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函数的单调性练习题


函数的单调性练习题 函数的单调性是函数的重要性质之一,高一对函数单调性的考察主要表现在 以下几个方面:一、判断并证明函数的单调性;二、求函数的单调区间;三、复合 函数单调区间的求法;四、已知函数的单调性,求参数的取值范围;五、单调性的 应用. 题型一、判断并证明函数的单调性 利用函数的定义证明函数的单调性可分以下四步 :1 取值 ( 关键词 : 任取 x1 , x2 ∈D,且x1

< x2 );2 作差变形(关键步,通常的变形有,整式型--分解因式;分 式型—通分;二次三项式型—配方;根式型—有理化.);3 定号;四 下结论. 例 1⑴ 试证 f(x)=1?2x 3 在 R 上单调递减. ⑵ 试证 f(x)=
2x+3 x+2

在(2 ,+∞)单调递减.

题型二、求函数的单调区间 准确画出函数的图像是求函数单调区间的重要方法之一 ,特别是以下几种函 数 :1 对号函数 y=x+ x
a

(a>0); 2“V 函数”y=a x ? h +k ( 类似二次函数抛物
ax ?b

线);3 双曲线型函数 y=cx ?d ; 例 2 ⑴ y=x+x
6 1

4

y=f( x );

5

y= f(x) 等

⑵ y=-2 x + 1 ?2 ⑷ y= x ? 1 ± x + 2 ⑸ y= x+2
2x+3

⑶ y=x 2 ?2 x ?3

题型三、复合函数的单调性的求法 复合函数的单调性的求法可分以下几步:1 求复合函数的定义域;2 将复合函 数分解为两个基本函数,即 y=f(u) ,u=g(x);3 分别求两个基本函数的单调性,利 用”同增异减”原理求得原函数的单调性. 例 3 ⑴ 求函数 y=log 2 (x 2 + 2x ? 3)的单调区间. ⑵ 求函数 y=( )x
2 1
2 ?3x+2

的单调区间.

题型四、已知函数的单调性,求参数的取值范围 处理该题型的基本方法是:主要方法是利用图像,结合函数的性质求解;也可 利用函数的单调性定义法求解. 例 4 ⑴已知 f(x)= x 2 +2ax+1 在[3 ,+∞)单调递增,,求 a 的范围______ ⑵已知 f(x)= x+2 在[-2 ,+∞)单调递增, 求 a 的范围______ ⑶已知 y=log a (2 ? ax)在[0 ,1]上是减函数 ,则 a 的范围是_____
ax +1

⑷已知 f(x)= 值范围是______

3 ? a x ? 4a , x < 1 是(?∞ ,+∞)上的增函数,那么 a 的取 log a x , x ≥ 1
3?ax a ?1

⑸已知函数 f(x)=

,(a≠1) ,若 f(x)在区间(0 ,1]上是减函数,则实数

a 的取值范围为________ ⑹设函数 f(x)=a x ? b +2 在[0 ,+∞)上是增函数,则 a ,b 的范围分别为 _____ ______ 题型五、单调性的应用 单调性的应用主要分为三个方面:比较大小;求值域;解不等式(特别是楚翔 函数的不等式) 例 5 ⑴已知定义域为 R 的函数 f(x)在(8 ,+∞)上为减函数,且满足 y=f(x+8) 为偶函数,则( ) A f(6)>f(7) , B f(6)>f(9) , C f(7)>f(9) , D f(7)>f(10) ⑵比较 a=(5)5 ,b=(5)5 ,c=(5)5 的大小_______ ⑶比较 a=log 1 2 , b=log 1 3 , c=log 3 3 的大小_______
3 3

3 2

2 3

2 2

1

2

4

例 6 ⑴求 f(x)=x+x 在[1 ,5]上的值域______ ⑵求 f(x)=x 2 ?2x+2 在[-1 ,4] 上的值域______

6

x 例 7 ⑴9 f(x)定义域为(0 , +∞),且对于一切 x>0 ,y>0,都有 f(y )=f(x)?f(y) ,

当 x>1 时有 f(x)>0 . ⑴ 求 f(1) ⑵ 判断 f(x)单调性并证明 ⑶ 若 f(6)=1 ,解不等式 f(x+5)?f(x )<2
1

已知定义域为 R 的函数 f(x)=

?2x +b

2x +1 +a

是奇函数.

⑴ a=____ b=_____ ⑵ 若对于任意 t∈R,不等式 f(t 2 ? 2t)+f(2t 2 ? k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.


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