别提示 1.判断直线与圆的、圆与圆的位置关系要注意数形结合,特别要突出 几何要素. 在用代数方法判断直线与圆、圆与圆的位置关系时,代数方法要 在几何要素的引导下使用,并且要回归到几何上.对于两圆的位置关 系,只用代数方法不能准确判定.如只有一个公共点时,不能确定是 外切还是内切;没有公共点时,不能确定是外离还是内含. 2.理解用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” : (1)建立适当的坐标系,用坐标表示有关的量,将几何问题转化为 代数问题; (2)进行有关代数运算,解决代数问题; (3)把代数运算结果“翻译”成几何结论. 3.了解共点曲线系(直线系、圆系)方程:如果两曲线的方程是

f1 ? x, y ? ? 0 和 f 2 ? x, y ? ? 0 ,它们的交点是 P0 ? x0 , y0 ? ,那么方程 f1 ? x, y ? ? ?f 2 ? x, y ? ? 0 表示的曲线也经过点 P0 (其中 ? ? R ).
特别地,若两相交的圆的方程分别为:

C1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 , C2 : x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 ,则方程 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ? x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? ? 0(其中

??R, ? ? ?1 ) 表示过圆 C 与圆 C
1

2

交点的圆系方程 (不包括圆 C 2 ) .

当?

? ?1时,上述方程表示两圆公共弦所在直线的方程.


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