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导数知识点和例题


1.

导数的概念(要求熟悉)

1.函数 f ( x) 在 x ? x0 处的导数:函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率称为 y ? f ( x) 在

x ? x0















f ' ( x0 )



y ' | x? x0





f ' ( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 。 ?y ? ?x lim ?x ?x ?0

1.1 导数的几何意义(要求掌握) 1.导数的几何意义: 函数 f ( x) 在 x ? x0 处的导数就是曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处切 线的斜率,
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 即 f ' ( x0 ) ? ?k; lim
?x ?0

?x

2.求切线方程的步骤: (注:已知点 ( x0 , y0 ) 在已知曲线上) ① 求 导 函 数 f ( x) ; ② 求 切 线 的 斜 率 f ' ( x0 ) ; ③ 代 入 直 线 的 点 斜 式 方 程 :
'

y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,并整理。
3.求切点坐标的步骤: ①设切点坐标 ( x0 , y0 ) ; ②求导函数 f ( x) ; ③求切线的斜率 f ' ( x0 ) ; ④由斜率间的关系列出关于 x0 的方程,解方程求 x0 ;⑤点 ( x0 , y0 ) 在曲线 f ( x) 上,将
'

( x0 , y0 ) 代入求 y0 ,得切点坐标。
1.3 导数的计算(要求掌握) 1. 基本初等函数的导数公式:① C ' ? 0 ;② ( x )' ? ax (cos x)' ? ? sin x ;
a a ?1

;③ (sin x)' ? cos x ;④

' ⑤ (a x ) ' ? a x ln a(a ? 0) ;⑥ (e x ) ' ? e x ;⑦ (log a x) ?

1 (a ? 0, 且a ? 1) ;⑧ x ln a

(ln x ) ' ?
2. 导

1 . x

'


'








'



[ f ( x) ? g ( x)]' ? f ' ( x) ? g ' ( x)





[ f ( x) g ( x)] ? f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x) ;
③[

f ( x) ' f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x ) ' ' ;④ [cf ( x)] ? cf ( x) ] ? g ( x) [ g ( x)]2
' '

1.4 函数的单调性与导数 (1)在区间 [ a, b] 内, f ( x) >0, ? f(x)为单调递增; f ( x) <0, ? f(x)为单调递减。 (2) 用导数求函数单调区间的三个步骤: ①确定函数的定义域; ②求函数 f(x)的导数 f ?( x) ; ③令 f ?( x) ? 0 解不等式,得 x 的范围就是递增区间;④令 f ?( x) ? 0 解不等式,得 x 的 范围就是递减区间。 (3)用导数判断或证明函数的单调性的步骤:①求函数 f(x)的导数 f ?( x) ;②判断 f ?( x) 的 符号;③给出单调性结论。

1.5 函数的极值与导数(要求掌握) 1.极值的定义:若导数在 x0 附近左正右负,则在 x0 处取得极大值;若左负右正,则取得 极小值。 2.求可导函数 f ( x) 的极值的步骤:①确定函数的定义域;②求导数 f′(x);③求方程 f′ (x)=0 的根 x0 ;④列表,方程的根 x0 将整个定义域分成若干个区间,把 x, f ' ( x), f ( x) 在每 个区间内的变化情况列在这个表格内;⑤判断,得结论。 1.6 函数的最大(小)值与导数(要求掌握) 函数 y ? f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; ②将函数 f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) 、 f (b) 比较,得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的 最值。

