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1.6 子集与推出关系(含答案)


第一章 集合和命题

1.6 子集与推出关系
【课堂例题】 例 1.利用子集与推出关系,判断 p 是 q 的什么条件? (1) p : x ? 0

q: x ? 0;

(2) p :| x |? 1

q : x ? 1;

(3) p : x ? 1

r />q : x2 ? 1 ;

(4) p : x ? 0 且 y ? 0

q : x2 ? y 2 ? 0 .

例 2.写出满足要求的一个条件: (1) x ? 1 的充分非必要条件;

(2) x ? 2 的必要非充分条件;

(3) x ? 1 或 x ? 2 的充要条件;

(4) y ? x ? 1 的充分非必要条件.

例 3.设 ? :1 ? x ? 3, ? : m ? 1 ? x ? 2m ? 4, m ? R .

? 是 ? 的充分非必要条件,求 m 的取值范围.

(选用)例 4.利用自己与推出关系,回答: (1)“ x ? y ? 0, xy ? 0 ”为什么是“ x ? 0, y ? 0 ”的充要条件? (2)“ | x ? y |? 2 ”是“ | x |? 1,| y |? 1”的什么条件?

第一章 集合和命题

1.6 子集与推出关系
【知识再现】 设集合 A ? {x | x 具有性质 p} ,集合 B ? {x | x 具有性质 q}. 1. A ? B 等价于 2.如果 A ? B ,那么 p 是 q 的 如果 A ? B ,那么 p 是 q 的 如果 A ? B ,那么 p 是 q 的 ,即如果 A 包含于 B ,那么 p 是 q 的 ; ; . .

【基础训练】 1.试用子集与推出关系来判断命题 A 是命题 B 的什么条件 (填写充分非必要条件、 必要非充 分条件、充要条件、非充分非必要条件). (1) A : 该平面图形是四边形, B : 该平面图形是梯形. ; (2) A : x ? 1 , B : x ? 1. (3) A : a ? 2 , B : a ? 2 .
3

; ;
2 2

(4) A : x ? 0 或 y ? 0 , B : x ? y ? 0 . 2.已知集合 M ? {x | x ? 2}, N ? {x | x ? 3} ,则 (1)“ x ? M ”是“ x ? N ”的 条件; (2)“ x ? M ? N ”是“ x ? M ? N ”的 (填写充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要)

.

条件.

3. p :1 ? x ? 2 , q : x ? a ,若 p 是 q 成立的充分非必要条件,则实数 a 的取值范围 是 . ) ;

4.(1)已知 a ? 0 , “ x ?{?a, a} ”是“ | x |? a ”的( (A)充分非必要条件; (C)充要条件;
2

(B)必要非充分条件; (D)非充分非必要条件. ).

(2) a ? ?1 是关于 x 的方程 x ? 2 x ? a ? 1 ? 0 有两个负根的( (A)充分非必要条件; (B)必要非充分条件; (C)充要条件; (D)非充分非必要条件. 5.(1)“ | x |? 1 ”是“ | x ? 1|? 2 ”的 (2)“ y ?| x | ”是“ y ? x ”的 条件. (填写充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要) 条件;

6.已知 A ? {x | x 具有性质 p} , B ? {x | x 具有性质 q} , C ? {x | x 具有性质 r} , 集合 A, B, C 之间的关系如图所示:(注:每一个集合均是一个圆及其内部) (1) p 是 q 的什么条件? (2) q 是 r 的什么条件? (3) r 是 p 的什么条件?
A B C

第一章 集合和命题

7.已知命题 ? : 2 ? x ? 4 ,命题 ? : 3m ? 1 ? x ? ?m , 且 ? 是 ? 的充分条件,求实数 m 的取值范围.

【巩固提高】 8.已知 a ? R ,写出关于 x 的方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个实数根的 (1)一个充要条件; (2)一个充分非必要条件;(3)一个必要非充分条件.
2

9.已知 m ? R , ? : m ? 1 ? x ? 2m ? 4, ? : ?1 ? x ? 3 , 若 ? 是 ? 的充分非必要条件,求 m 的取值范围.

((选做)10.试说明条件“ k ? 0 ”是结论“对于任意实数 x , 关于 x 的不等式 kx ? kx ? 1 ? 0 恒成立”的什么条件?
2

【温故知新】

第一章 集合和命题

11.二次函数 y ? 2x2 ? x ? a 的图像恒在 x 轴上方的充要条件是 【课堂例题答案】 例 1.充分非必要条件;充分非必要条件;必要非充分条件;充要条件. 例 2.(1) x ? 0 ;(2) x ? 2 ;(3) ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ;(4) x ? 2 且 y ? 3 例 3. ?

.

1 ?m?0 2

例 4.(1)略 (2)必要非充分条件 【知识再现答案】 1. p ? q ,充分条件 2.充分非必要条件;必要非充分条件;充要条件. 【习题答案】 1.必要非充分条件;充要条件;充分非必要条件;必要非充分条件. 2.(1)非充分非必要条件;(2)必要非充分条件. 3. a ? 1 4.(1) C; (2) B. 5.(1)充分非必要条件;(2)非充分非必要条件 6.必要非充分条件;充分非必要条件;非充分非必要条件. 7. m ? ?4 8.(1) a ? 1 ;(2) a ? 0 ;(3) a ? 2 .

1 . 2 提示:注意讨论集合 {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 4} 是否为 ? 的情形.
9. m ? ?3 或 ?2 ? m ? ? 10.充分非必要条件
2 提示: kx ? kx ? 1 ? 0 恒成立等价于 k ? 0 或 ?

?k ? 0
2 ?( ? k ) ? 4 k ? 0

即0 ? k ? 4. 11. a ?

1 . 8


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