一、选择题 1.已知函数 f(x)在点 x0 处连续,下列命题中,正确的是( ) A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极小值 C.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值 D.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极大值 [答案] C [解析] 导数为 0 的点不一定是极值点,例如 f(x)=x3,f′(x)=3x2,f′(0)=0,但 x=0 不 是 f(x)的极值点,故 A 错;由极值的定义可知 C 正确,故应选 C. 2.函数 y=1+3x-x3 有( ) A.极小值-2,极大值 2 B.极小值-2,极大值 3 C.极小值-1,极大值 1 D.极小值-1,极大值 3 [答案] D [解析] y′=3-3x2=3(1-x)(1+x) 令 y′=0,解得 x1=-1,x2=1 当 x<-1 时,y′<0,函数 y=1+3x-x3 是减函数, 当-1<x<1 时,y′>0,函数 y=1+3x-x3 是增函数, 当 x>1 时,y′<0,函数 y=1+3x-x3 是减函数, ∴当 x=-1 时,函数有极小值,y 极小=-1. 当 x=1 时,函数有极大值,y 极大=3. 3.设 x0 为 f(x)的极值点,则下列说法正确的是( ) A.必有 f′(x0)=0 B.f′(x0)不存在 C.f′(x0)=0 或 f′(x0)不存在 D.f′(x0)存在但可能不为 0 [答案] C [解析] 如:y=|x|,在 x=0 时取得极小值,但 f′(0)不存在. 4.对于可导函数,有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C [解析] 只有这一点导数值为 0,且两侧导数值异号才是充要条件. 5.对于函数 f(x)=x3-3x2,给出命题: ①f(x)是增函数,无极值; ②f(x)是减函数,无极值; ③f(x)的递增区间为(-∞,0),(2,+∞),递减区间为(0,2); ④f(0)=0 是极大值,f(2)=-4 是极小值. 其中正确的命题有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 [答案] B [解析] f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令 f′(x)>0,得 x>2 或 x<0,令 f′(x)<0,得 0<x<2,∴ ①②错误. 6.函数 f(x)=x+1x 的极值情况是( ) A.当 x=1 时,极小值为 2,但无极大值 B.当 x=-1 时,极大值为-2,但无极小值 C.当 x=-1 时,极小值为-2;当 x=1 时,极大值为 2 D.当 x=-1 时,极大值为-2;当 x=1 时,极小值为 2 [答案] D [解析] f′(x)=1-1x2,令 f′(x)=0,得 x=±1, 函数 f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减, ∴当 x=-1 时,取极大值-2,当 x=1 时,取极小值 2. 7.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x) 在开区间(a,b)内有极小值点( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 [答案] A [解析] 由 f′(x)的图象可知,函数 f(x)在区间(a,b)内,先增,再减,再增,最后再减,故 函数 f(x)在区间(a,b)内只有一个极小值点. 8.已知函数 y=x-ln(1+x2),则函数 y 的极值情况是( ) A.有极小值 B.有极大值 C.既有极大值又有极小值 D.无极值 [答案] D [解析] ∵y′=1-11+x2(x2+1)′ =1-2xx2+1=(x-1)2x2+1 令 y′=0 得 x=1,当 x>1 时,y′>0, 当 x<1 时,y′>0, ∴函数无极值,故应选 D. 9.已知函数 f(x)=x3-px2-qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点,则函数 f(x)的极值是( )

A.极大值为 427,极小值为 0 B.极大值为 0,极小值为 427 C.极大值为 0,极小值为-427 D.极大值为-427,极小值为 0 [答案] A [解析] 由题意得,f(1)=0,∴p+q=1① f′(1)=0,∴2p+q=3② 由①②得 p=2,q=-1. ∴f(x)=x3-2x2+x,f′(x)=3x2-4x+1 =(3x-1)(x-1), 令 f′(x)=0,得 x=13 或 x=1,极大值 f13=427,极小值 f(1)=0. 10.下列函数中,x=0 是极值点的是( ) A.y=-x3 B.y=cos2x C.y=tanx-x D.y=1x [答案] B [解析] y=cos2x=1+cos2x2,y′=-sin2x, x=0 是 y′=0 的根且在 x=0 附近,y′左正右负, ∴x=0 是函数的极大值点. 二、填空题 11.函数 y=2xx2+1 的极大值为______,极小值为______. [答案] 1-1 [解析] y′=2(1+x)(1-x)(x2+1)2, 令 y′>0 得-1<x<1,令 y′<0 得 x>1 或 x<-1, ∴当 x=-1 时,取极小值-1,当 x=1 时,取极大值 1. 12.函数 y=x3-6x+a 的极大值为____________,极小值为____________. [答案] a+42 a-42 [解析] y′=3x2-6=3(x+2)(x-2), 令 y′>0,得 x>2 或 x<-2, 令 y′<0,得-2<x<2, ∴当 x=-2 时取极大值 a+42, 当 x=2 时取极小值 a-42. 13. 已知函数 y=x3+ax2+bx+27 在 x=-1 处有极大值, 在 x=3 处有极小值, 则 a=______, b=________. [答案] -3-9 [解析] y′=3x2+2ax+b,方程 y′=0 有根-1 及 3,由韦达定理应有 14. 已知函数 f(x)=x3-3x 的图象与直线 y=a 有相异三个公共点, 则 a 的取值范围是________. [答案] (-2,2) [解析] 令 f′(x)=3x2-3=0 得 x=±1, 可得极大值为 f(-1)=2,极小值为 f(1)=-2, y=f(x)的大致图象如图 观察图象得-2<a<2 时恰有三个不同的公共点. 三、解答题 15.已知函数 f(x)=x3-3x2-9x+11.

(1)写出函数 f(x)的递减区间; (2)讨论函数 f(x)的极大值或极小值,如有试写出极值. [解析] f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3), 令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=3. x 变化时,f′(x)的符号变化情况及 f(x)的增减性如下表所示: x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 增 极大值 f(-1) 减 极小值 f(3) 增 (1)由表可得函数的递减区间为(-1,3); (2)由表可得,当 x=-1 时,函数有极大值为 f(-1)=16;当 x=3 时,函数有极小值为 f(3) =-16. 16.设函数 f(x)=ax3+bx2+cx,在 x=1 和 x=-1 处有极值,且 f(1)=-1,求 a、b、c 的 值,并求出相应的极值. [解析] f′(x)=3ax2+2bx+c. ∵x=±1 是函数的极值点,∴-1、1 是方程 f′(x)=0 的根,即有 又 f(1)=-1,则有 a+b+c=-1, 此时函数的表达式为 f(x)=12x3-32x. ∴f′(x)=32x2-32. 令 f′(x)=0,得 x=±1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ? 极大 值 1 ? 极小 值-1 ? 由上表可以看出,当 x=-1 时,函数有极大值 1;当 x=1 时,函数有极小值-1. 17.已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x 在 x=±1 处取得极值. (1)讨论 f(1)和 f(-1)是函数 f(x)的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16)作曲线 y=f(x)的切线,求此切线方程. [解析] (1)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意, f′(1)=f′(-1)=0,即 解得 a=1,b=0. ∴f(x)=x3-3x, f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1). 令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=1. 若 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则 f′(x)>0,故 f(x)在(-∞,-1)上是增函数, f(x)在(1,+∞)上是增函数. 若 x∈(-1,1),则 f′(x)<0,故 f(x)在(-1,1)上是减函数.

∴f(-1)=2 是极大值;f(1)=-2 是极小值. (2)曲线方程为 y=x3-3x.点 A(0,16)不在曲线上. 设切点为 M(x0,y0),则点 M 的坐标满足 y0=x30-3x0. ∵f′(x0)=3(x20-1),故切线的方程为 y-y0=3(x20-1)(x-x0). 注意到点 A(0,16)在切线上,有 16-(x30-3x0)=3(x20-1)(0-x0). 化简得 x30=-8,解得 x0=-2. ∴切点为 M(-2,-2), 切线方程为 9x-y+16=0. 18.(2010?北京文,18)设函数 f(x)=a3x3+bx2+cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两个根 分别为 1,4. (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围. [解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用. 由 f(x)=a3x3+bx2+cx+d 得 f′(x)=ax2+2bx+c ∵f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0 的两根为 1,4. (1)当 a=3 时,由(*)式得 , 解得 b=-3,c=12. 又∵曲线 y=f(x)过原点,∴d=0. 故 f(x)=x3-3x2+12x. (2)由于 a>0,所以“f(x)=a3x3+bx2+cx+d 在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“f′(x)= ax2+2bx+c≥0 在(-∞,+∞)内恒成立” 由(*)式得 2b=9-5a,c=4a. 又∵Δ =(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9) 解 得 a∈[1,9], 即 a 的取值范围[1,9].


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